江苏省昆山市兵希中学九年级数学总复习：一轮复习第28课时：矩形、菱形、正方形

初三第一轮复习第28课时：矩形、菱形、正方形

【知识梳理】

1. 特殊的平行四边形的之间的关系

平行四边形矩形正方形菱形

2. 特殊的平行四边形的判别条件

（1）矩形：①有一个角是 的平行四边形是矩形．②对角线 的平行四边形是矩

形．

③有三个角是 的四边形是矩形．

（2）菱形：①一组 的平行四边形是菱形．②对角线 的平行四边形是

菱形．

③四条边都相等的四边形是菱形．

（3）正方形：①有一个角是 的菱形是正方形．②对角线 的菱形是正方形．

③有一组 的矩形是正方形．④对角线 的矩形是正方

形．

3. 特殊的平行四边形的性质

矩形 菱形 正方形 4．面积计算：

（1）矩形：S=长×宽；（2）菱形：S边长 【课前预习】

1、如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°则∠BEA′= ．

AEA′BCD2

边 角 对角线 1l1l2（l1、l2是对角线）；（3）正方形：S=2

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2、如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，sinA这个菱形的面积= m．

3、如图，矩形内有两个相邻的正方形面积分别为25和4，那么阴影部分面积为 .

4、正方形的对角线长为a，则它的对角线的交点到各边的距离为（ ） A、

22a

a B、 a C、 D、22 a 242

BEAHDGFC2

3，则5【例题讲解】

例1 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.

（若四边形ABCD是矩形，则四边形EFGH有什么变化？若四边形ABCD是菱形呢……你能说明中点四边形的形状是由什么决定的么？）

例2 如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，点 E、F分别是CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G． （1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．

例3 如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H． （1）求证：EB=GD；

（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由； （3）若AB=2，AG=2，求EB的长．

例4 如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，

BD＝2，DC＝3，求AD的长．

E F A - 2 - / 6

B D G C

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．

【巩固练习】

1、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，

A B

D O C AOB60°，AB2，则矩形的对角线AC的长是（ ）

A．2 B．4 C．23

D．43 2、如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN = EF，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN = EF．你认为（ ） A．仅小明对 B．仅小亮对

C．两人都对

D．两人都不对

3、如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ． 4、四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）．

6、在□ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．

A （1）求证：△ABE∽△ADF；

（2）若AGAH，求证：四边形ABCD是菱形．

D H G B F E C

【课后作业】 班级 姓名 一、必做题

1、如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE//CA， DF//BA．下列四个判断中，不正确的是（ ） ．．．A. 四边形AEDF是平行四边形

B. 如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 D. 如果AD⊥BC是AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形

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2、下列命题正确的是（ ）

A．对角线互相平分的四边形是菱形； B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形； D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 3、如图，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部分是（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形

4、如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C处，BC交AD于E，则下列结论不一定成立的是（ ） A．ADBC D．sinABE B

．

EBDEDB C．

△ABE∽△CBD

AE ED5、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连DF，∠CDF等于 °.

6、如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=5过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E则AE的长是 .

7、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是 .

8、如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC= .

9、如图，平行四边形 ABCD中，O是对角线AC的中点，EF⊥AC 交CD于E，交AB于F，问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．

第3题图

C

A B E D 第6题图

C 第4题图

第5题图

第8题图

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10、如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2． （1）求AC的长；（2）求∠AOB的度数；

（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．

二、选做题

11、如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则 度． 12、如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．

13、将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是正方形的中心，则途中四块阴影部分的面积和为__________cm．

14、如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm．

15、如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A，B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF． （1）求证：∠ADP＝∠EPB；（2）求∠CBE的度数； （3）当

2

2

A B D A 65°

l D A DE C BAE CDC m B 第 11题图

B CD 第 12题图

F 第 14题图

C B 第13题图

AP的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由． AB- 5 - / 6

16、学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长103cm，其一个内角为60°．

（1）若d＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；

（2）当d＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？

60° …… d L

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