广东省高州市2009年重点中学提前招生考试数学试卷(含答案)

广东省高州市2009年重点中学提前招生考试数学试卷

(全卷总分150分，考试时间为120分钟)

第一卷（选择题，共2页，满分40分）

一、精心选一选：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题给出四个答案，其中

只有一个是正确的，请把正确的答案代号填入第二卷相应空格内。） 1．如图是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图，根据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是( ) A．甲户比乙户多 C．甲乙两户一样多

B．乙户比甲户多 D．无法确定哪一户多

2．若96aa23a,则a与3的大小关系是( ) A．a3

B．a3

C．a3

D．a3

3．已知AOB30点P在AOB内部，P2与P关于OA对称，则1与P关于OB对称，PO、P1、P2三点所构成的三角形是( )

A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形

4．如图，某路口统计的某个时段来往汽车的车速 （单位：千米/小时）情况，据统计图，这组车 速数据的众数和中位数分别是( ) A．60千米/小时 60千米/小时

B．58千米/小时 60千米/小时 C．60千米/小时 58千米/小时

D．58千米/小时 58千米/小时

5．甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他

ab元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱，赔钱的原因是( ) 2 A．ab B．ab C．ab D．与a、b大小无关

以每只

6．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△ABC，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA等于( ) A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm

7．对所有实数x,y，若函数yf(x)满足f(xy)f(x)f(y),

且f(0)0,则f(2009)( )

A．2008

B．2009

C．1

D．2

xa08．关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是( )

33x0 A．6a5

B．6a5

C．6a5

D．6a5

9．已知坐标平面上的机器人接受指令“[a,A]”(a0,0A180)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向面对方向沿直线行走a。若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2,60]后所在位置的坐标为 ( ) A．(1,3)

B．(1,3)

C．(3,1)

D．(3,1)

10．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕

EF的长为 ( ) A．

15 2C．5

B．

15 4

D．6

第二卷 （非选择题，共8页，满分110分。）

二、耐心填一填（本大题共5小题，每小题4分，共20分。请把答案填在横线上方。） 11．分解因式x2xyy1 。

22x2y212．已知x2y3,y2x3,且xy,则 。

xy2213．如图，已知点A(1,0)，点B在直线yx上运动，

当线段AB最短时，点B的坐标为 。

14．如图，已知反比例函数y1的图象上有点P，过P点分别 x作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、B，使四边形OAPB 为正方形，又在反比例函数图象上有点P1，过点P1分别作BP 和y轴的垂线，垂足分别为A1、B1，使四边形B A1 P1B1 为正方形，则点P1的坐标是 。

15．根据你发现的规律，计算1111 。

122334nn1

三、细心做一做：（本大题共5小题，每小题8分，共40分）

1x24x316．先化简再求值： (x21),其中x23x1x1

17．解关于x的方程：

18．已知a、b、c为ABC的三边，(1)若abcacb0判断ABC的形状；

4222241xm1(m1) xx1（2）若abcbc 计算

222cb的值。 abac19． 如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸MN上有一排间隔为50米的电线杆C、

D、E„„，某人在河岸PQ的A处测得 CAQ30，然后沿河岸走了110米到达B

处，测得DBQ45，求河流的宽度。



20．一袋装有四个上面分别标有数字1、2、3、4，除数字外其它完全相同的小球。摇匀后，

甲从中任意抽取1个，记下数字后放回摇匀，乙从中任意抽一个，记下数字，然后把这两个数相加（每次抽取前均看不清小球）。

（1）请用列表或树状图的方法求两数和为3的概率；

（2）甲与乙按上述方法做游戏，当两数之和为3时，甲胜，反之乙胜。若甲胜一次得9

分，那么乙胜一次得多少分，这个游戏对双方才公平？

四、沉着冷静，周密考虑：（本大题共5小题，每小题10分，共50分）

21．如图，已知AB是O的直径，AC为弦，且平分BAD，ADCD，垂足为D。 （1）求证：CD是O切线；

（2）若O的直径为4，AD=3，求BAC的度数。

22．已知关于x的方程mx14x70有两个实数根x1和x2，关于y的方程

2y22(n1)yn22n0有两个实数根y1和y2，且2y1y24,

当2622(2y1y2)140时，求m是n的函数关系式，并求函数的

x1x2x1x2定义域（即自变量的取值范围）。

23．为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备。现有A、B两种型号的设备，其

中每台的价格、月处理污水量如下表： 价格（万元/台） 处理污水量（吨/月） A型 12 240 B型 10 200 经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元。 （1）请你计算该企业有几种购买方案；

（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种方案购买？

24．如图，ABC内接于O，直径CDAB，垂足为E，弦BF交CD于点M，交AC于点N，且BF=AC，连接AD、AM。 求证：（1）ACMBCM

（2）BMMNMF

2

25．某通信器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品。已知每件产品的进价为40元，

每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元。在销售过程中发现，年销售量y

（万件）与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系y1xb，其中整数 20kk使式子k11k有意义。经测算，销售单价60元时，年销售量为50000件。 （1）求出这个函数关系式；

