2015-2016学年湖南省岳阳市湘阴一中高一（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（ ） A．M⊆N
B．N⊆M
C．M∩N={2，3}
D．M∪N={1，4}
2．设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁UM）=（ ）
A．{1，3}
B．{1，5}
C．{3，5}
D．{4，5}
3．已知：a∈R，b∈R，若集合{a，，1}={a2，a+b，0}，则a2015+b2015的值为（ ） A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
4．下列从集合A到集合B的对应f是映射的是（ ） A．A=R，B={x|x是正实数}，f：A中的数的绝对值 B．A={0，1}，B={﹣1，0，1}，f：A中的数的开方 C．A=Z，B=Q，f：A中的数的倒数
D．A={﹣1，0，1}，B={﹣1，0，1}，f：A中的数的平方 5．化简：A．4 6．函数
=（ ） B．2π﹣4 的定义域为（ ）
C．2π﹣4或4
B．（0，1]
D．4﹣2π
A．（﹣∞，0）∪（0，1] 0）∪（0，1）
C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，
7．（4分）（2013秋九龙坡区校级期中）已知函数f（x）=x2+ax是偶函数，则当x∈[﹣1，2]时，f（x）的值域是（ ） A．[1，4] 8．已知函数
B．[0，4]
C．[﹣4，4]
D．[0，2]
，若f（x）=5，则x的值是（ ）
A．﹣2 B．2或 C．2或﹣2 D．2或﹣2或
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9．（4分）（2014博山区校级模拟）函数A．y轴对称
B．直线y=﹣x对称
的图象关于（ ）
C．坐标原点对称
D．直线y=x对称
10．（4分）（2015秋保定期末）函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数f（x）=值范围为（ ） A．（2，3）
B．[2，3）
，在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数a的取
D．[1，3]
C．（1，3）
12．已知偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=0，则不等式f（x+1）＜0的解集是（ ）
A．[0，2）
B．（﹣2，2）
C．（﹣1，3）
D．（﹣3，1）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中的横线上.
13．设函数
，若f（a﹣1）=2，则实数a= ．
14．若函数f（x）的定义域是（1，3），则函数f（2x﹣1）的定义域是 ．
15．（4分）（2012秋思明区校级期中）计算：= ．
16．函数f（x）=|x+2|的单调递增区间是 ．
三、解答题：本大题共6个小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（8分）（2015秋岳阳校级月考）已知全集U=R，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x＞a}（a∈R）．
（1）若a=2，求A∩（∁UB）；
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（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．
18．（8分）（2013春平邑县校级期中）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|ax﹣2=0}，若A∪B=A，求实数a的值所组成的集合．
．
19．（8分）（2015秋岳阳校级月考）已知函数（1）用定义证明：f（x）在（﹣3，+∞）上是减函数； （2）求f（x）在[﹣1，2]上的最大值．
20．（10分）（2001北京）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂价﹣投入成本）×年销售量． （1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
21．（10分）（2015秋岳阳校级月考）已知函数y=x+有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在
上是减函数，在
上是增函数．
（1）如果函数y=x+
（x＞0）在（0，3]上是减函数，在[3，+∞）上是增函数，求b的值；
（2）设常数c∈[1，4]，求函数f（x）=x+（1≤x≤2）的最大值和最小值．
22．（12分）（2011秋罗定市期中）二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R，a≠0）满足条件：
①当x∈R时，f（x）的图象关于直线x=﹣1对称；②f（1）=1；③f（x）在R上的最小值为0；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．
2015-2016学年湖南省岳阳市湘阴一中高一（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
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一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（ ） A．M⊆N
