《数学之友） ２０１０年第ｌ２期 三角函数的几类易错题型 顾能 （江苏省灌云县杨集高级中学，２２２２２１） 三角函数问题是高考中的重要考点，知识体系 严密，解题方法独特且实际应用广泛，但是由于内容 繁杂、公式众多、变换复杂，不易发觉的隐含内容较 义一１≤ｓｉ ≤ｌ， 所以当ｓｉｎｆｌ：一１时，）， ＝ 一１）＝＿．４ 多，学生稍有不慎就会进入题设的误区且不易觉察． 下面就考试中学生常出错的几个问题予以分析，仅 供参考． １ 三角函数值值域问题 例ｌ函数 ）＝ｓｉｎｘ＋ （ Ｅ（０，订）），则 下列命题正确的是 （ ） （Ａ）厂（ ）是奇函数 （Ｂ）ｆ（ｘ）＞４ （Ｃ） ）的最大值是４ （Ｄ）ｆ（ｘ）有最大值 误解：学生甲因为 一 ）＝－ｆ（ ）而选（Ａ）；学 生乙因为ｓｉｎｘ＋ ＞Ｉ２ ＝４而选（ｃ）． 剖析：判断函数的奇偶性，首先要看它的定义域 是否关于原点对称，而题中所给定义域为 ∈（０， 盯），不关于原点对称，所以不具有奇偶性．而学生乙 忽视应用均值不等式时要注意“一正，二定，三相 等”的取等号的条件．即当ｓｉｎｘ＝２时，ｆ（ ）＝４．这 里ｓｉｎｘ取不到２，因此错误． 正解为：令￡＝ｓｉｎｘ，０＜￡≤１ ）＝￡＋÷在（ｏ， …１］上单调减的函数， 所以 ） Ｉ）＝１＋－ｉ －＝５＞４，从而选（Ｂ）． 例２设ｓｉｎａ＋ｓｉｎｆｌ＝ １，则ｓｉｎａ—ｃｏｓ ／３的最 大值为 ． 误解：因为ｓｉｎａ＋ｓｉｎｆｌ＝Ｚ －， 所以ｓｉｎａ＝ １一ｓｉｎ／３．令Ｙ＝ｓｉｎａ—ｅｏｓ２３／， 则Ｙ：了１一ｓｉｎｆｌ一（１一ｓｉｎ ） ＝ｓｉｎ２３／＿ｓｉ￣一了２＝（ｓｉ 一号） 一１＿１２１． 剖析：该题表面上看，解题过程很完整，实际不 然，误解中只注意一１￣＜ｓｉｎｆｌ≤１的范围，而忽视题中 ｓｉｎａ对ｓｉｎｆｌ的制约． 由ｓｉｎａ＝了１一ｓｉ ，及一１≤ｓｉｎ ≤ｌ， 有一１≤ 一ｓｉｎ／３￣＜１，即得一 ≤ｓｉｎｆｌ￣＜ｌ， 所以当ｓｉ ＝一手时，），有最大值， 其最大值为（一３一 ， 、，， ２ １、 ）一 １ １１１＝一 ４９ ２角的范围问题 例３ ＡＡＢＣ中，已知ｃ。ｓＡ＝丢，ｓｉｎＢ＝ ， 则ｅｏｓＣ＝． ——误解：￣ＺＸＡＳＣ Ｏｅ，ｃ。 ＝丢’ｓｉｎＢ：÷， 所以ｓｉｎＡ＝ ，ｃ。ｓ ＝± ， 又ｃｏｓＣ＝ｃｏｓ［叮ｒ一（ ＋Ｂ）］ ＝一ｃｏｓ（ａ＋Ｂ）：ｓｉｎＡｓｉｎＢ—ｃｏｓＡｅｏｓＢ， 从而ｃ。ｓｃ＝ １６或，￣ ５６． 剖析：实际上，在ＡＡＢＣ中，若ｓｉｎＡ＞ｓｉｎＢ， 则Ａ＞Ｂ，该题中， 因为ｓｉｎＡ＝ ＞ ＝ｓｉｎＢ，所以 ＞Ｂ． 又 ＜ １３＂所以 ＜ ７Ｉ＂，，应取ｃ。ｓＢ＝÷， 所以ｃ。ｓｃ＝ｓｉｎＡｓｉｎＢ—ｃ。 ｃ。ｓ ＝篆． 例４ 在ＡＡＢＣ中，３ｓｉｎＡ＋４ｅｏｓＢ＝６，４ｓｉｎＢ＋ ３ｃｏｓＡ：１，则 Ｃ＝． 误解：将上面两式平方相加，得’ ９ｓｉｎ ＋２４ｓｉｎ ｃｏｓＢ ＋ １６ＣＯＳ２Ｂ ＋９ｃ０ｓ ＋ ．