（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系

式（年获利=年销售额—年销售产品总进价—年总开支）。当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；

（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图像，请

你帮助该公司确定销售单价的范围。在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

高州市2009年学科竞赛

数 学 答 案

2 B

3 A

4 C

5 A

6 B

7 C

12一、选择题 每小题4分，共40分。

题 号 答 案

1 D

8 B

129 D

10 A

二、填空题：每小题4分，共20分。 11．(xy1)(xy1)

12．62

13．(,)

14．(1515,) 2215．n11

三、解答题 16．解：原式=

1(x1)(x3)1 x1x1(x1)(x1) =

x1x3

(x1)2(x1)24„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 2(x1) = 当x23时， 原式=44423„„„„„„„„„„„„„„8分 2(231)42317．解：方程两边同乘以x(x1)

)x(x1)得 x1x(xm

整理得mx1„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

当m0时，原方程无解„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

1„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 m11m0 检验：把x代入x(x1)2mm1x是原方程的解

m 当m0时，x

 当m=0时，原方程无解，当m0时原方程的解为x18．（1）由abcacb0

4222241„„„„„„8分 mc2(b2a2)(a2b2)(a2b2)0 (b2a2)[c2(a2b2)]0

b2a20或c2(a2b2)0

即ba或cab

222ABC为等腰三角形或直角三角形„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

（2）由abcbc b2c2a2b c222cbc(ac)(ab)bacc2abb2(b2c2)acab 22abac(ab)(ac)aacbabcaacbabca2bcacab21„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 aacbabc19．解：过D作DH//CA交PQ于H，过D作DGPQ，垂足为G，

PQ//MN,DH A//C 四边形CAHD是平行四边形 AHCD50在RtDBG中，

DBGBDG45

„„„„„„„„„„„„3分 DHQCAQ30BGDG,设BGDGx

在RtDHG中， HG=HB+BG=60+x 由DG=HGtan30 得x(60x)tan30 解得x30303 即河流的宽度为30303米„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 20．解（1）列表如下：

1 和

1 2 2 3 3 4

2

3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7

4 5 6 7 8

由列表可得：„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

71（2）由（1）知：P（甲胜）=8，P（乙胜）=8 设乙胜一次得分应为x，才使游戏双方公平

x＝

故乙胜一次得分应为

9 79分，这个游戏对双方才公平„„„„„„„„„„„„„„„8分 721．（1）证明：连结OC  OA=OC

OCAOAC

 AC平分BAD BACCAD OCACAD

OC//AD

又ADCD

OCCD

OC是O的切线„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

（2）解：连结BC

AB是直径 BCA90

BCAADC90 BACCAD BAC∽CAD

ABAC4AC即 ACADAC3AC23„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分

在RtABC中,cossBACAC3 AB2

BAC30„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分

22．解：关于y的方程y22(n1)yn22n0有两个实数根y1和y2

[2(n1)]24(n22n)4

y2(n1)2n11

2y1n2,y2n„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

设mx14x70的两根为x1、x2， 则 x1+x22147 x1x2„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 mm2622(2y1y2)140

x1x2x1x2m6(m)2[2(n2)n2]140 772整理得 m2n4n6„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 又2y1y24

2n2n4

n22n0 n4n4即0n4„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分 故所求的m是n的函数为m2n4n6,定义域为on4。„„„„10分 23．解（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型(10x)台，

2x0x0 由 12x10(10x)1052x50x2.5

x为整数 x可取0，1，2„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

当x0时,10x10 当x1时,10x9 当x2时,10x8

即有三种购买方案，方案一：不买A型，买B型10台；方案二，买A型1台，B型9台；方案三，买A型2台，B型8台。„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 （2）由240x+200（10-x）2040

解得x1

由（1）得 1x2.5

故x1或x2„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 当x1时，购买资金121109102（万元） 当x2时，购买资金122108104（万元）

104102

 为了节约资金应购买A型1台，B型9台，即方案二。„„„„„„„„„„10分

24．证明（1）直径CDAB

ACBC ACMBCM

ACMBCM„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

（2）连结AF

BFAC

 ABAFAFCF ABCFFFBC

又CAMCBM

FMAN

AMFNMA AMF∽NMA

AMMF

NMMAAM2MNMF„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分

又BMAM

BM2MNMF„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分

25. 解：（1）由k101k0k11k1 k1

k1或k1„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分

10,年销售量随售价x增大而增大，不合。 20k1k1,yxb„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分

20当k=1时，

把x60,

y50000件5万件代入5160b20b8,

y1x8„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 201x8)(x40)120 （2）zyx40y120(2011x210x440(x100)260„„4分 2020  当x100元时，年获利最大值为60万元。„5分

12x10x440, （3）令z40,得4020x9600„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„0整理得 x2006分

解得：x180,x2120。„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 由图象可知，（画图并标上数据1分）要使年获利不低于40万元，销售单价应在80

元到120元之间，（说明此点1分）又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，则销售单价应定为80元。（说明此点1分）„„10分

2