线性系统的时域分析与校正习题及答案

3-1 已知系统脉冲响应k(t)0.0125e1.25t，试求系统闭环传递函数(s)。

解 (s)Lk(t)0.0125/(s1.25)

3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程Tc(t)c(t)r(t)r(t) 近似描述，其中，0(T)1。试求系统的动态性能指标td,tr,ts。

解 设单位阶跃输入R(s)C(s)R(s)1s

当初始条件为0时有：s1Ts1

s111TTt/Te c(t)h(t)1 Ts1ssTs1TT h(0)，h()1，0.05[h()h(0)]

T20TC(s)1) 当 ttd 时

h(t)h(0)0.5[h()h(0)]1

12etd/TTTetd/tT2T

; td0.693T

2) 求tr（即c(t)从0.1h()到0.9h()所需时间) 当h(t)0.9[h()h(0)]h(0)1 当h(t)0.1[h()h(0)]h(0)1T0.1(T)TTTTeet2/T; ;

t1/T t2Tln， t1TlnT0.9(T)

则 trt2t1Tln92.2T

3) 求 ts

h(ts)0.95[h()h(0)]h(0)1tsTln0.053T

TTets/T

3-3 一阶系统结构如图所示。要求系统闭环增益k2，调节时间ts0.4s，试确定参数k1,k2的值。

解 由结构图写出闭环系统传递函数

k1(s)1k1sk1k2sk1k2s1k21k2sk1k21

闭环增益k2， 得：k20.5

令调节时间ts3T

3k1k20.4，得：k115。

3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 下图（a）和（b）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K值为1。

(1) 若r(t)1(t)，n(t)0两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需 多长时间？(2) 当有阶跃扰动n(t)0.1时，求扰动对两种系统的温度的影响。

解 （1）对（a）系统：

Ga(s)K10s1110s1， 时间常数 T10

 h(T)0.632 （a）系统达到稳态温度值的63.2%需要10个单位时间；

100对（b）系统：b(s)10010s10110101， 时间常数 T

10101s1101 h(T)0.632 （b）系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099个单位时间。

（2）对（a）系统： Gn(s)C(s)N(s)1

n(t)0.1时，该扰动影响将一直保持。

对（b）系统： n(s)C(s)N(s)1110010s1110110s110s101

n(t)0.1时，最终扰动影响为0.10.001。

3-5 给定典型二阶系统的设计指标：超调量0<%5%，调节时间 ts3s，峰值时间tp1s，试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。 解 依题 %5%， 0.707ts3.53， n1.17；

(45)；

n tp1n21， 1n3.14

2

综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图所示。

3-6 电子心脏起博器心律控制系统结构如图所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一纯积分环节。

（1） 若0.5对应最佳响应，问起博器增益K应取多大？ （ 2） 若期望心速为60次/min，并突然接通起博器，问1s钟后实际心速

为多少？瞬时最大心速多大？

解 依题，系统传递函数为

Kn0.05(s)221Ks2nsn2ss0.050.05

2Kn0.05 

10.052n令 0.5可

K20n20

将 t1s代入二阶系统阶跃响应公式

h(t)1ent2sin112nt

可得 h(1)1.000024次s60.00145次min

0.5时，系统超调量 %16.3%，最大心速为

h(tp）10.1631.163次s69.78次min

3-7 机器人控制系统结构如图所示, 试确定 参数k1,k2值，使系统阶跃响应的峰值时间

tp0.5s，超调量%2%。

解 依题，系统传递函数为

K122 (s)1s(s1)K1(K2s1)s(s1)K1s(1K1K2)sK12Kns2nsn2

oe120.020.78o由  联立求解得 

tp0.510n21n比较(s)分母系数得

K12100n2n1  K20.146K1

3-8 下图(a)所示系统的单位阶跃响应如图(b)所示。试确定系统参数k1,k2，a和闭环传递函数(s)。

解 由系统阶跃响应曲线有

h()3 tp0.1

ooo(43)333.3o系统闭环传递函数为 (s)（1）

t0.10.33p2由  联立求解得  1n33.282no1oe33.3ooK1K2sasK12K2ns2nsn222

K121108n由式（1）

a222n另外 h()lims(s)s01slimK1K2sasK12s0K23

(s)3322.68s21.96s1107.562

3-9 已知系统的特征方程为D(s)，试判别系统的稳定性，并确定在右半s平面根的个数及纯虚根。

（1） D(s)s8s24s1000

32（2） D(s)3s410s35s2s20 (3) D(s)s52s42s34s211s100 (4) D(s)s53s412s324s232s480 (5) D(s)s42s34s22s50 解 （1） D(s)s38s224s1000

