级数求和常用方法

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级数求和的常用方法

摘 要

级数理论及应用无论对数学学科本身还是在其他科学技术及理论的发展中都有极为重要的影响和作用，而级数求和是级数理论及应用的主要内容之一.由于级数求和的方法比较多，技巧性很强，一般很难掌握其规律，是学习的一个难点，因此掌握一些常用的级数求和方法就显得尤为重要.通过例题，分别针对常用的数项级数和函数项级数求和进行分析和讨论，试图通过对例题的分析和解决，展示级数求和的常用方法和思想，进而探索级数求和的规律，理解级数理论即合理应用，打下良好的基础，为学习者起到抛砖引玉的方法.

关键词：数项级数；函数项级数；求和；常用方法

I

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Summation of series method in common use

Abstract

Progression theory and application still are having the most important effect and function on the development of science and technology and theory disregarding logarithmic discipline per se, but summation of series is one of progression theory and applicative main content. Method of summation of series is comparatively many, the dexterity is very strong, in general very difficult to have its law in hand, be a difficult point studying, have some summation of series in common use method in hand therefore appearing especially important right away. Carry out analysis and discuss that by the fact that the example , difference are aimed at several progression and function item summation of series in common use, try to pass the analysis checking an example and solve, show summation of series method and thought in common use , probe and then the summation of series law , understand that progression theory is that reasonableness applies , lays down fine basis, in order the learner gets the method arriving at a modest spur to induce someone to come forward with his valuable contributions.

Key words: Count progression; function series; Sue for peace; Method in common use

II

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目 录

第一章 级数简介 ....................................... 1

1.1 级数发展简介 ..................................................... 1 1.2 级数的概念 ....................................................... 4

第二章 数项级数的求和方法 .............................. 6

2.1 根据定义求级数的和 ............................................... 6 2.2 利用公式的四则运算求级数的和 ..................................... 8 2.3 拆项消去法 ...................................................... 10 2.4 利用子序列法 .................................................... 12 2.5 利用幂级数理论求级数的和 ........................................ 13 2.6 利用Fourier级数理论求级数的和 .................................. 16 2.7 利用复数的Euler公式和De Moiver公式. ............................ 18 2.8 利用Euler常数法 ................................................ 20

第三章 函数项级数求和 ................................. 20

3.1 微积分法 ......................................................... 20

3.1.1 逐项微分，求和后再积分 ........................................................................................................................... 21 3.1.2 逐项积分，求和后再微分 ........................................................................................................................... 22 3.2 微分方程式法 ..................................................... 23 3.3 复数项幂级数求和法 ............................................... 26

参考文献 .............................................. 28

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第一章 级数简介

1.1 级数发展简介

数学史上级数出现的很早，在两千多年前人们就有了粗糙的级数思想.古希腊时期，亚里士多德(Aristotle，公元前384一公元前322)就知道公比小于l(大于零)的几何级数可以求出和数.芝诺(Zeno，公元前490一约公元前425)的二分法涉及到把1分解成无穷级数

11112342222.阿基米德(Archimedes，公元前287一公元前212)在《抛物线图形求积法》

一书中，使用几何级数去求抛物线弓形面积，并且得出了级数

1111423443的和.中国4古代《庄子·天下》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”含有极限的思想，用数学形式表达出来也是无穷级数.

到了中世纪，由于数学家和哲学家对一些涉及到无穷思想的悖论展开了激烈的争论，使得关于无穷级数的研究开展起来.最具代表的是法国数学家奥雷姆(Nicolas Orense，1323一1352)用最初等的方法证明了调和级数

111112345k

1的和为无穷，用现在的形式可表示为

111111112345678

1

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1111111124488881111.222

中世纪的级数理论，从本质上看没有突破性进展，它的主要贡献并不在于所得到的具体结果，而是在于促使人们接受一种新的观点，即在数学中可以自由的承认无限过程.这对后来理解无穷过程做了铺垫，为形式化处理级数奠定了思想基础.

早期数学家仅凭直觉就认为级数是可以收敛的，并将级数从有限项自然的拓展为无限项使用，这导致了有限法则无限拓展的产生.17世纪，伴随着微积分的产生，许多数学家通过微积分的基本运算与级数运算的形式化结合，得到了一些初等函数的幂级数展开式，并且级数在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力工具，这就使得无穷级数成为微积分不可缺少的部分.

