高中初等函数图像性质总结

高中函数图像性质总结 一、指数函数 y

a x (a 0且 a 1)

1、指数函数的图象和性质

y ax

0 < a < 1 a > 1

图 象

定义域

R

(0,+

∞)

值域

性

过定点（ 0， 1），即 x = 0 时， y = 1

定点

（ 1） a > 1 ，当 x > 0 时， y > 1 ；当 x < 0 时， 0 < y < 1 。 （ 2） 0 < a < 1 ，当 x > 0 时， 0 < y < 1 ；当 x < 0

单一性 对称性

在 R上是减函数

质

时， y > 1 。

在 R上是增函数

y ax 和 y a x 对于 y 轴对称

2、第一象限：底数越大，图像越高

二、 y

log a x

1、对数函数的图象和性质

y log a x

0 < a < 1 a > 1

图 象 定义域 值域

(0,+

∞)

R

（ 1）过定点（ 1， 0），即 x = 1 时， y = 0 （ 2）在 R上是减函数

（ 2）在 R上是增函数

性

（ 3）同正异负， 即 0 < a < 1 , 0 <

0 < a < 1 ,

质 x < 1 或 a > 1 , x > 1 或 a > 1 , 0 <

x > 1 时， log a x > 0 ； x < 1 时， log a x < 0 。

2、当 a>1 时， a 越大，图像越凑近

x 轴；

当 0x 轴。

三、幂函数性质

1、全部的幂函数图象都过点（ 1，1）。除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不订交，任何

幂函数图像都可是第四象限． ；

注：当α >0 时过定点（ 0,0 ）和（ 1,1 ）；

当 α＜ 0 时过定点（ 1,1 ）

2、α＞ 0 时，幂函数的图象都经过原点，而且在

[0 ， +∞ ] 上，是增函数

3、α＜ 0 时，幂函数的图象在区间（

0， +∞）上是减函数 .

4、任何两个幂函数最多有三个公共点

5、图像性质：

在第一象限幂函数图像表现为：

α＞ 0 时，α越大，图像越陡；

α＜ 0 时，α越大，图像越凑近

y 轴远离 x 轴。

四、一元二

次 函 数

f ( x) ＝ ax2＋ bx＋ f ( x) ＝ ax2＋ bx＋

分析式

c( a>0) c( a<0)

图象

定义域

( －∞，＋∞ ) 4 － b 2

[ 4a ，＋∞ )

ac

( －∞，＋∞ )

值域

4 ac － b 2

( －∞，

4a ]

：

1、图像和性质

b

b

在 x∈ ( －∞，－ 2a] 上 单一递加

在 x∈ ( －∞，－ 2a] 上 单一递减

单一性

在 x∈ [ －

b

，＋∞)上

2a

在 x∈ [ － ，＋∞)上

2a 单一递减

b

单一递加

奇偶性

当 b＝0 时为偶函数， b≠0 时为非奇非偶函数

b

极点

4 －

ac

2

( － 2a，

4a

b

)

对称性

图象对于直线 x＝－ 2a 成轴对称图形

2、一元二次函数表达式形式：

极点式： f(x) ＝a(x － h)2 ＋ k，定点坐标（ h,k ） 分解式： f(x) ＝a(x － x1)(x

－ x2), 一元二次方程的两根为

x1，x2

一般式： f(x) ＝ax2 ＋ bx＋c， (a ≠0) ．

1.一次函数 (包含正比率函数 )

最简单最常有的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。

定义域（下边没有说明的话，都是在无特别要讨状况下的定义域）： 值域： R

奇偶性：无 周期性：无

平面直角坐标系分析式 (下简称分析式 ): ① ax+by+c=0[ 一般式 ] ②y=kx+b[ 斜截式 ]

（k 为直线斜率， b 为直线纵截距，正比率函数 b=0 ） ③y-y1=k(x-x1)[ 点斜式 ]

（k 为直线斜率 ,(x1,y1) 为该直线所过的一个点）④（ y-y1 ）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[ 两点式 ] （（ x1,y1 ）与（ x2,y2 ）为直线上的两点） ⑤x/a-y/b=0[ 截距式 ]

