高中数学北师大版选修4-4-7+(1)

教学目标

知识与技能：复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理.

过程与方法：以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。

情感态度价值观：基本数学思想是比例及其性质的应用，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点

平行线分线段成比例定理.

教学难点

相似三角形的判定定理、性质定理等等。

课 时 3课时

一．基础知识回顾

1、如图15-1，l1∥l2∥l3，AM=3，BM=5，CM=4.5，EF=16，则DM= ，

EK= ，FK= ．

答案:DM=7.5，EK=6，FK=10；

2、如图，ΔABC中，点D为BC中点，点E在CA上，且CE=

EA，AD，BE交于点F，则AF:FD= ．

答案:AF:FD=4:1；

3、一个等腰梯形的周长是80cm，如果它的中位线长与腰长相等，它的高是12cm，则这个梯形的面积为 cm2．

答案:240；

4、如图15-3，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，则梯子的长为 cm．

答案:440．

二．典型例题讲解

例1．如图15-4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，E是AB边的中点，连结ED、EC，求证：ED=EC．

分析：要证明ED=EC，只要设法证明E在线段CD的垂直平分线上．

证明：过E点作EF∥BC交DC于F点．

∵在梯形ABCD中，AD∥BC，

∴AD∥EF∥BC．

∵E是AB的中点，

∴F是DC的中点．

∵∠ADC=90°，∴∠DFE=90°．

∴EF⊥DC，

∴EF是DC的垂直平分线．

∴ED=EC．

评析：根据平行线等分线段定理可以得到，在梯形中，若已知一腰的中点，那么过这点作底边的平行线即可得到另一腰的中点，本题正是利用这一结论再结合

线段垂直平分线的性质得证的．平行截割定理的应用很广泛，它体现了从简单到复杂、从特殊到一般的数学思想，是研究相似形最重要、最基本的理论．

例2．如图15-5，在ΔABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB与点D，交边CA的延长线于点E，交边BC于点N．

求证：AD∶AB=AE∶AC．

分析：要证明AD∶AB=AE∶AC，必须找到与

AD∶AB和AE∶AC都相等的第三个量．

证明：∵AM∥EN，

∴AD∶AB=NM∶MB，NM∶MC=AE∶AC．

∵MB=MC，

∴AD∶AB=AE∶AC．

评析：本题的理论依据是平行于三角形一边的

直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．由于直接证明相对较困难，所以利用了中间比进行等量代换，这种方法在有关比例式的证明中经常使用．

例3．在梯形ABCD中，点E、F分别在腰AB、CD上，EF∥AD，AE∶EB=m∶n．

求证：（m＋n）EF=mBC＋nAD．你能由此推导出梯形的中位线公式吗？

分析：要证明（m＋n）EF=mBC＋nAD，只要证明EF=

，

又EF与AD、BC都平行，因此比较容易联想到平行截割定理．

证明：【方法一】如图（1），连结AC，交EF于点G．

∵AD∥EF∥BC，

∴

．

∴

，

．

∵EG∥BC，FG∥AD，

∴

，

．

∴EG=

，GF=

，

∴EF=EG＋GF=

＋

，

∴（m＋n）EF=mBC＋nAD．

当EF为中位线时，AE∶EB=1∶1，即m=n=1，

得2EF=BC＋AD，即EF=

（BC＋AD）．

【方法二】如图（2），过点B作BG∥CD，交EF于点H，交AD于G．

∵AD∥EF∥BC，BG∥CD，

∴BC=HF=GD．

∵EH∥AG，

，

∴

，EH=

．

∴EF=EH＋HF=

＋HF．

∴（m＋n）EF=nAG＋（m＋n）HF=nAG＋mBC＋nGD=mBC＋nAD．

评析：这个结果称为线性插值公式．当点E、F在AB、DC的延长线上（或BA、CD延长线上）时，由于AE与EB的方向相反，可以把m∶n理解为负值，在此理解下，此公式仍然成立．证明可仿上面的证明给出．

三．精选试题演练

1、如图15-6，已知：AC⊥AB，BD⊥AB，AO=78cm，

BO=42cm，CD=159cm，则CO= cm，

DO= cm．

答案:103.35，55.65；

2、已知，如图15-7，AA′∥EE′，AB=BC=CD=DE，

A′B′=B′C′=C′D′=D′E′，若AA′=28mm，EE′=36mm，

则BB′= ，CC′= ，DD′= ．

答案:30mm，32mm，34mm；

3、如图15-8，BC∥B′C′，AC∥A′C′．求证：AB∥A′B′．如果BC=2B′C′，那么AB是A′B′的多少倍？

提示：∵BC∥B′C′，∴

．∵AC∥A′C′，∴

．

∴

，∴AB∥A′B′，AB=2 A′B′．

4、如图15-9，EF∥BC，FD∥AB，AE=1.8cm,BE=1.2cm,CD=1.4cm．求BD．

答案:2.1cm．

提示：∵EF∥BC，∴

．∵DF∥AB，∴

，

即BD=

=2.1cm．

5、如图15-10，过梯形ABCD的对角线交点O作直线EF平行于底，分别交两腰AD、BC于点E、F，求证：

．

提示：∵EF∥BC∥AD，∴

，

，

，

将四个等式相加得到

，则

．

6、如图15-11，直线l分别交ΔABC的边BC，CA，AB所在直线于点D，E，F，

且AF=

AB，BD=

BC，求

．

提示：作CN∥AB交DF于点N，由平行割线定理得

，

，两式相乘得

．又由AF=

AB得

，由BD=

BC得

，则

=2×

=

．

7、已知：M，N分别为平行四边形ABCD的边AB，CD的中点，CM，AN分别交BD于点E，F，求证：E，F三等分BD．

提示：∵∥AB∥CD且AB=CD，M，N分别为AB，CD的中点，∴AM∥CN，AM=CN，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AN∥CM．∵DN=NC，由平行截割定理知DF=FE，同理FE=EB．则E，F三等分BD．

8、如图15-12，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AB，CD的中点．

求证：GH=

（BC－AD）．

提示：由条件得EF是梯形ABCD的中位线，则有EF∥AD∥BC，由平行线等分线段定理得AH=HC，BG=GD，∴FH=

AD，FG=

BC，∴GH=FG－FH=

（BC－AD）．

9、如图15-13，BD=CE，求证：AC·EF=AB·DF．

提示：过点D作DG∥AC，交BC于点G，得

．

或过点E作EM∥AB，可得

．

四．教学反思

本讲的知识重点是平行线等分线段定理、平行截割定理及其推论，是研究相似形最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判断线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比。在使用定理和推论的时候，应特别注意对应的问题。

这一部分常见的题型为利用比例计算线段的长度和利用平行关系证明比例式（或等积式），突破难点的关键在于抓住平行找比例，没有平行作平行，多个比例巧过渡，需要注意的是，在图形中添加平行线一般要遵循的以下原则：一是不能破坏给定的条件；二是作出的辅助线要能“一线两用”．