2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷(word)

2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分100分

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M={1,2}，N={0,1,3}，则M∩N= ( ) A．{1} B．{0,1} C．{1,2} D．{1,2,3} 2．化简(1-cos30°)(1+cos30°)得到的结果是( )

31A． B． C．0 D．1

443．如图，一个几何体的三视图都是半径为1的圆， 正视图 侧视图

则该几何体表面积( )

4A．π B．2π C．4π D．

俯视图 34．直线x-y+3=0与直线x+y-4=0的位置关系为( )

E A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直

D C 5．如图，ABCD是正方形，E为CD边上一点，在该正方形中

随机撒一粒豆子，落在阴影部分的概率为( )

1113A． B． C． D．

4324A B 6．已知向量a1,2，b3,6，若ba，则实数λ的值为( ) 11A． B．3 C． D．-3

337．某班有50名学生，将其编为1，2，3，…，50号，并按编号从小到大平均分成5组，

现从该班抽取5名学生进行某项调查，若用系统抽样方法，从第一组抽取学生的号码为5，则抽取5名学生的号码是( )

A．5，15，25，35，45 B．5，10，20，30，40 C．5，8，13，23，43 D．5，15，26，36，46 8．已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：

x -1 0 1 2 3 f(x) 8 4 -2 0 6 则函数f(x)一定存在零点的区间是( ) y A．（-1，0） B．（0，1） C．(1，2) D．(2，3) 2 9．如图，点(x,y)在阴影部分所表示的平面区域上，

则z=y-x的最大值为( )

O 2 x A．-2 B．0 C．1 D．2

10．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了1个伙伴；第二天，2只蜜蜂飞出

去各自找回了1个伙伴；……；如果这个找伙伴的过程继续下去，第n天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂的只数为( )

A．2n-1 B．2n C．3n D．4n

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．函数f(x)= log(x-3)的定义域为 _________. 开始 源-于-网-络-收-集

输入x 否 x0?是 输出x输出 x====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====

12．函数ysin(2x)的最小正周期为_______.

313．某程序框图如图所示，若输入的x值为-4，

则输出的结果为__________.

14．在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，

1 已知c=2a，sinA=，则sinC=_______.

215．已知直线l：x - y +2=0，圆C：x2 +y2 = r2(r>0)，若直线l与圆C相切，

则圆的半径是r= _____.

三、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分6分)

学校举行班级篮球赛，某名运动员每场比赛得分记录的径叶图如下： (1)求该运动员得分的中位数和平均数； (2)估计该运动员每场得分超过10分的概率. 0 3 5 7 8 1 0 1 2 0 0 4

17．(本小题满分8分)

已知函数f(x)=(x-m)2+2

(1)若函数f(x)的图象过点(2,2)，求函数y=f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)是偶函数，求的m值.

18．(本小题满分8分) C1 D1 已知正方体ABCD- A1B1C1D1. A1 B1 (1)证明：D1A//平面C1BD；

(2)求异面直线D1A与BD所成的角.

D C

A B

19．(本小题满分8分)

已知向量a(2sinx,1),b(2cosx,1),xR.

(1)当x=时，求向量ab的坐标;

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====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====

(2)设函数f(x)=ab，将函数f(x)图象上的所有点向左平移象，当x∈[0,

个单位长度得到g(x)的图4]时，求函数g(x)的最小值. 2 20．（本小题满10分）

已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+2，其中n∈N*. (1)写出a2，a3及an；

11(2)记设数列{an}的前n项和为Sn，设Tn=++S1S2+1，试判断Tn与1的关系； Sn(3)对于(2)中Sn，不等式Sn∙Sn-1+4Sn -λ(n+1)Sn-1≥0对任意的大于1的整数n恒成立，求实数λ的取值范围.

2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参

一、选择题 ABCAC DABDB

二 、填空题 11．(3,+∞)； 12．π； 13．4； 14．1； 15．2 三 、解答题(满分40分)

16．解：(1)中位数为10；平均数为9. …4分

(2)每场得分超过10分的概率为P=0.3. …6分

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17．解：(1) 依题，2=(2-m)2+2，解得m =2， …2分

∴f(x)=(x-2)2+2， ∴y=f(x)的单调递增区间是(2,+∞). …4分 (2)若函数f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x)， …6分 即(-x-m)2+2=(x-m)2+2，解得m=0. …8分

18．(1)证明：在正方体中，D1A∥C1B，又C1B 平面C1BD，

D1A 平面C1BD，∴D1A//平面C1BD. …4分

(2) 解：∵ D1A∥C1B，∴异面直线D1A与BD所成的角是∠C1BD. …6分 又ΔC1BD是等边三角形. ∴∠C1BD=60°．∴D1A与BD所成的角是60°. …8分

19．解：(1) 依题，a(2,1),b(2,1),a+b(22,2). …4分

(2) 依题，f(x)=4sinxcosx+1=2sin2x+1，g(x)=2sin[2(x+)]+1=2cos2x+1，

4∵x∈[0, ]，∴2x∈[0,π]，∴当2x=π时，g(x)min=-1. …8分

2

20．解：(1) 依题a2= a1+2=4，a3= a2+2=6，

依题{an}是公差为2的等差数列，∴an =2n； …3分

1111(2) ∵ Sn=n(n+1)，∴，

Snn(n1)nn1111111∴Tn(1)()(<1 …6分 )1223nn1n1(3) 依题n(n+1)∙(n-1)n+4n(n+1)-λ(n+1)(n-1)n≥0， 即(n-1)n+4-λ(n-1)≥0，