1669年，牛顿 (Isaac Newton，1643一1727)在他的((用无限多项方程的分析

学》中，用级数反演法给出了sinx，cosx的幂级数，arcsinx，arctanx和e的级数展开.格雷戈里 (James Gregory， 1638一 1675)得到了tanx，secx等函数的级数，莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz，1646一 1716)也在1673年独立地得到了sinx，cosx和arctanx等函数的无穷级数展开式，以及圆面积和双曲线面积的具体展开式.在微积分的早期研究中，有些函数如指数函数等超越函数的处理相

x当困难，然而人们发现，若用它们的级数来处理，则非常有成效.因此，无穷级数从一开始就是莱布尼茨、牛顿等人微积分工作的一个重要部分.有时使用无穷级数是为了计算一些特殊的量，如二和.以及求隐函数的显式解.

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17世纪后期和18世纪，为了适应航海、天文学和地理学的发展，摆在数学家们面前的问题之一是函数表的插值.由于对函数表的精确度要求较高，数学家们开始寻求较好的插值方法，牛顿和格雷戈里给出了著名的内插公式

hh1hcc2fahfafafac12.

1715年泰勒 (Brook Taylor，1685一1731)发表了《增量方法及其逆》(Methods

Increment rum Direct et Inverse)，奠定了有限差分法的基础.17世纪，牛顿、莱布尼茨等人曾研究过有限差分问题，泰勒的工作则使有限差分法从局限的方法(如二项式定理、有理函数的长除法、待定系数法等等)过渡到了一般的方法.这本书中他给出了单变量幂级数展开的著名公式，即泰勒级数

h2h3'''fahfafahfafa2!3!

'\"泰勒是第一个发表此级数的人，但他不是第一个发现此级数的数学家.在他之前格雷戈里、牛顿、莱布尼茨、约翰·伯努利 (John Bernoulli，1667一 1748)和棣莫弗(Abrahamde Moivre，1667.1754)等数学家都研究过此级数. 1717年泰勒运用这个级数求解方程，取得了很好的结果，但是他的证明是不严格的而且没有考虑

收敛问题，在当时影响并不太大.直到1755年，欧拉在微分学中将泰勒级数推广应用到多元函数，增大了泰勒级数的影响力，随后拉格朗日用带余项的泰勒级数作为函数论的基础，才正式确立了泰勒级数的重要性.后来麦克劳林(Maclanrin colin， 1698一1746)重新得到泰

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勒公式在a0时的特殊情况，现代微积分教材中一直将这一特殊情形的泰勒级数称为“麦克劳林级数”.

詹姆斯·伯努利 (James Bernoulli，1654一1705)与约翰·伯努利在级数方面做了大量的工作.詹姆斯·伯努利在1689一 1704年间撰写了5篇关于无穷级数的论文，成为当时这一领域的权威，这些论文的主题是关于函数的级数表示及其求函数的微分与积分，求曲线下面积和曲线长等方面的应用，所有这些级数的应用是对微积分的重大贡献.

1.2 级数的概念

定义1.2.1 给定一个数列un，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 u1u2un （1）

称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中un称为数项级数的通项.

数项级数（1）也常写作

un1n或简单写作un.

定义1.2.2 设unx是定义在数集E上的一个函数列，表达式

u1xu2xunx,xE

uxunx称为定义在E上的函数项级数，简记为或.

nn1 4

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第二章 数项级数的求和方法

级数求和的问题，一般来说，是一个困难问题，没有一劳永逸的方法.因为部分和

nuxnsnsnank1随n增大时，数项越来越多，除非能化为已知级数，人们只能设法把n1sn写

成紧缩式，才便于求极限.级数求和的常用方法一般直接用定义法、拆项法、公式及四则运算法、利用幂级数法、傅里叶级数理论和阿贝尔求和法等方法.下面对级数求和的方法举例进行说明.

2.1 根据定义求级数的和

利用定义求级数的和就是求级数部分和数列的极限.由于当n时，部分和

snu1u2un的项数无限增多，因此为了求sn的极限，必须设法把sn加以简化直至解出极

限.但是如何加以简化sn并没有一般的方法，下面我们通过例题加以介绍.

例2.1.1 设

nandn,nanan1sn1，求级数

an1n的和.

