汝阳县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 在数列{an}中，a1=3，an+1an+2=2an+1+2an（n∈N+），则该数列的前2015项的和是（

）

A．7049B．7052C．14098D．14101　

2． 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（ A．①②

3． 下列命题中错误的是（

B．① ）

）

D．①②③④

C．③④

A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形　

4． 已知双曲线C：

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l⊥x轴交双曲线C

）

的渐近线于点A，B若以AB为直径的圆恰过点F2，则该双曲线的离心率为（ A．

B．

C．2

D．

）

5． 在ABC中，若A60，B45，BC32，则AC（ A．43 B．23

C.

3 ）

D．326． 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（

A．24 B．80 C． D．240）

D．{a|a2}7． 设集合A{x|1x2}，B{x|xa}，若AB，则的取值范围是（ A．{a|a2}

B．{a|a1}

C．{a|a1}

8． 对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=

是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（

）

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A．C．D．　　

9． 若函数fx取值范围为（

1，0cosxsinxcosxsinx3asinxcosx4a1x在2上单调递增，则实数的2）

1B．1，711A．，71C.(，][1，)7D．[1，)10．已知全集为R，且集合A{x|log2(x1)2}，B{x|A．(1,1)

B．(1,1]

C．[1,2)

D．[1,2]x20}，则A(CRB)等于（ ）x1【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.

11．设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则A．2

B．4

C．

D．

=（

）

12．已知集合，则

A0或B0或3 C1或D1或3二、填空题

13．如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于　　　　　　．14．已知|a|2，|b|1，2a与b的夹角为15．函数f（x）=x﹣16．若全集17．函数y=1﹣

18．i是虚数单位，化简：

=　　．，集合

的值域是　　．，则

。

133，则|a2b| ．

（x∈R）的最大值与最小值的和为　2　．第 2 页，共 15 页

三、解答题

19．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)|2x1|．

（1）若不等式f(x)2m1(m0)的解集为,22,，求实数m的值；（2）若不等式f(x)2y12a|2x3|，对任意的实数x,yR恒成立，求实数a的最小值．2y20．AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，

（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；

（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为

，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．

21．已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）若a=0，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

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（Ⅱ）若，求f（x）的单调区间；

的图象仅有1个公共点，求实数m的取值范围

（Ⅲ）若a=﹣1，函数f（x）的图象与函数．　

22．某市出租车的计价标准是4km以内10元（含4km），超过4km且不超过18km的部分1.5元/km，超出18km的部分2元/km．

（1）如果不计等待时间的费用，建立车费y元与行车里程x km的函数关系式；（2）如果某人乘车行驶了30km，他要付多少车费？

23．如图，在Rt△ABC中，∠EBC=30°，∠BEC=90°，CE=1，现在分别以BE，CE为边向Rt△BEC外作正△EBA和正△CED．

（Ⅰ）求线段AD的长；

（Ⅱ）比较∠ADC和∠ABC的大小．

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24．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．

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汝阳县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参）一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：∵an+1an+2=2an+1+2an（n∈N+），∴（an+1﹣2）（an﹣2）=2，当n≥2时，（an﹣2）（an﹣1﹣2）=2，∴

，可得an+1=an﹣1，

因此数列{an}是周期为2的周期数列．a1=3，∴3a2+2=2a2+2×3，解得a2=4，∴S2015=1007（3+4）+3=7052．

【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．　

2． 【答案】A【解析】

考

点：斜二测画法．3． 【答案】 B

【解析】解：对于A，设圆柱的底面半径为r，高为h，设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为a，则截面面积S=ah≤2rh．

∴当a=2r时截面面积最大，即轴截面面积最大，故A正确．

对于B，设圆锥SO的底面半径为r，高为h，过圆锥定点的截面在底面的边长为AB=a，则O到AB的距离为

，

∴截面三角形SAB的高为

=

故截面的最大面积为

．

．故B错误．

，∴截面面积S=

=

≤

对于C，由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台，所得几何体仍是圆台，故截面为圆面，故C正确．对于D，由于圆锥的所有母线长都相等，轴截面的底面边长为圆锥底面的直径，故圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故D正确．

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故选：B．

【点评】本题考查了旋转体的结构特征，属于中档题．　

4． 【答案】D

【解析】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），则l的方程为x=﹣c，双曲线的渐近线方程为y=±x，所以A（﹣c， c）B（﹣c，﹣ c）∵AB为直径的圆恰过点F2∴F1是这个圆的圆心∴AF1=F1F2=2c∴c=2c，解得b=2a∴离心率为=故选D．

【点评】本题考查了双曲线的性质，如焦点坐标、离心率公式．　

5． 【答案】B【解析】

=

考点：正弦定理的应用.6． 【答案】B【解析】试题分析：V168580,故选B.3考点：1.三视图；2.几何体的体积.7． 【答案】D【解析】

试题分析：∵AB，∴a2．故选D．考点：集合的包含关系．8． 【答案】D

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【解析】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x）=

=1+

，

①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．

②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，

由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2≥t，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，

由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t≥综上可得，

≤t≤2，

，2]，

．

故实数t的取值范围是[故选D．

【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．　

9． 【答案】D【

解

析

】

考

点：1、导数；2、单调性；3、函数与不等式.