Routh： s3 1 24 s2 8 100 s1 92 s0

100 第一列同号，所以系统稳定。

（2） D(s)3s410s35s2s20

Routh： s4 3 5 2

s3 10 1

s2 47 20 s1 -153 s0 20

第一列元素变号两次，有2个正实部根。

（3）D(s)s2s2s4s11s10=0 Routh： S5 1 2 11 S4 2 4 10 S3  6 S2 412 10 S 6 S0 10

第一列元素变号两次，有2个正实部根。

（4）D(s)s3s12s24s32s48=0

Routh： s5 1 12 32

54325432 s4 3 24 48 s3 s2 s

3122434243164

32348316 0

412164481212 48

20 辅助方程 12s480,

s 24 辅助方程求导：24s0 s0 48

第一列没有变号，系统没有正实部根。

对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s1,2j2，系统不稳定。

(5) D(s)s2s4s2s50 Routh： s4 1 4 -5

s3 -2 2

s2 10 -10

s1 0 辅助方程 10s100

2432 s1 20 辅助方程求导 20s0 s0 -10

第一列元素变号3次，有3个正实部根,系统不稳定。. 解辅助方程得:s1=-1，s2=+1，由长除法得s3=+1+j2，s4=+1-j2

3-10 单位反馈系统的开环传递函数G(s)ks(s3)(s5)，试判断系统稳定性；

若要求系统特征根的实部不大于1，试确定k的取值范围。 解 特征方程为：

D(s)s8s15sk0 Routh ： S3 1 15 S2 8 k S 120-k

S0 k

0k120时系统稳定。

32做代换 ss1 有：

3232D(s)(s1)8(s1)15(s1)ks5s2s(k8)0

Routh ： S3 1 2 S2 5 k-8 S 18-k k18

S0 k-8 k8

系统特征根的实部不大于1的k值范围为： 8k18

3-11 下图是船舶横摇镇定系统结构图，为增加船只的阻尼引入了内环速度反馈。

(1) 动力矩对船只倾斜角的传递函数

(s)M(s)N

；

(2) 单位阶跃时倾斜角的终值不超过0.1，且系统的阻尼比为0.5，求k2、

k1和k3应满足的方程。

解 （1）

0.520.5s0.2s120.5K2K3s0.5K1KaMN(s)s(0.20.5K2K3)s(10.5K1K2)122s0.2s1s0.2s1(s)（2）由题意知：

()limsMs0(s)N(s)M(s)Nlimss01sM(s)(s)N0.510.5K1K20.1

得K1K2n10.5K1K3(s) 有： ， 可得 8。 由 0.20.5K2K30.5MN(s)2n

0.20.25K2K310.5K1K2

1Ts13-12 温度计的传递函数为，用其测量容器内的水温，1min才能显示出该

温度的98%的数值。若加热容器使水温按10ºC/min的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？

解法一 依题意，温度计闭环传递函数

(s)1Ts1

oo由一阶系统阶跃响应特性可知：h(4T)98T0.25min。

，因此有 4T1min，得出

视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为

G(s)(s)1(s)1Ts K1Tv110K

用静态误差系数法，当r(t)10t 时，ess10T2.5C。

解法二 依题意，系统误差定义为 e(t)r(t)c(t)，应有 e(s)E(s)R(s)1C(s)R(s)11Ts1TsTsTs1

esslimse(s)R(s)limss0s0Ts1s10210T2.5C

3-13 某单位反馈系统的开环传递函数如下，试求系统的静态误差系数及输入信

号分别为r(t)1(t),t和t时系统的稳态误差。 G(s)7(s1)s(s4)(s2s2)7(s1)s(s4)(s2s2)222

解 G(s) K78v1

由静态误差系数法

r(t)1(t)时， ess0

r(t)t时， essAK871.14

r(t)t时， ess

23-14 试确定图示系统中参数K0和的值，使系统对r(t)而言是II型系统。

K(s1)解 G(s)(T1s1)(T2s1)1K0K(s1)(T1s1)(T2s1)K(s1)(T1s1)(T2s1)K0K(s1)

K(s1)T1T2s(T1T2K0K)s(1K0K)2

依题意应有：1K0K0T1T2K0K0 联立求解得 K01KT1T2

此时系统开环传递函数为 G(s)K(T1T2)sKT1T2s2

考虑系统的稳定性，系统特征方程为

D(s)T1T2sK(T1T2)sK0

2当 T1，T2，K0时，系统稳定。

3-15 设复合控制系统结构如图所示，试确定KC使系统在r(t)t作用下无稳态

误差。

解 系统误差传递函数

e(s)E(s)R(s)(11K2K3sK2K3s)K4KCs(Ts1)2K1K2K4s(Ts1)s(sK2K3)(Ts1)K4KCTs(1TK2K3)sK2K3sK1K2K432

K2、由劳斯判据，当 T、K1、且(1TK2K3)K3TK1K4K3和K4均大于零，

时，系统稳定。

令 esslimse(s)s01s2K2K3K4KCK1K2K40

得 KCK2K3K4

3-16 设复合校正控制系统结

构如图所示，其中N(s)为可量测扰动。若要求系统输出C(s)完全不受N(s)的影响，且跟踪阶跃指令的稳态误差为零，试确定前馈补偿装置Gc1(s)和串联校正装置Gc2(s)。