分析 要寻求n1an之和，只要将其部分和

Tn用已知级数n1nanan1部分和与已知数列

nan表示出来.

解 因

skank1nkak1a0a1an1nan，

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n1则

Tnaknansndsnk0，

于是k1akaka0dsa0k0.

例2.1.2 计算解 记sqcosaq2cos2aqncosnaq1..

2nqcosaqcos2aqcosnan

qkcoskak1n.

两边同时乘以2qcosa，得

2qcosa•sn2qk1cosacoskak1n

qk1cosk1acosk1ak1n，

即

2qcosa•snqk1cosn1asnqcosaq2q2snqn2cosna，

借此方程便得

qn2cosnaqn1cosn1aqcosaq2sn1q22qcosa

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qcosaq21q22qcosa (当n时).

2.2 利用公式的四则运算求级数的和

利用一些常见数列的求和公式，如等差数列、等比数列等求和公式，结合其四则运算性质求出级数的和.

1352n123n2例2.2.1 计算222.

解 由于

sn1352n123n2222 （1）

11352n1sn2223242n1 （2） 而212式得

11222222sn22223242n2n11112n111n2n222211n12n121n12212

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Slimsn1n11123故原级数的和 .

nn1例2.2.2 求

n1212的和.

解：首先注意，因为

snk1n2k1k2k1211111n2k2k12n1k1，

nn1所以

n122n121，

同理可得n1nn111.

1226， 又n1n于是，根据收敛级数可以逐项加减等性质，可知

2n1112122n2nn12222nn1nn1n1nn1n1n1   9

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11222n1nn1nn1

22621232

nn1所以

n12122n11n2n12n2n12n12n1n2n12

2 32.3 拆项消去法

21233

连锁消去法在级数求和法中是一种很重要的方法，它的关键使将级数的一般项分解成部分分式的形式.

1111nn1例2.3.1 计算122334.

解 由于

sn1111122334nn1

111而nn1nn1

所以

sn1111111122334nn1

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111n

11n1.

故原级数的和

Slimsn1nn说明 还可以多项相消，求形如n1n1n2n3之类的级数之和.

例2.3.2 求级数k1arctan12k2之和.

提示 利用公式

xy,1xyarctanxarctanyarctanarctan111arctanarctan.2k12k1 2k2解

n111arctanarctanarctan22k12k12kk1k1n11111arctan1arctanarctanarctanarctanarctan3355711arctanarctan2k12k11arctan1arctan2k1

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n111arctanlimarctanlimarctan1arctan22nn2k12k2k k1k1因此

 arctan1.

2.4 利用子序列法

lim我们知道，若s与s有相同极限s，则s2n2n1nns.因此对于级数

an1n，若通项an0 (当

nan时)，则部分和的子序列s收敛于s，意味着s也收敛于s，从而

2ns2n1n1.我们把

s2na与s称为互补子序列.这个原理可推广到一般：若

2n1n1n的通项an0(当n时)，sn的

s子序列

pnn1s （p是某个正整数），则n1ans.我们把这种方法称为子序列法.

111111111例2.4.1 计算2438169326427

解 此级数的通项趋近于零，所以只求sn的极限即可

1111111s3n222232n3323n12n11n111121313121123

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11111slims3nn131221123而

例2.4.2 计算

1111111111112345627893.

解 此级数的通项趋近于零，所以只求sn的极限，注意公式

111Clnnn23n，

1其中C为Euler常数，n0（当n时）.因此，对原级数，

111111233n2nln3nlnn3nnln3s3n1

故原级数和 sln3.

2.5 利用幂级数理论求级数的和

若

an0n收敛，则有

an0n=

limanxx1n0n，将

an0n转化成

axnn0n，对求

axnn0n有两种常用方法：

方法1：利用逐项微分法求和

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xS(x)a0an0(atnn1n)dt'，方法的效果取决于

axnn1n1是否容易求和，na是否为a的简化，若

nn1p(n)，p(n)为n的多项式并且含有因子n是、时效果更好.

方法2：利用逐项积分法求和

S(x)x0(atnn1n)dt，当a为多项式时，应分解p(n)为nn1等式子的组合.

n由Abel第二定理：若幂级数n0anxn的收敛半径r0，则幂级数在任意闭区间a,ar,rn上都一致收敛.计算收敛的数项级数n0x10，取极限，则n0a的和，只需求n0anxn在1,1内的和函数sx，令

anlimsxx10.

