燕龙江教育学院举报月年筑 用!总第∀翔#关于!∃#积分与!%#积分的区别与联系朱连兴!一#两种积分的可积性睡异及原因张润泽可积但反之不然例狄利克雷函数(!#∗,,&&黎曼积分存在的必要条件是被积函数有界但有界函数不一定%可积例如狄利克,)+,&&,为〔,+〕内有理数&雷函数&.一〕内无理数为〔,非%可积但它是乙可积的因此%可积函数−,,,+〕内无理点为〔,+〕上有界但非%可积那么函数%可在〔)(!#∗/&,为〔,〕内有理点类是∃,可积函数类的一部分∃可积函数类,)是在%可积函数类基础上的推广,,,,积的充要条件是什么呢0在数学分析中已证得在闭区间上有界函数&从黎曼积分的定义知道黎曼和的作成&是把积分区间臼幻分成有限个小部分%可积的充分条件1,∗3有!”单调有界函数是%可积的!2#定义在囱的上的连续函数是的甚至象黎曼函数了!),一以。,&」〕3,∗了,〔,4&〕…,,‘一盆∗%可积的!∀#只有1以一,,九〕&有限个第一类间断点的有界函数是%可积&在每一个份中任取一点参作成积分和。∗!今#、习/,“,二“。一几。险5−,”&·“既约分数,枷&若人‘6!脚76,时,有极限且此极限,,−一当为〔〕上其他数时在所有的无理点上连续而在所有的有理点值与参的取法及囱的的分法无关黎曼积分才存在这里参可在负中任意取八二阮九十,〕可取得任意小,,,处不连续但它是%可积的这说明具有无即‘中不同的考取得任∋穷多个不连续点的函数也可能%可积尽管意接近时函数值/!参#要不起显著的变化从而黎曼和在极限过程中的值将改变不大‘∗。9∋,如此在数学分析范围内对于可积函数类的研究不能取得比较好的结果&在实变函数论中勒贝格给出了下面的定)为%可积的充要理〔幻上的有界函数/!#。&这只有在8!#连续或接近于连续的情况下才能实现这是由于,阮,〕是由‘中#在囱习上是几乎处处连续的1条件是/!)&相异的点很接近就合并为一个集所造成,,这个定理使%可积函数类的研究得到满意的勒贝格积分就克服了这一弱点它从一开始就将囱的按函数值接近的点取在同一几答案由此可见&%可积函数类是比较狭窄”的它不能太不连续数可能是%“1甚至一个很简单的函中分划,,‘∗!:势!/!&,#簇势9,#!;∗,,不可积的但是勒贝格积分就克∃…。,一+#;中无论两点靠近或离得很使3,服了这些弱点它将可积函数类大大扩大即远函数值总是很接近的避免了在同一‘中,函数值跳跃太大的弱点因此乙可积函数不,所有有界可测函数均为问题带来了极大的方便可积为我们研究,必要求太不连续∃“”,凡有界可测函数依照勒因为咖的上几乎处处连续的有界函数是有界可测函数故凡贝格的意义是可积的这样就大大扩大了可%可积的函数一定积函数类显示出∃积分较%积分的优越性‘,<次艾价=>∃Α>=Β?随≅∃仪怕」.Χ.∃:Β:伴〔以尤>ΔΑ.==.ΕΦ叮昭#∀#通!,!二#牛顿一莱布尼兹公式的适用条件在数学分析中讲过牛顿一莱布尼兹公&)#是%可积的下式成立式若了!#+二的但+/!幻≅是斤可积的!因为≅8!)一‘故∋7!Κ不存在即8中,‘#不是“可积#&·,!·#一,!#十五8。#“Γ故说明由≅8!&&君#7可积冷8!幻%可积&但对于勒贝格积分有可积性与绝对可积性等价即若月动可测褚二二,’!&!#甚至有界#但存在这种情况导函数8&则六&#入可积未必%可积&≅8!劝7∃可积事实匕设8!