第1章 全等三角形单元测试卷（A卷基础篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2018秋•无为县期末）下列说法正确的是（ ） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形形状一定相同 D．两个正方形一定是全等图形
【分析】根据全等图形的定义进行判断即可．
【解答】解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误； B：长方形不一定是全等图形，故B错误； C：两个全等图形形状一定相同，故C正确； D：两个正方形不一定是全等图形，故D错误； 故选：C．
【点评】本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键． 2．（3分）（2019春•临安区期中）如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（ ）
A．30°
B．35°
C．40°
D．50°
【分析】根据全等三角形的性质和角的和差即可得到结论． 【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′， ∴∠A′CB′＝∠ACB＝70°， ∵∠ACB′＝100°，
∴∠BCB′＝∠ACB′﹣ACB＝30°， ∴∠BCA′＝∠A′CB′﹣∠BCB′＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
3．（3分）（2018秋•吴江区期末）如果△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12，AB＝3，BC＝4，则AC的长为（ ） A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】根据全等三角形的周长相等求出△ABC的周长，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12， ∴△ABC的周长为12，又AB＝3，BC＝4， ∴AC＝5， 故选：D．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的周长相等，面积相等是解题的关键． 4．（3分）（2018秋•莆田期末）下列条件中，不能作出唯一三角形的是（ ） A．已知三角形两边的长度和夹角的度数 B．已知三角形两个角的度数以及两角夹边的长度 C．已知三角形两边的长度和其中一边的对角的度数 D．已知三角形的三边的长度
【分析】根据全等三角形的判定知识得到不能作出唯一三角形的选项即可． 【解答】解：A、根据SAS可得能作出唯一三角形； B、根据ASA可得能作出唯一三角形； C、根据条件不能作出唯一的三角形； D、根据SSS可得能作出唯一三角形． 故选：C．
【点评】主要考查全等三角形的判定的应用；注意SSA不能判定两三角形全等，也不能作出唯一的三角形．
5．（3分）（2019春•沙县期末）如图，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件不能判断△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C
B．BE＝CD
C．AD＝AE
D．BD＝CE
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件； C、如添加AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BD＝CE，可证明AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD； 故选：B．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．（3分）（2019春•金水区校级月考）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A．一个锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等 C．两个锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等
【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【解答】解：A、一个锐角和斜边对应相等，正确，符合AAS， B、两条直角边对应相等，正确，符合判定SAS； C、不正确，全等三角形的判定必须有边的参与； D、斜边和一条直角边对应相等，正确，符合判定HL． 故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、
HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（3分）（2019春•市中区期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接BC并延长至E，使CE＝CB，连接ED．若量出DE＝58米，则A，B间的距离即可求．依据是（ ）
A．SAS
B．SSS
C．AAS
D．ASA
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得答案． 【解答】解：在△ABC和△DEC中，△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB＝DE＝58米， 故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
8．（3分）（2019春•桂林期末）如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（ ）
，
A．7
B．5
C．3
D．2
【分析】根据垂直的定义得到∠AEC＝∠D＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D， ∴∠AEC＝∠D＝90°， 在Rt△AEC与Rt△CDB中
，
∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL）， ∴CE＝BD＝2，CD＝AE＝7， ∴DE＝CD﹣CE＝7﹣2＝5， 故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据已知条件判定三角形的全等． 9．（3分）（2019•合浦县二模）如图，在△PAB中，PA＝PB，D、E、F分别是边PA，PB，AB上的点，且AD＝BF，BE＝AF，若∠DFE＝34°，则∠P的度数为（ ）
A．112°
B．120°
C．146°
D．150°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，证明△ADF≌△BFE，得到∠ADF＝∠BFE，根据三角形的外角的性质求出∠A＝∠DFE＝42°，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵PA＝PB， ∴∠A＝∠B，
在△ADF和△BFE中，
，
∴△ADF≌△BFE（SAS）， ∴∠ADF＝∠BFE，
∵∠DFB＝∠DFE+∠EFB＝∠A+∠ADF， ∴∠A＝∠DFE＝34°，
∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝112°， 故选：A．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于点O，现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC；③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD，选择其中2个条件作为题设，余下2个条件作为结论，所有命题中，真命题的个数为（ ）
A．.3
B．.4
C．.5
D．、6
【分析】本题实际是考查全等三角形的判定，根据条件可看出主要是围绕三角形ABE和ACD全等来求解的．已经有了一个公共角∠A，只要再知道一组对应角和一组对应边相等即可得出三角形全等的结论． 【解答】解：第一种：命题的条件是①和③，命题的结论是②和④． ∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，∠BAC＝∠CAB， ∴△ABE≌△ACD． ∴BE＝CD．
又∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝∠ABC﹣∠ABE＝∠CBE， ∴△BOC是等腰三角形． ∴OB＝OC；
同理可得：第二种：命题的条件是②和③，命题的结论是①和④． 第三种：命题的条件是①和②，命题的结论是③和④． 第四种：命题的条件是③和④，命题的结论是②和①． 第五种：命题的条件是②和④，命题的结论是①和③． 故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，要注意的是AAA和SSA是不能判定三角形全等的． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）（2018秋•凉州区期末）如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3＝ 135 度．
【分析】标注字母，然后根据网格结构可得∠1与∠3所在的三角形全等，然后根据全等三角形对应角相等可以推出∠1+∠3＝90°，再根据∠2所在的三角形是等腰直角三角形可得∠2＝45°，然后进行计算即可得解．
【解答】解：如图，根据网格结构可知， 在△ABC与△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SSS）， ∴∠1＝∠DAE，
∴∠1+∠3＝∠DAE+∠3＝90°， 又∵AD＝DF，AD⊥DF， ∴△ADF是等腰直角三角形， ∴∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°． 故答案为：135．
，
【点评】本题主要考查了全等图形，根据网格结构的特点找出全等三角形以及等腰直角三角形是解题的关键．
12．（3分）（2019•五华区模拟）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的 2 块带去，就能配一块大小和形状与原来都一样的三角形．
【分析】应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故答案为：2．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．
13．（3分）（2018秋•龙凤区校级月考）一个三角形的三边长为5，y，13，若另一个和它全等的三角形的三
边长为5，12，x，则x+y＝ 25 ．
【分析】根据全等三角形对应边相等求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴x＝13，y＝12， ∴x+y＝13+12＝25， 故答案为：25
【点评】本题考查了全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质准确找出对应边得到x、y的值是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，射线AD交BC于点D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，请补充一个条件，使△BED≌△CFD，你补充的条件是 答案不唯一，如BD＝DC （填出一个即可）．
【分析】根据全等三角形的判定定理AAS判定△BED≌△CFD． 【解答】解：可以添加条件：BD＝DC． 理由：∵BD＝CD； 又∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠E＝∠CFD＝90°； ∴在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
故答案是：答案不唯一，如BD＝DC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
15．（3分）（2019春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，与线段AD交于点F，∠ACB＝∠AED＝108°，∠CAD＝12°，∠B＝48°，则∠DEF的度数 36° ．
【分析】由△ACB的内角和定理求得∠CAB＝24°；然后由全等三角形的对应角相等得到∠EAD＝∠CAB＝24°．则结合已知条件易求∠EAB的度数；最后利用△AEB的内角和是180度和图形来求∠DEF的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝108°，∠B＝48°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣48°﹣108°＝24°． 又∵△ABC≌△ADE， ∴∠EAD＝∠CAB＝24°．
又∵∠EAB＝∠EAD+∠CAD+∠CAB，∠CAD＝12°， ∴∠EAB＝24°+12°+24°＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠B＝180°﹣60°﹣48°＝72°， ∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEB＝108°﹣72°＝36°． 故答案为：36°
【点评】本题考查全等三角形的性质．全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
16．（3分）（2018秋•岳池县期末）如图，在△ABC中，F是高AD和BE的交点，且AD＝BD，AC＝8cm，则BF的长是 8cm ．
【分析】证△DBF≌△DAC，推出BF＝AC即可解决问题．
【解答】解：∵F是高AD和BE的交点， ∴∠ADC＝∠ADB＝∠AEF＝90°，
∴∠CAD+∠AFE＝90°，∠DBF+∠BFD＝90°， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠CAD＝∠FBD，
∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠BAD＝45°＝∠ABD， ∴AD＝BD，
在△DBF和△DAC中，
，
∴△DBF≌△DAC（ASA）， ∴BF＝AC＝8cm， 故答案为8cm
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△DBF≌△DAC．
17．（3分）（2019春•滨湖区期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为 48 .