1nn2n1例2.5.1 求数项级数的和.

1xnnn2解 构造幂级数n1，求得收敛半径r2.收敛区间是2,2.设它的和函数是sx，即sx1x,x2,2nnn2n1.由幂级数可逐项可导，有

21xn11xx21sxn1,x2,22n122222x2x. ' 14

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xxx2,2，有0stdt'0dt2,或sxs0ln2t2x.因为s00，所以

212lnx,x2,2sxlnnn2x.即2xn1n2.

令x1，有

ln21111n2322232n1n2

例2.5.2 计算

1111n11234n

解 由于

n11ln1xxn1x1n1n

而

x10n11n1xnn的收敛半径为1，且在x1收敛，令x10，在等式两端取极限，有

limln1xlimx10n11n1xnnn11n1nx10limxn

1n1n1•1n

即n11n1nlimln1xln2x10.

1111n11ln2234n.

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2.6 利用Fourier级数理论求级数的和

先求出函数的傅里叶展开式，在确定其在收敛于内某个特殊点的值，这是用傅里叶级数求常数项级数的基本思想.

傅里叶展开的基本方法：1）按系数公式计算系数

1bnxanfxcosdx,n0,1,2,,lal

1bnxfxsindx,n0,1,2,,all

bn其中

lba2.

a0nxnxfx~akcosbksin2ll. n12）将算出的系数代入级数

3）根据收敛定理，判定~可改为等号的范围.若fx在a,b上分段光滑，则级数的和函数

fx0fx0,当xa,b为fx的间断点，2fx，当xa,b为fx的连续点，sxfa0fb0，当xa,b时，2呈周期，其他.

1xfx4k2ox2k1例2.6.1 设函数，.试求的值.

2 16

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2xfx2在0,2上展开成Fourier级数， 解 将函数

a0120212x1xakcoskxdx2dx6，02k， 222bk0

22coskxxfx~20x2212kk1于是，因为fx在0,2内连续，所以2coskxxfx2212k k12a012x22akbkdx022k1由Parseval等式

42122有6114k1k220xdx2

41 1614490 所以k1kt4dt440

111212322n12n1n2n1n1n1n1说明 求形如，n0，，之类的数值级数，可将某些特殊函

数在一定区域上展成Fourier级数，然后取适当的x的值或逐项积分.

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11xfx0x42例2.6.2 设，其中.试求k12k1的值.

k1解 将函数进行奇式周期延拓，则an0n0,1,2，

bn2x0fxsinnxdx20xsinnxdx420当n为奇数n1112n当n为偶数n

1fx~sin2nx，其中x0,，因为fx在0,上连续. n12n所以

x111fxsin2kxsin2kx42n12k4. .取4，则424n12k所以

所以811111k11123572k1.

即k12k11k14.

2.7 利用复数的Euler公式和De Moiver公式.

说明 用于三角级数求和问题

设z为复数，令zcosxisinx，pn是实数n0,1,2,有

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pn0nzpncosxisinxnn0n

pncosnxisinnxn0

pncosnxipnsinnxn0n0

cosna例2.7 计算n0n!

zne1n1n!，令zcosaisina，有 解 因为复述级数

zezecosaisinaecosa•eisinaecosacossinaisinsina

ecosacossinaiecosasinsina

cosaisinazn11n!n1而n1n!

n1cosnaisinnan!n1cosnasinnain! n1 n0n!cosnaecosacossina于是n0n!

 19

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2.8 利用Euler常数法

nn11limlnnlnncannkcc0.57721k的值为所谓的欧拉常数，设为极限k1，则有k1，

其中nliman0，利用上式，可以求出某些数值级数的和.

例2.8 求

s1n1n2n1

n121snk1k2k1k1k2k1 解

nn11112k352n1k11111111121212n2n1242n23k1knn2n1122222n1k1kk1k2clnnan2cln2na2n222n1

22ln22an2a2n222ln2n2n1

即 s22ln2

第三章 函数项级数求和

3.1 微积分法

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3.1.1 逐项微分，求和后再积分

先求

sx'n的紧缩式，然后再利用积分公式：

'tdtsnxsnxsnsnx

x2n1例3.1.1.1 计算n12n1

解 不难计算其收敛半径为1，设它的和函数sx，即x1,1，有

x2n1x3x5x2n1sxx2n1352n1n1

逐项微分，有

242n2x1xxxs'11x2

x1,1，对上式从0到x积分，得

sx111xdtln01t221x x1,1

xsinnx例3.1.1.2 设x0,，试求如下级数之和n1n.