B．N⊆M
C．M∩N={2，3}
D．M∪N={1，4}
【分析】利用直接法求解，分别求出两个集合的交集与并集，观察两个集合的包含关系即可．
【解答】解：M∩N
={1，2，3}∩{2，3，4} ={2，3} 故选C．
【点评】本题主要考查了集合的交集与子集的运算，属于容易题．
2．设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁UM）=（ ）
A．{1，3}
B．{1，5}
C．{3，5}
D．{4，5}
【分析】根据补集意义先求CUM，再根据交集的意义求N∩（CUM）．
【解答】解：（CUM）={2，3，5}，N={1，3，5}，则N∩（CUM）={1，3，5}∩{2，3，5}={3，5}． 故选C
【点评】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识，属容易题．
3．已知：a∈R，b∈R，若集合{a，，1}={a2，a+b，0}，则a2015+b2015的值为（ ） A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
【分析】根据两集合相等，对应元素相同，列出方程，求出a与b的值即可． 【解答】解：∵a∈R，b∈R，且{a，，1}={a2，a+b，0}， ∴分母a≠0，
∴b=0，a2=1，且a2≠a+b， 解得a=﹣1； ∴a2015+b2015=﹣1． 故选：B．
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【点评】本题考查了集合相等的应用问题，也考查了解方程的应用问题，是基础题目．
4．下列从集合A到集合B的对应f是映射的是（ ） A．A=R，B={x|x是正实数}，f：A中的数的绝对值 B．A={0，1}，B={﹣1，0，1}，f：A中的数的开方 C．A=Z，B=Q，f：A中的数的倒数
D．A={﹣1，0，1}，B={﹣1，0，1}，f：A中的数的平方 【分析】利用映射概念逐一核对四个命题得答案．
【解答】解：对于A，集合A中的元素0取绝对值在B中没有对应元素，故A不是映射；
对于B，集合A中的元素1开方后在B中对应元素不唯一，故B不是映射； 对于C，集合A中的元素0取倒数在B中没有对应元素，故C不是映射；
对于D，集合A中的元素﹣1，1的平方都是1，0的平方为0，符合映射概念． 故选：D．
C．2π﹣4或4
【点评】本题考查映射概念，是基础题． 5．化简：A．4
【分析】由π＜4，得【解答】解：故选：A．
=（ ） B．2π﹣4
D．4﹣2π
，由此能求出原式的值．
=4﹣π+π=4．
【点评】本题考查根式的化简运算，解题时要注意被开方数的符号，合理地选取公式． 6．函数
的定义域为（ ）
B．（0，1]
A．（﹣∞，0）∪（0，1] 0）∪（0，1）
C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，
【分析】根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式组
，求出解集即可．
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【解答】解：∵函数∴
，
，
解得x≤1且x≠0；
∴函数y的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1]． 故选：A．
【点评】本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．
7．（4分）（2013秋九龙坡区校级期中）已知函数f（x）=x2+ax是偶函数，则当x∈[﹣1，2]时，f（x）的值域是（ ） A．[1，4]
B．[0，4]
C．[﹣4，4]
D．[0，2]
【分析】首先根据函数是偶函数，求出a的值，得到函数f（x）的解析式，借助于图象可求得f（x）的值域．
【解答】解：因为函数f（x）=x2+ax是偶函数，所以有f（﹣x）=f（x），即（﹣x）2+a（﹣x）=x2+ax，所以2ax=0对任意实数恒成立，所以a=0，
则f（x）=x2，当x∈[﹣1，2]时，f（x）的值域是[0，4]． 故选B．
【点评】本题考查了函数的奇偶性质与函数值域的求法，考查了数形结合的解题思想，解答此题的关键是运用奇偶性求a的值，是常规题型． 8．已知函数
，若f（x）=5，则x的值是（ ）
A．﹣2 B．2或 C．2或﹣2 D．2或﹣2或
【分析】分别令x2+1=5，或﹣2x=5，解出即可．
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【解答】解：若x2+1=5，解得：x=﹣2或x=2（舍）， 若﹣2x=5，解得：x=﹣（舍）， 故选：A．
【点评】本题考察了求函数值问题，考察分段函数，是一道基础题． 9．（4分）（2014博山区校级模拟）函数A．y轴对称
B．直线y=﹣x对称
的图象关于（ ）
C．坐标原点对称
D．直线y=x对称
【分析】根据函数f（x）的奇偶性即可得到答案． 【解答】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x） ∴故选C．
是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，是高考必考题型． 10．（4分）（2015秋保定期末）函数
的图象是（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题考查的知识点是分段函数图象的性质，及函数图象的作法，由绝对值的含义化简原函数式，再分段画出函数的图象即得． 【解答】解：函数
可化为：
