三角函数倍角公式

三角函数倍角公式

复习重点:二倍角公式 二倍角的正弦公式： sin2A＝2sinAcosA 二倍角的余弦公式：

cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A 二倍角的正切公式：

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga 对公式的再认识：

(1) 适用范围：二倍角的正切公式有条件： A≠kπ＋且A≠k＋ (k∈Z)；

224(2) 公式特征：二倍角公式是两角和的正弦、余弦和正切公式之特例；二倍角关系是相对的。

(3) 公式的灵活运用：正用、逆用、变形用。

复习难点:倍角公式的应用 复习内容: 小结： 倍角公式：

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sin2A＝2sinAcosA

cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A tan2A＝2tanA 21－tanA

化“1”公式（升幂公式） 1＋sin2A＝(sinA＋cosA)2， 1－sin2A＝(sinA－cosA)2 1＋cos2A＝2cos2A 1－cos2A＝2sin2A 降幂公式 cos2A＝1＋cos2A

2sin2A＝1－cos2A

2

二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即:

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由此可继续导出三倍角公式.观察角之间的联系应该是解决三角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形式应根据题目具体而定.

倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即进一步得到半角公式:

，

降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:

.这个公式可由二倍角公式得出，这

个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即:

“万能”公式.

，，这组公式叫做

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教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.

例1．推导三倍角的正弦、余弦公式

解:sin3α=sin(2α+α)

cos3α=cos(2α+α)

例2．利用三倍角公式推导sin18°的值.

解:∵ sin36°=cos°,∴ 2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°

∵ cos18°≠0 ∴ 2sin18°=4cos218°-3 ∴ 2sin18°=4-4sin218°-3 ∴ 4sin218°+2sin18°-1=0 ∴ cos36°.

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. 本题还可根据二倍角公式推出

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即

例3．化简求值:(1) csc10°-tan20°+cot20°-2sec50°

解:(1) csc10°-

sec10°

.

sec10°(2)

(2) tan20°+cot20°-2sec50°

例4．求:sin220°+cos250°+sin30°sin70°

解:sin220°+cos250°+sin30°sin70°

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例5．已知: 解:∵ ∴ 即

,

, 即

，∴ cos4θ+sin4θ

，

.求: cos4θ+sin4θ的值.

例6．求cos36°·cos72°的值.

解:cos36°·cos72°

例7．求:

的值.

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解:

上述两题求解方法一致，都是连续应用二倍角的正弦公式.而能采用这种方法求值的题目要求也是严格的，要满足（1）余弦相乘，（2）后一个角是前一个角的两倍，（3）最大角的两倍与最小值的和（或差）是π.满足这三个条件即可采用这种方法.

例8．已知:2cosθ=1+sinθ，求

方法一: ∵2cosθ=1+sinθ，∴ ∴

或

，∴

,

.

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∴

,∴ 或 =2.

方法二:∵ 2cosθ=1+sinθ， ∴ ∴ ∴

=2.

例9．已知: 解:∵

，∴ ，

∵ 0≤α≤π, ∴

(1)当

时,

， ,∴

或

, ,∴

,

或

，求:tanα的值.

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则有

， ∴

，

,∴， ∴

∴ (2)当

.

，则有 ，

∴

， ∴，∴.

注意:1与sinα在一起时，1往往被看作

cosα在一起时，往往应用二倍角余弦公式把1去掉.

，而1与

例10．已知:sinθ, sinα, cosθ为等差数列;sinθ,sinβ, cosθ为等比数列.求证:2cos2α=cos2β.

证明:∵ ， ∴

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∴ 4sin2α=1+2sin2β ∴ 2-4sin2α=2-1-2sin2β ∴ 2cos2α=cos2β.

课后练习: 1．若则（ ）.

A、PQ B、PQ C、P=Q D、P∩Q=

2．若A为ΔABC的内角， A、 3．若 A、 4．若 A、

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，

，则cos2A=（ ）.

D、

B、 C、

，则sin2θ=（ ）.

B、

C、

D、

，则sinθ=（ ）.

B、

C、

D、-

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5．若 A、

6．若

，则

B、

=（ ）.

C、1 D、-1

，则cosα=________.

7. 若θ为第二象限角，且，则

.

=_____.8．已知sinA+cosA=2sinB. 求证:cos2B=cos2

参

1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.

7. 6

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