10．【答案】C

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11．【答案】C

【解析】解：由于q=2，∴∴

故选：C．　

12．【答案】B【解析】

，故

或

。

或

，，解得

或

或

，又根据集合元素的互异性

，所以

；

二、填空题

13．【答案】　　．

【解析】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行，∴3aa=1（1﹣2a），解得a=﹣1或a=，经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去故答案为：．

【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．　

14．【答案】2【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．a与b的夹角为∴|a2b|2，ab1，3(a2b)2|a|24ab4|b|22．

15．【答案】　（﹣∞，1]　．

=t，则t≥0，【解析】解：设

f（t）=1﹣t2﹣t，t≥0，函数图象的对称轴为t=﹣

，开口向下，在区间[0，+∞）上单调减，

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∴f（t）max=f（0）=1，

∴函数f（x）的值域为（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．

【点评】本题主要考查函数的值域的求法．换元法是求函数的值域的一个重要方法，应熟练记忆．　

16．【答案】{|0＜＜1｝【解析】∵17．【答案】2

【解析】解：设f（x）=﹣

即f（x）的最大值与最小值之和为0．将函数f（x）向上平移一个单位得到函数y=1﹣的最大值与最小值的和为2．故答案为：2．

【点评】本题考查了函数奇偶性的应用以及函数图象之间的关系，奇函数的最大值和最小值互为相反数是解决本题的关键．　

18．【答案】　﹣1+2i　．

【解析】解：故答案为：﹣1+2i．　

=

的图象，所以此时函数y=1﹣

（x∈R）

，则f（x）为奇函数，所以函数f（x）的最大值与最小值互为相反数，，∴

{|0＜＜1｝。

三、解答题

19．【答案】

【解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．

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20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA∴PA⊥平面ABCD结合AB⊥AD，可得

分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ） （λ＞0）∴得

∴DE⊥AC且DE⊥AP，

∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是

，

，，

，

，

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设直线PE与平面PAC所成的角为θ，则得λ=±2

∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）设平面PCD的一个法向量为

=（x0，y0，z0），

，

，解之

由， ，得到=（1，﹣1，﹣1）

，

令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得∴cos＜

，

由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为

．

【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直，并且在线面所成角的正弦情况下求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题．

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵a=0，∴f（x）=（x﹣1）ex，f′（x）=ex+（x﹣1）ex=xex，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f（1）=e．又∵f（1）=0，∴所求切线方程为y=e（x﹣1），即．ex﹣y﹣4=0

（Ⅱ）f′（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x﹣1）ex=[ax2+（2a+1）x]ex=[x（ax+2a+1）]ex，①若a=﹣，f′（x）=﹣x2ex≤0，∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞），②若a＜﹣，当x＜﹣当﹣

或x＞0时，f′（x）＜0；

＜x＜0时，f′（x）＞0．

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∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣]，[0，+∞）；单调递增区间为[﹣，0]．

（Ⅲ）当a=﹣1时，由（Ⅱ）③知，f（x）=（﹣x2+x﹣1）ex在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在[﹣1，0]单调递增，在[0，+∞）上单调递减，

∴f（x）在x=﹣1处取得极小值f（﹣1）=﹣，在x=0处取得极大值f（0）=﹣1，由

，得g′（x）=2x2+2x．

当x＜﹣1或x＞0时，g′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0．

∴g（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增，在[﹣1，0]单调递减，在[0，+∞）上单调递增．故g（x）在x=﹣1处取得极大值在x=0处取得极小值g（0）=m，

∵数f（x）与函数g（x）的图象仅有1个公共点，∴g（﹣1）＜f（﹣1）或g（0）＞f（0），即.

．

，

【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．　

22．【答案】

【解析】解：（1）依题意得：当0＜x≤4时，y=10；…（2分）

当4＜x≤18时，y=10+1.5（x﹣4）=1.5x+4…

当x＞18时，y=10+1.5×14+2（x﹣18）=2x﹣5…（8分）∴

…（9分）

（2）x=30，y=2×30﹣5=55…（12分）

【点评】本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．　

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）在Rt△BEC中，CE=1，∠EBC=30°，∴BE=在△ADE中，AE=BE=由余弦定理可得AD=

（Ⅱ）∵∠ADC=∠ADE+60°，∠ABC=∠EBC+60°，∴问题转化为比较∠ADE与∠EBC的大小．

，DE=CE=1，∠AED=150°，

=

；

，

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在△ADE中，由正弦定理可得∴sin∠ADE=∴∠ADE＜30°∴∠ADC＜∠ABC．

＜=sin30°，

，

【点评】本题考查余弦定理的运用，考查正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦、余弦定理是关键．　

24．【答案】

【解析】

【分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．

（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l1与l2的方程．

【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；

∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分）圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d==1（2分）d=

从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣

∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分）（2）设点P（a，b）满足条件，

由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）

∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即

=

（8分）

整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|

∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5因k的取值有无穷多个，所以

或

（10分）

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解得或

这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，

）（12分）

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