解 （1）求Gc1(s)。

K1K1K2Gc1(s)1K2sK1K1Gc1(s)Ts1ss(Ts1)C(s)n(s)0K1K2Gc2(s)K1N(s)s(Ts1)K1(Ts1)K1K2Gc2(s)1ss(Ts1)K2得： Gc1(s)sK1K1。

（2）求Gc2(s)。令

E(s)R(s)11K1sK1(sK1)(Ts1）s K1K2Gc2(s)s(Ts1)K1(Ts1)K1K2Gc2(s)s(Ts1)e(s)当r(t)1(t)作用时，令esslimse(s)s01slimK1K1K1K2Gc2(s)s00

明显地，取 Gc2(s)1s 可以达到目的。

3-17 已知控制系统结构如图(a)所示，其单位阶跃响应如图(b)所示，系统的稳态位置误差ess0。试确定K,v和T的值。

KKa解 G(s)v  kk为开环增益，v为系统型别

v待定s(Ts1)sa由 r(t)1(t)时，ess0，可以判定：v1

K(sa) (s)s(Ts1)1sas(Ts1)v1vvK(sa)s(Ts1)sav

D(s)Tsssa

v系统单位阶跃响应收敛，系统稳定，因此必有： v2。

根据单位阶跃响应曲线，有

h()lims(s)R(s)limss0s01K(sa)vss(Ts1)saK10

h(0)k(0)lims(s)limssK(sa)s(Ts1)savslimKsTsv12aKsvsssa10

当T0时，有

KsTs2k(0)limsv1K1010 可得 v1

T1

当T0时，有

Kssv2k(0)limsK1010 可得 v2

T03-18 复合控制系统结构如图所示，图中K1，K2，T1，T2均为大于零的常数。 （1） 确定当闭环系统稳定时，参数K1，K2，T1，T2应满足的条件； （2） 当输入r(t)V0t时，选择校正装置GC(s)，使得系统无稳态误差。

解 （1）系统误差传递函数

11K2s(T2s1)Gc(s)

e(s)E(s)R(s)s(T1s1)(T2s1)K2Gc(s)(T1s1)s(T1s1)(T2s1)K1K2K1K2s(T1s1)(T2s1)

D(s)T1T2s(T1T2)ssK1K2 列劳斯表

ss3232T1T2T1T2T1T2T1T2K1K2T1T2K1K21K1K20

ss1

0因 K1、K2、T1、T2 均大于零，所以只要 T1T2T1T2K1K2 即可满足稳定条件。

（2）令 esslimse(s)R(s)limss0s0V0s2s(T1s1)(T2s1)K2Gc(s)(T1s1)s(T1s1)(T2s1)K1K2

limV0K1K2s0Gc(s)1K20 可得Gc(s)sK2 s

3-19 设复合控制系统结构如图所示。图中Gn(s)为前馈补偿装置的传递函数，

Gc(s)Kts为测速发电机及分压电位器的传递函数，G1(s)和G2(s)为前向通

路环节的传递函数，N(s)为可量测扰动。 如果G1(s)K1,G2(s)1s，试确

2定Gn(s)、Gc(s)和Ｋ1，使系统输出量完 全不受扰动的影响，且单位阶跃响应的超调 量%25%，峰值时间tp2s。

解 （1）确定Gc(s)。由梅逊公式

1

n(s)C(s)N(s)1(1G1G2Gc2)Gc1G21G1G2Gc2G1G222sK1Gc2(s)Gc1(s)sK1Gc2(s)K1220

解得 Gc(s)sK1Gc(s)s(sK1Kt)

（2）确定Kt。由梅逊公式 (s)C(s)R(s)G1G21G1G2Gc2G1G2

K1sK1KtsK12ns2nsn222

K12n比较有 K1Kt2noe120.25o 由题目要求 

tp22n1K122.946n0.4032n可解得   K0.47n1.72tK1有 Gc(s)Kts0.47s

2 Gc(s)s(sK1Kt)s(s1.386)

1

3-20 设无零点的单位反馈二阶系统的单位阶跃响应h(t)曲线如图所示，

（1）试求出该系统的开环传递函数及参数；

（2）确定串联校正装置的传递函数，使系统对阶跃输入的稳态误差为零。

解

1、由题意知，r(t)1，c()0.95， 系统为零型系统 ess0.05； 超调量% 由ess11k1.250.950.950.30.95，所以阻尼比0.344

19as20.05，得k=19，G(s)bs1

19 再根据tp1s求出n3.346，所以G(s)1.786s4.1s12

2、为使稳态误差为零，系统必须稳定，且至少为І型系统，所以串联校正 装置设为Gc(s)

kcs，由劳斯判据求得：0kc0.12