【分析】根据平移的性质得出BE＝6，DE＝AB＝10，则OE＝6，则阴影部分面积＝S四边形ODFC＝S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．
【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10， ∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∴S四边形ODFC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝（10+6）×6＝48． 故答案为48．
【点评】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形ABEO的面积相等是解题
的关键．
18．（3分）（2019•中原区校级模拟）如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，则下列结论：（1）∠1＝∠2；（2）BE＝CF；（3）△ACN≌△ABM；（4）△MCD≌△NBD中，正确的是 （1）（2）（3）（4） ．
【分析】由已知条件，易得△AEB≌△AFC，得到角相等，借助公共角得（1）是正确的，进一步可得其它结论是正确的．
【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF ∴△AEB≌△AFC ∴BE＝CF（第二个正确） ∠EAB＝∠BAC
∴∠1＝∠2（第一个正确） ∵△AEB≌△AFC ∴∠B＝∠C，AB＝AC ∵∠CAB＝∠BAM
∴△ACN≌△ABM（第三个正确） ∴AM＝AN ∵AB＝AC ∴BN＝CM
∵∠B＝∠C，∠MDC＝∠NDB ∴△MCD≌△NBD（第四个正确） 故填（1）（2）（3）（4）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质；得到△AEB≌△AFC是正确解答本题的关键． 三．解答题（共5小题，满分46分）
19．（8分）沿着图中的虚线，用四种不同的方法将下面的图形分成两个全等的图形
【分析】直接利用图形形状分成全等的两部分即可． 【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的定义是解题关键．
20．（8分）（2019春•醴陵市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F． 求证：△ABE≌△ADF．
【分析】首先由角平分线的性质定理得到：AE＝AF，再由HL判定Rt△ABE≌Rt△ADF即可． 【解答】证明：∵CA平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F， ∴AE＝AF．
在Rt△ABE与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与角平分线的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
21．（10分）（2018秋•东城区期末）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D． （1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．
【分析】（1）先证明∠ABC＝∠DEF，再根据ASA即可证明． （2）根据全等三角形的性质即可解答． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF， 在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF； （2）∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF， ∴BF+FC＝EC+FC， ∴BF＝EC，
∵BE＝10m，BF＝3m， ∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．
22．（10分）（2019•九龙坡区校级模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CE、BD分别为∠ACB、∠ABC的角平分线，CE、BD相交于P． （1）求证：CD＝BE；
（2）若∠A＝98°，求∠BPC的度数．
【分析】（1）由“ASA”可证△BCE≌△CBD，可得CD＝BE； （2）由三角形内角和定理可求∠BPC的度数． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，
∵CE、BD分别为∠ACB、∠ABC的角平分线
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，∠ACE＝∠BCE＝∠ACB ∴∠DBC＝∠BCE，且∠ABC＝∠ACB，BC＝BC ∴△BCE≌△CBD（ASA） ∴CD＝BE， （2）∵∠A＝98° ∴∠ABC+∠ACB＝82° ∴∠DBC+∠BCE＝41°
∴∠BPC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCE＝139°
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E； （1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
【分析】（1）由已知条件，证明ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE＝90°，即可证明AB⊥AC；
（2）同（1），先证ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE＝90°，即可证明AB⊥AC．
【解答】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°， 在Rt△ABD和Rt△ACE中， ∵
，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠ACE．
∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°．
∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°． ∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE． ∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC， ∵∠CAE+∠ECA＝90°，
∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°， ∴AB⊥AC．
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，借助全等三角形的性质得到相等的角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌握、应用．
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