（a、b 分别为直线在 x、 y 轴上的截距） 分析式表达限制性：

①所需条件许多（ 3 个）；

②、③不可以表达没有斜率的直线（平行于 x 轴的直线）；

R

④参数许多，计算过于烦杂；

⑤不可以表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。

倾斜角： x 轴到直线的角（直线与 x 轴正方向所成的角）称为直线的倾斜 设向来线的倾斜角为 a，则该直线的斜率 k=tg(a) 。 2.二次函数：

题目中常有的函数， 在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与线。

定义域： R

① [(4ac-b^2)/4a ，正无量）；② [t，正无量）奇偶性：偶函数

角。

y 轴平行的抛物

值域：（对应分析式，且只议论 a 大于 0 的状况， a 小于 0 的状况请读者自行推测）

周期性：无 分析式：

① y=ax^2+bx+c[ 一般式 ] ⑴a≠0

⑵a＞0，则抛物线张口向上； a＜0，则抛物线张口朝下；⑶极值点：（ -b/2a ，(4ac-b^2)/4a ）； ⑷Δ =b^2-4ac,

＞0，图象与 x 轴交于两点：

（ [-b+√Δ ]/2a，0）和（ [-b+√Δ ]/2a，0）；＝0，图象与 x 轴交于一点： （ -b/2a ，0）；

＜0，图象与 x 轴无交点；

② y=a(x-h)^2+t[ 配方式 ]

此时，对应极值点为（ h，t），此中 h=-b/2a ，t=(4ac-b^2)/4a ）；

3.反比率函数

在平面直角坐标系上的图象为双曲线。

定义域：（负无量， 0）∪（ 0，正无量） 值域：（负无量， 0）∪（ 0，正无量） 奇偶性：奇函数 周期性：无

分析式： y=1/x 4.幂函数

y=x^a ①y=x^3

定义域： R 值域： R

奇偶性：奇函数 周期性：无

图象近似于将一个过圆点的二次函数的第四区间部分对于 后获得的图象（类比，这个方法不可以获得三次函数图象） ②y=x^(1/2)

定义域： [0，正无量） 值域： [0，正无量） 奇偶性：无（即非奇非偶） 周期性：无

图象近似于将一个过圆点的二次函数以原点为旋转中心，顺时针旋转90°，再去掉 y 轴下方部分获得的图象（类比，这个方法不可以获得三次函数图象）

x 轴作轴对称

5.指数函数

在平面直角坐 系上的 象（太 描绘了， 一下性 吧 ⋯⋯ ） 恒 点（ 0， 1）。 系分析式，若 a＞1 函数在定 域上 增；若 函数在定 域上 减。 定 域： R

域：（ 0，正无 ） 奇偶性：无 周期性：无

分析式： y=a^x a＞0

性 ：与 数函数

y=log(a)x 互 反函数。

0＜a＜1

* 数表达： log(a)x 表示以 a 底的 x 的 数。 6. 数函数

在定 域上的 象与 的指数函数（ 数函数的反函数）的 象对于直 y=x 称。 恒 定点（ 1，0）。 系分析式，若 ＜ 1 函数在定 域上 减。定 域：（ 0，正无 ） 域： R 奇偶性：无 周期性：无

分析式： y=log(a)x a＞0

性 ：与 数函数 7.三角函数

⑴正弦函数： y=sinx

象 正弦曲 （一种波涛 ，是全部曲 的基 ） 定 域： R

域： [-1 ，1]

奇偶性：奇函数

周期性：最小正周期 2π 称 ：直 x=kπ/2 (k∈Z） 中心 称点：与 x 的交点：（ kπ， 0） (k∈Z） ⑵余弦函数： y=cosx

象 正弦曲 ，由正弦函数的 象向左平移 π/2个 位（最小平移量）所得。定 域： R

y=a^x 互 反函数。

a＞ 1 函数在定 域上 增；若

0＜a

域： [-1 ，1]

奇偶性：偶函数

周期性：最小正周期 称 ：直 x=kπ (k∈Z）

2π

中心对称点：与 x 轴的交点：（ π/2+k π，0）(k∈ Z）

⑶正切函数： y=tg x

图象的每个周期单位很像是三次函数，好多个，平均散布在 定义域： {x │x≠π /2+k π} 值域： R

x 轴上。

奇偶性：奇函数

周期性：最小正周期为 π 对称轴：无

中心对称点：与 x 轴的交点：（ kπ，）(k∈Z）。

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