劝是:上的例设为有界闭集无处稠密且具有正可测函数呀若命8&测度#在尸。一认8尸Η一。Ι尸ϑ!8主六Η&#一。在囱叼上定义函数的在1关于线段,。〕!#Μ&余区问!Κ#上一!劝8!)#一!&一Κ#!)一玩#22∋Η脚!易证在Κ!一。#!一&+十&)#8Μ!#非负可测且8则8!!ϑ1ϑ黑刘反凭,7∃劝‘。1了”‘丈#&D十!#。#!#上处处存在着8’!)一.一,Η#)一8一!#若考任十一!&#∃可积“∗从而了Ο8!习了!劝均乙&可Η#&时可求出尹!#的具体表达式因此在咖幻上处处存在着有限!甚至有界#&#在山叼上连续但容易推的尹!习故8!&出导函数了Ν,#在的所有点上木连续又一尹!8!&#卜幼十8一!对知若积于是由79了)#∃可积户了!!劝8一!对均∃可积石可积1再由积分性质‘!0#由7!·,‘”≅‘厂‘、因。?&#不是Ο−故尹‘%可积此时牛顿一莱布尼兹公式是否成立呢0黎曼积分解决不了这个师题用勒贝格积分却得到了较好的结果若函数∃可积综上所述8!&#有界”8!夕∋可积Α,丘≅,!#∋。知若7,·&!#7兀·ϑ可积∗,!#Οϑ&&·“∃可积)#Α“”Α8!劝在。如中每个点有下群,&!四#无界函数的刀只分及兀积分,且导函数尹!#有界个确定的导数尹!#)#是∃可积的且牛顿一莱布尼兹公则尹!对黎曼积分若推广到无界函数情形设烈,#性点&一。处的邻域内无界而对于。Ν&。式&Ν,!·#一+Π8!#十且#“8。≅烈赫。。!幻在〔8〕上都是可积的且极限一,存在则把它&义为无界函数,!Η成立毛使得这一公式的适用范围大大扩大此为∃<8!对从到Η的积分记作&积分较%积分的又一优越性&!三#可积性与绝对可积性的关系黎曼积分有一个重要性质对有界函数))%可积即8!#8!)#若8!#%可积则汀!&#】&&它具有如下性质对于无界函数厂#78!&+#广义%可积冲8!&#广义泞可积但反之不然绝对可积但反之不然例如,幻上有理数+&为〔)&,均上的函数,例如定义在〔·ΘΝ板Φ之<乙!)了#&&8!立—犷,扣∗‘一+,&为印〕上无理数了∗,当所有的∃纂为有理点时,。一 介∀!峪知。一#,材是广义(可积但)!%州不是广义(可因解撰页书且此函数的,%∗一兀∋+,积分不存在事实上当所有的看为无理点时∃.−,一习∋,%古∃!&价’卜工一寸∃在〔言〕%下转”−艾灿阶映∃?Ρ.:Α皿八=ΒΧ.∃:Β:∃伪帕」?.++犯>ΔΑ.=:.=ΕΦ帅 !.=∀#率」Μ,7卜耳Γ5可∃≅庵一应为例>十Τ十Χ>…Τ…Χ〕已‘〔9Χ一>一Τ上述反应进程可用如下势能图表示一里图++又一—一一#殊∋〔小二Τ二的即形成的活化络合物Υ∋〔动能分布曲线表示反应物分子的能量分布沪ΛΛΛΛΛΛΛ图中曲线石可几亡扭压图2。情况曲线2表示能量超过某一数值:的分子的能量分布情况及是所有参加反应的分子的平均平动能万是活分分子的平均平动能刃反应进程图:。是活化分子的最低能量活化能:∗由反应进程图可以看出根据过渡状态理论活化能就是活化络合物〔∋>二一瓦结合气体分子运动论碰撞理论可Σ。,∋Τ二〕与以得出速度常数Σ与温度Δ的关系为一反应物>9∀#!刀扎鲁9一之间的能量差凡结合量子力学和统计力学过渡状态理论可以得出Τ一Ζ再根据月”Α3成肪+经验公式及活化能定义得! #尤!&#一,乃箫&一!ς#1一。二会乙所以活化能可以表示为召一:9即根据碰撞理论活化能的本质是分子碰撞十执脚