解 若x0，显然级数和为0.现设0x.记

snxsinkxk， k1n 21

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'nnsinkxsxcoskxk1kk1则

'nnx1112sincoskxsinkxsinkxxx222k1k12sin2sin2212n1xxsinsinx222sin21sinnx12x22sin2

1n于是

'tdtsnxsnxsnsnx

12x

11sinntdtxt22sin2.

1利用Riemann引理，n时上式第一项趋向零.所以级数和

0,当x0,sx1x,当0x.2

3.1.2 逐项积分，求和后再微分

例3.1.2.1 计算n0n1xn

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解 不难计算其收敛半径为1，设它的和函数sx，即x1,1，有

sxn1xn12x3xn1xnn0

x1,1，对上式从0到x逐项积分，有

stdtn10n0xx0tndt

dt2tdt3tdt000xxxxx2x3x4

x1x

sx1对两边求导数，有

1x2

即

n1xnn011x2.

3.2 微分方程式法

基本思想是为了求出幂级数或函数项级数的和函数，有时找出和函数所满足的微分方程及定解条件，解此微分方程的定解问题得到级数的和函数；主要还是设法证明级数的和满足某个方程式然后求次方程的解.

23

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x2x3x4x5x6例3.2.1 计算1x21324135246.

提示 收敛半径为，逐项微分可知

s'x1xsx.

解 设x2x3sx1x213x424x5135x6246

s'逐项微分x1xx2x3x4x5121324

所以s'x1xsx，并且有s01.

解此微分方程的初值问题

s'x1xsxs01

xsxe2xet2dt得

01. 例

3.2.2 证明：若函数fx在0,1上连续，令f0xfxf1n1xxfnydyx0,1,n0,1,2,,则fnx11在0,1上一致收敛于

xeyxnxfydy.

24

，

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证 1.（先证明该级数一致收敛）

因fx在0,1上连续，所以有界.即M0，使fxM于0,1上，由此知

f1x1xf0ydyfydyM1x，

x1121xf2xf1ydyM1xdxM,xx12!

由数学归纳法易证

n1xxM

n1xMfnn! n1,2,3,.

但

n!Me1x0,1在全数轴上成立，上一致收敛.所以n1fnx在0,1上绝对一致收敛.

2.（证明和满足微分方程）记原级数之和为

xftdtdt1ft2dt2xxt1111. (1)

次式两端同时加以fx，再同时在0,1上取积分得

ftdttdtx. (2)

xx11 25

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'由此求得 xxfx0. (3)

从(2)式可以看出 10 （4）

在条件（4）下求解微分方程（3）可得

xeyxfydyx1.

'xxuxfxexuxe未学过微分方程的读者可以这样来求解;设，则代入（3）式得，

所以

uxftetdtC0x. （5）

根据（4）式应有u10故知

Cftetdt01代入（5）

从而

uxftetdtftetdt00x1

ftedtfyeydytxx11.

因此

xexfyex1ydyfyeyxdyx1.

3.3 复数项幂级数求和法

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此方法主要计算三角函数项级数的和，为计算形如的和，可以借助于复数项级数k0akcoskx及k0ixaksinkx的三角函数项级数

akzk来求.事实上，我们令ze，则通过Demoivre公式

zekikxcoskxisinkx，有k0akyakcoskxiaksinkxkk0k0.

因此，若k0akzk收敛，则

kkacoskxReazasinkxImazkkkkk0k0，k0k0.

这样就通过k0akzk就可计算上式左边级数的和.

通常将k0akzk1ezk,zk0k!取作指数函数或对数函数：或

zln1zk11k1zk,zk1.

11coskxsinkxk!k!例3.3.1 求k0，k0的和.

ixkikx解 令ze，zecoskxisinkx，而

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1kzeixzeeecoskxisinkx k0k!!

coskxisinkxcoskxcossinxisinsinx， e•ee

11kcoskxRezecosxcossinxk0k!所以k0k!，

11ksinkxImzecosxsinsinxk0k!k0k!.

参考文献

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