444即λ≤n对大于1的整数n恒成立，又nn115，

n1n1n14当且仅当n=3时，n取最小值5， 所以λ的取值范围是(-∞，5] …10分

n1

2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分100分

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M={1,2}，N={0,1,3}，则M∩N= ( ) A A．{1} B．{0,1} C．{1,2} D．{1,2,3} 2．化简(1-cos30°)(1+cos30°)得到的结果是( )B

31A． B． C．0 D．1

443．如图，一个几何体的三视图都是半径为1的圆， 正视图 侧视图

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俯视图

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则该几何体表面积( ) C

4A．π B．2π C．4π D．

34．直线x-y+3=0与直线x+y-4=0的位置关系为( )A

E A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直

D 5．如图，ABCD是正方形，E为CD边上一点，在该正方形中

随机撒一粒豆子，落在阴影部分的概率为( )C

1113A． B． C． D．

4324A 6．已知向量a1,2，b3,6，若ba，则实数λ的值为( )D C B 11A． B．3 C． D．-3

337．某班有50名学生，将其编为1，2，3，…，50号，并按编号从小到大平均分成5组，

现从该班抽取5名学生进行某项调查，若用系统抽样方法，从第一组抽取学生的号码为5，则抽取5名学生的号码是( )A

A．5，15，25，35，45 B．5，10，20，30，40 C．5，8，13，23，43 D．5，15，26，36，46 8．已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：

x -1 0 1 2 3 f(x) 8 4 -2 0 6 则函数f(x)一定存在零点的区间是( )B y A．（-1，0） B．（0，1） C．(1，2) D．(2，3) 2 9．如图，点(x,y)在阴影部分所表示的平面区域上，

则z=y-x的最大值为( )D

O 2 x A．-2 B．0 C．1 D．2

10．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了1个伙伴；第二天，2只蜜蜂飞出

去各自找回了1个伙伴；……；如果这个找伙伴的过程继续下去，第n天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂的只数为( )B

A．2n-1 B．2n C．3n D．4n

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．函数f(x)= log(x-3)的定义域为 _________. (3,+∞) 开始 12．函数ysin(2x)的最小正周期为_______. π 输入x 3否 13．某程序框图如图所示，若输入的x值为-4， x0? 是 则输出的结果为__________.4

输出x输出 x14．在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，

1 已知c=2a，sinA=，则sinC=_______.1 结束 215．已知直线l：x - y +2=0，圆C：x2 +y2 = r2(r>0)，若直线l与圆C相切，

则圆的半径是r= _____.2

三、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

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====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====

16．(本小题满分6分)

学校举行班级篮球赛，某名运动员每场比赛得分记录的径叶图如下： (1)求该运动员得分的中位数和平均数； (2)估计该运动员每场得分超过10分的概率. 2 3 5 7 8 16．解：(1)中位数为10；平均数为9. …4分 3 0 1 2 0 0 4 (2)每场得分超过10分的概率为P=0.3. …6分

17．(本小题满分8分)

已知函数f(x)=(x-m)2+2

(1)若函数f(x)的图象过点(2,2)，求函数y=f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)是偶函数，求的m值.

17．解：(1) 依题，2=(2-m)2+2，解得m =2， …2分

∴f(x)=(x-2)2+2， ∴y=f(x)的单调递增区间是(2,+∞). …4分 (2)若函数f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x)， …6分 即(-x-m)2+2=(x-m)2+2，解得m=0. …8分

18．(本小题满分8分) C1 D1 已知正方体ABCD- A1B1C1D1. A1 B1 (1)证明：D1A//平面C1BD；

(2)求异面直线D1A与BD所成的角.

D C 18．(1)证明：在正方体中，D1A∥C1B，又C1B 平面C1BD，

A D1A 平面C1BD，∴D1A//平面C1BD. …4分 B (2) 解：∵ D1A∥C1B，∴异面直线D1A与BD所成的角是∠C1BD. …6分 又ΔC1BD是等边三角形. ∴∠C1BD=60°．∴D1A与BD所成的角是60°. …8分

19．(本小题满分8分)

已知向量a(2sinx,1),b(2cosx,1),xR.

(1)当x=时，求向量ab的坐标;

4(2)设函数f(x)=ab，将函数f(x)图象上的所有点向左平移个单位长度得到g(x)的图

4象，当x∈[0, ]时，求函数g(x)的最小值.

219．解：(1) 依题，a(2,1),b(2,1),a+b(22,2). …4分

(2) 依题，f(x)=4sinxcosx+1=2sin2x+1，g(x)=2sin[2(x+)]+1=2cos2x+1，

4∵x∈[0, ]，∴2x∈[0,π]，∴当2x=π时，g(x)min=-1. …8分

2 20．（本小题满10分）

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已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+2，其中n∈N*. (1)写出a2，a3及an；

11(2)记设数列{an}的前n项和为Sn，设Tn=++S1S2+1，试判断Tn与1的关系； Sn(3)对于(2)中Sn，不等式Sn∙Sn-1+4Sn -λ(n+1)Sn-1≥0对任意的大于1的整数n恒成立，求实数λ的取值范围.

20．解：(1) 依题a2= a1+2=4，a3= a2+2=6，

依题{an}是公差为2的等差数列，∴an =2n； …3分

1111(2) ∵ Sn=n(n+1)，∴，

Snn(n1)nn1111111∴Tn(1)()(<1 …6分 )1223nn1n1(3) 依题n(n+1)∙(n-1)n+4n(n+1)-λ(n+1)(n-1)n≥0， 即(n-1)n+4-λ(n-1)≥0，

444即λ≤n对大于1的整数n恒成立，又nn115，

n1n1n14当且仅当n=3时，n取最小值5， 所以λ的取值范围是(-∞，5] …10分

n1

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