当x＞0时，y=1+x；它的图象是一条过点（0，1）的射线； 当x＜0时，y=﹣1+x．它的图象是一条过点（0，﹣1）的射线； 对照选项， 故选D．
【点评】本小题主要考查函数、函数的图象、绝对值的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
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11．已知函数f（x）=值范围为（ ） A．（2，3）
B．[2，3）
，在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数a的取
D．[1，3]
C．（1，3）
【分析】由一次函数与二次函数的单调性可得：，解出即可得出．
【解答】解：∵函数f（x）=
，在（﹣∞，+∞）上是减函数，
∴，解得2≤a＜3．
∴实数a的取值范围为[2，3）． 故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与二次函数的单调性、分段函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．已知偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=0，则不等式f（x+1）＜0的解集是（ ）
A．[0，2）
B．（﹣2，2）
C．（﹣1，3）
D．（﹣3，1）
【分析】利用偶函数的定义可得f（﹣x）=f（x）=f（|x|），及f（x）在[0，+∞）上是增函数，对数运算性质即可得出．
【解答】解：∵f（2）=0，∴不等式f（x+1）＜0可化为f（x+1）＜f（2）， 又∵定义域为R的偶函数f（x），∴可得f（|x+1|）＜f（2）， ∵f（x）在[0，+∞）上是增函数， ∴|x+1|＜2，解得﹣3＜x＜1． 故选：D．
【点评】熟练掌握函数的奇偶性、单调性及对数运算性质是解题的关键．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中的横线上.
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13．设函数，若f（a﹣1）=2，则实数a=
=2，解出即可． ，若f（a﹣1）=2，
．
【分析】由f（a﹣1）=2，得【解答】解：∵函数则
=2，解得：a=，
故答案为：．
【点评】本题考察了求函数值问题，是一道基础题．
14．若函数f（x）的定义域是（1，3），则函数f（2x﹣1）的定义域是 （1，2） ．
= 10 ．
═
．
【分析】问题转化为解不等式1＜2x﹣1＜3，解出即可． 【解答】解：由题意得：1＜2x﹣1＜3， 解得：1＜x＜2，
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考察了求函数的定义域问题，是一道基础题． 15．（4分）（2012秋思明区校级期中）计算：
【分析】利用分数指数幂的运算性质进行运算． 【解答】解：原式=
故答案为：10．
【点评】本题主要考查指数幂的运算，要求熟练掌握指数幂的运算公式． 16．函数f（x）=|x+2|的单调递增区间是 [﹣2，+∞） ． 【分析】去绝对值号得到调递增区间为[﹣2，+∞）． 【解答】解：
；
，根据一次函数的单调性便可看出f（x）的单
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∴x≥﹣2时，f（x）=x+2单调递增； ∴f（x）的单调递增区间为[﹣2，+∞）． 故答案为：[﹣2，+∞）．
【点评】考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，以及一次函数的单调性，分段函数的单调性．
三、解答题：本大题共6个小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（8分）（2015秋岳阳校级月考）已知全集U=R，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x＞a}（a∈R）．
（1）若a=2，求A∩（∁UB）； （2）若A∩B=∅，求a的取值范围．
【分析】（1）利用补集的定义求出CUB，再利用两个集合的交集的定义，求出A∩（CUB）．
（2）利用A∩B=∅，即可求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵全集U=R，集合B={x|x＞2}，∴CUB={x|x≤2}， ∴A∩（CUB）={x|1＜x＜3}∩{x|x≤2}={x|1＜x≤2}． （2）∵集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x＞a}，A∩B=∅， ∴借助数轴得a≥3．
【点评】本题考查的知识点是集合的交、并、补集的混合运算，其中根据已知条件求出CUB是解答的关键．
18．（8分）（2013春平邑县校级期中）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|ax﹣2=0}，若A∪B=A，求实数a的值所组成的集合．
【分析】由条件可得B⊆A，分a=0和a≠0，分别求出B，再由B⊆A，求得a的值，即可得到实数a的值所组成的集合．
【解答】解：A={1，2}，由A∪B=A得：B⊆A．﹣﹣﹣﹣（3分） ①若a=0，则B=∅，满足题意．﹣﹣﹣﹣（6分） ②若a≠0，则
，由B⊆A得：
，
∴a=1或a=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
∴a的值所组成的集合为{0，1，2}．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
