新校园 ＸｉｎＸｉａｏＹｕａｎ 科研教学 浅析高等代数与中学数学的关联 方次军 （湖北工业大学理学院，湖北摘要：本文分析了高等代数与中学数学在知识方面的联 武汉４３００６８） 的仅仅是向量元素的一种特殊情形。 可见，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高。 它不仅解释了许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根 及因式分解理论、线性方程组理论等，而且以中学数学中涉及 的整数、实数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间， 系，找出其在知识上的众多关联。高等代数在思想内容上是中 学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展，更 具抽象化和归一化。 关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；数学观念 信计专业从大学一年级就开设了高等代数课程。它是大学 数学专业的重要的基础课程，也是学生感到比较抽象难学的课 程，需要学生初步地掌握基本、系统的代数知识和抽象、严格的 代数方法。 进而得到欧氏空间等代数系统。这对用现代数学的观点和方法 去研究中学数学是十分有用的。 二、高等数学类课程与中学数学在思想方法上的联系 １．抽象化 中学阶段用字母表示数，开创了在一般形式下研究数、式、 在近几年的教学中，笔者发现高等代数教学一直存在着如 下的问题：一方面，由于高等代数的抽象性且与中学知识难以 直接衔接，不少大一学生一接触到高等代数课程，就会产生畏 方程的概念。高等代数用字母表示多项式、矩阵，变换等，并开 始研究抽象的代数系统——向量空间 这里，向量空间、欧氏空 间也不再局限于有直观意义的空间形式，这一新的观念对于指 导中学教改是至关重要的。随着概念抽象化程度的不断提高， 数学研究的对象也急剧扩大，进而定义一些运算，如加法、乘法 运算，得到群、环等概念。高等代数等近现代数学课程都说明： 数学是一门应用抽象量化方法研究关系、结构的科学。 ２．归一化 难情绪；另一方面，由于高等数学理论与中学教学脱节，许多学 生会感到有点不知所措。不少学生普遍感到这门课程“难学”， 上课能听懂，但习题“难做”，似乎无规律可循。为了解决上述问 题，笔者从知识内容和思想方法上将高等代数课程与中学数学 进行比较。通过比较后发现：高等代数课程在知识上是中学数 学的继续和提高，在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在 观念上是中学数学的深化和发展。在教学中，教师要尽量注意 到新旧知识的衔接和中学知识的延伸，通过具体的、深入浅出 在高等代数里，通过按行、按列展开，将阶数较高的行列式 化为阶数较低的行列式；通过分离系数，将线性方程组的研究 转化为增广矩阵的研究；将二次型的研究转化为对实对称矩阵 的研究；通过选定基，将向量之间的关系转化为向量坐标之间 的关系；将线性变换的研究转化为矩阵的研究等；同时按元素 的讲解，提高学生的学习兴趣。这样，高等数学类课程的学习难 度就会大大降低。 一、高等数学类课程与中学数学在知识方面的联系 间的关系进行分类，如用等价关系、相似关系、合同关系对矩阵 分类；利用同构关系对线性空间分类、用维数对欧氏空间分类 等，这都用到归一化思想。 总之，中学数学教学中，由于受中学生理解能力和所学知 识所限，许多概念只能给出定性的描述，推理的严谨性也不够 中学代数中讲过多项式的加、减、乘、除运算法则和因式分 解的一些常用方法，如求根法和十字相乘法等。高等代数在第 一章多项式中就拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数， 在加法、乘法运算的基础上给出了多项式环的概念。接着讲了 多项式的整除理论及最大公因式理论，用不可约多项式的严格 定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式与唯 一明显，常借助于图形。而高等代数在数学基本知识技能方面的 培养上是承上启下的，一般先给出严格的定义，然后从定义出 因式分解的存在和唯一性定理，分别给出了复数系、实数系 发，通过严密的逻辑推理得出性质、定理、推论，直至建立完整 的理论体系，同时具备抽象性和归一性，应用更广泛，从而能解 决更复杂的问题。 参考文献： 和有理数系的因式分解 中学代数讲过一元一次、二元一次、三元一次方程组的解 法，特别是二元一次方程。高等代数中先给出了行列式定义与 计算方法，然后对１３个未知数和１３个方程组的情形，在行列式 Ｄ不为零时，给出了Ｃｒａｍｅｒ法则。第三章重点讲线性方程组的 解法（矩阵消元解法），特别是在引入了矩阵的概念和算法后， 书写和计算简洁上有了很大的进步。最后给出了线性方程组解 的判定及解与解之间的关系，得到了基础解系的表达方式，从 而给线性方程组的求解画上了圆满的句号。 中学数学学习了向量的运算，如加减法、数量积、长度和夹 角等概念。高等代数第九章欧几里得空间中对此进行了全面的 ［１】马忠林，郑毓信．数学方法论【Ｍ】．南宁：广西教育出版社， １９９６：３４－９８． ［２］王萼芳，石生明．高等代数（第三版）［Ｍ】．北京大学数学系高等 教育出版社，２００３：卜３． 【３】侯维民．从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系卟 数学教育学报，２００３，（０８）． ［４］邹泽民．高等代数教学中的“联系、联想、对比”Ｕ】．数学教育学 报．１９９６。（０４）． 定义，将其一般化，其中内积运算更具代表性，中学数学中讲到 ・２８・