Ｒ７． 《数学之友》 ２４ｃｏｓＡｓｉｎＢ＋１６ｓｉｎ Ｂ＝３７． ２０１０年第ｌ２期 有２４ｓｉｎ（Ａ －４ ）４－１６ ４－９＝３７，得ｓｉｎ（Ａ ４－Ｂ）＝ １，得 ６≤２ ＋詈≤ 一 ≤ｓｉｎ ２ ＋詈）≤，， 即一÷≤生 ≤ｌ 一１≤．ｊ｝＋１≤２ 一ｒｒ￣５－ｒｒ所以 ＋Ｂ＝ ６百－ ６，即ｃ一＇６一． ６剖析：误解中未考虑Ａ，Ｂ的范围，由式子３ｓｉｎＡ ＋４ｃｏｓＢ＝６，得３ｓｉｎＡ＝６—４ｃｏｓＢＩ＞２，可推得ｓｉｎＡ≥ １＞ ，２≤ ≤１． 所以后的取值范围为［一２，１］． 剖析：误解中主要是未正确理解题意，题中是说 即Ａ＞詈，应得Ａ＋Ｂ＝ ，则ｃ＝ 在【０，詈】内有两个不同的实数值，满足等式ｃ。ｓ２ ＋ ４％ｉｎ２ｘ＝后＋１，而不是说等式ｃｏｓ２ｘ＋４￣－ｓｉｎ２ｘ＝ｋ＋ ３题意理解不清 ｏ，詈］内有解，这里要区别有两解与有解是不 Ｎ ５若在［０，手］内有两个不同的实数值，满 Ｉ在【足等式ｃｏｓ２ｘ＋，ｆ３－ｓｉｎ２ｘ＝ｋ＋１，则ｋ的取值范围为 误解：依题意，由ｃｏｓ２ｘ＋ ｉｎ２ｘ＝ｋ＋１， －同的．我们可以在同一坐标系画出Ｙ ＝ｓｉｎ （２ ＋詈）在 ∈０，詈】上的图象以及，，２＝ 的图 ￣－２ｓｉｎ（２ ＋詈）＝ ＋ ｊｓｉｎ（２ ＋詈）＝ ， 象．要有两个交点，则÷≤ ＜１，得０≤ｊ｝＜１．应 填ｆ０．１）． 又由 ∈［０＇詈】， 《数学之友》杂志简介 《数学之友》（国际标准刊号ＩＳＳＮ１６７２—１９６９，国内统一刊号ＣＮ３２—１７０７／０１）是由南京师范大学和南 京数学学会联合主办的、以广大中等学校数学教师、数学教育工作者、数学爱好者为主要服务对象的数学及 数学教育刊物，是我国较早创办的全国性数学教育普及类杂志之一． 《数学之友》依托南京师范大学数学教育专业强有力的教科研队伍的支撑，在优秀的读者和作者群体的 支持下，致力于我国数学基础教育和数学普及工作，为从事数学教育研究的广大教师提供了一个展示教学科 研成果的机会． 《数学之友》以其特色鲜明的栏目，严谨平实的文风，绚丽多彩的教改教研争鸣，巧妙独特的题解，有的 放矢的中高考指导，树立了良好的口碑． 《数学之友》的“数学教育”、“教学园地”、“发展思维”、“思想方法”、“解题探索”、“ＣＡＩ专题”、“复习考 试”、“错例剖析”等栏目，从解题技巧方法、数学问题的溯源探微释疑到新课程背景下的教改教法教案，为您 提供可资借鉴的它山之石．每一期总会有一部分内容适合您，总之，一卷在手、大有裨益！ 《数学之友》教育教学刊，每逢双月的１６日出版，每期定价１Ｏ元，全年订阅为６Ｏ元，可直接向编辑部邮 购（不另收邮费）． 地 邮 电 址：南京市宁海路１２２号，南京师范大学《数学之友》编辑部 编：２１００９７ 话：（０２５）８３７３８９０２ 电子信箱：ｓｘｚｙ＠ｎｊｎｕ．ｅｄｕ．Ｃ１＇１ 《数学之友》编辑部 ・８８・