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【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
．
19．（8分）（2015秋岳阳校级月考）已知函数（1）用定义证明：f（x）在（﹣3，+∞）上是减函数； （2）求f（x）在[﹣1，2]上的最大值．
【分析】（1）按取值，作差，化简，判号，下结论五步骤证明； （2）可判断函数
在[﹣1，2]上单调递减，从而求最大值．
【解答】解：（1）证明：任取x1，x2∈（﹣3，+∞），且x1＜x2， f（x1）﹣f（x2）=
﹣
=，
∵x1，x2∈（﹣3，+∞），且x1＜x2， ∴x2﹣x1＞0，x1+3＞0，x2+3＞0， ∴
故f（x1）＞f（x2），
故f（x）在（﹣3，+∞）上是减函数； （2）易知函数故
＞0，
在[﹣1，2]上单调递减，
．
【点评】本题考查了函数的单调性的证明与函数的最值的求法与应用．
20．（10分）（2001北京）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂价﹣投入成本）×年销售量． （1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
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【分析】（1）根据若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x和年利润=（出厂价﹣投入成本）×年销售量．建立利润模型，要注意定义域．
（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，只需今年的利润减去的利润大于零即可，解不等式可求得结果，要注意比例的范围． 【解答】解：（1）由题意得
y=[1.2×（1+0.75x）﹣1×（1+x）]×1000×（1+0.6x）（0＜x＜1）（4分） 整理得y=﹣60x2+20x+200（0＜x＜1）．（6分） （2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 即
（9分）
解不等式得．
答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足 0＜x＜0.33．（12分）
【点评】本小题主要考查建立函数关系、不等式的性质和解法等内容，考查运用数学知识解决实际问题的能力．
21．（10分）（2015秋岳阳校级月考）已知函数y=x+有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在
上是减函数，在
上是增函数．
（1）如果函数y=x+
（x＞0）在（0，3]上是减函数，在[3，+∞）上是增函数，求b的值；
（2）设常数c∈[1，4]，求函数f（x）=x+（1≤x≤2）的最大值和最小值． 【分析】（1）根据所给函数性质得
=3；
（2）判断f（x）在[1，2]上的单调性，利用单调性得出最值． 【解答】解：（1）由已知得（2）∵c∈[1，4]，∴
，∴b=2．
∈[1，2]，∴f（x）在[1，
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]上是减函数，在[，2]上是增函数．
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∴当又
时，函数f（x）取得最小值f（
，
）=2
．
当1≤c≤2时，函数f（x）的最大值是；
当2＜c≤4时，函数f（x）的最大值是f（1）=1+c． 【点评】本题考查了函数单调性的应用，属于基础题．
22．（12分）（2011秋罗定市期中）二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R，a≠0）满足条件：
①当x∈R时，f（x）的图象关于直线x=﹣1对称；②f（1）=1；③f（x）在R上的最小值为0；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．
【分析】（1）利用条件①②③，可确定解析式中的参数，从而可得函数f（x）的解析式；
（2）y=f（x+t）的图象是由y=f（x）平移t个单位得到，要x∈[1，m]时，f（x+t）≤x即y=f（x+t）的图象在y=x的图象的下方，且m最大．
【解答】解：（1）∵f（x）的对称轴为x=﹣1， ∴
=﹣1，即b=2a…（1分）
又f（1）=1，即a+b+c=1…（2分） 由条件③知：a＞0，且
，即b2=4ac…（3分）
由上可求得∴
（2）由（1）知：
…（4分） …（5分）
，图象开口向上．
而y=f（x+t）的图象是由y=f（x）平移t个单位得到，要x∈[1，m]时，f（x+t）≤x 即y=f（x+t）的图象在y=x的图象的下方，且m最大．…（7分） ∴1，m应该是y=f（x+t）与y=x的交点横坐标，…（8分） 即1，m是
的两根，…（9分）
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由1是
的一个根，得（t+2）2=4，解得t=0，或t=﹣4…（11分）
把t=0代入原方程得x1=x2=1（这与m＞1矛盾）…（12分） 把t=﹣4代入原方程得x2﹣10x+9=0，解得x1=1，x2=9∴ m=9…（13分）
综上知：m的最大值为9．…（14分）
【点评】本题考查待定系数法求函数的解析式，考查函数的最值问题，将问题转化为y=f（x+t）的图象在y=x的图象的下方，且m最大是关键，属于中档题．
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