湖南省澧县一中2014-2015学年高二上学期特色班周考数学理试题(9月20日)

总分：100分 时量：75分钟 组题人：陈智勇

一、选择题（每小题6分共48分，请将答案填写在答题区。）

x2y2x2y2

1．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为2＋2＝1，双曲线C2的方程为2－2＝1，C1与C2的离

abab心率之积为

3

，则C2的渐近线方程为( ) 2

A． x±2y＝0 B．2x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0

2．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )

A．3 B．3 C．3m D．3m

3． 已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )

1234A． B． C． D． 2343

4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个→→

交点．若FP＝4FQ，则|QF|＝( )

75

A． B．3 C． D．2

22

5．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1

＝( )

1122A． B． C． D．

4343

x2

6． 设P，Q分别为圆x＋(y－6)＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离

10

2

2

是( )

A．52 B．46＋2 C．7＋2 D．62

π

7． 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则3

椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )

4323A． B． C．3 D．2

338．对任意两个非零的平面向量,,定义.若平面向量a,b满足和都在集合n|nZ中,则ab0,a与b的夹角0,,且abba42ab( )

135A． B．1 C． D．

222二、填空题（每小题6分共30分，请将答案填写在答题区。）

y22

9． 设双曲线C经过点(2，2)，且与－x＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；

41x2y2

10． 过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M

2ab

是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．

x2y2

11．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为

94A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝______．

x2y2

12．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，

abB.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．

13．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0,

则c的最大值是

选择题答题区： 1 2 题号 答案 A A 填空题答题区： 3 D 4 B 5 A 6 D 7 A 8 C x2y229、3－12＝1 10、 2 11、 12

12、 2 13、

5

2

三、解答题（共22分，请将答案填写在答题区。） 14．（本小题10分）三棱柱ABC中，底面边长和侧棱长都相等，1A1B1C（BAA1CAA160，求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值。

6） 3

15．（本小题12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对

C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值。

⑴求曲线C1的方程；

⑵设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值。 解：⑴解法1 ：设M的坐标为(x,y)，由已知得：x2(x5)2y23，

22易知圆C2上的点位于直线x2的右侧.于是x20，所以(x5)yx5.

化简得曲线C1的方程为y220x.

解法2 ：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线

x5的距离，因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x5为准线的抛物线，故其方程

为y220x.

⑵当点P在直线x4上运动时，P的坐标为(4,y0)，又y03，则过P且与圆

C2相切得直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为

k1272k218y0ky090. ①

设过P所作的两条切线PA,PC的斜率分别为k1,k2，则k1,k2是方程①的两个实根，故

18y0yk1k20. ②

724k1xyy04k10,2由得ky20y20(y04k1)0. ③ 12y20x,设四点A,B,C,D的纵坐标分别为y1,y2,y3,y4，则是方程③的两个实根，所以

20(y04k1)y1y2. ④

k120(y04k2)同理可得：y3y4. ⑤

k2400(y04k1)(y04k2)于是由②，④，⑤三式得：y1y2y3y4

k1k22400y04(k1k2)y016k1k2yy0k(x4),即kx-y+y0+4k=0.于是：5ky04k23.整理得：

k1k2k1k26400.

22400yy016k1k20所以，当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.