2017-2018学年黑龙江省双鸭山一中高二（上）期末数学试卷（文
科）
一、选择题（每个小题5分，共60分） 1．（5分）椭圆
的焦点坐标是（ ）
A．（±4，0） B．（0，±4） C．（±5，0） D．（0，±5） 2．（5分）“a＞1”是“a2＞a成立”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5分）已条变量x，y满足A．4
B．3
C．2
D．1
＞0”的否定是（ ）
C．∀x＞0，
≤0
D．∀x
，则x+y的最小值是（ ）
4．（5分）命题“∀x＞0，A．∃x＜0，＜0，0≤x≤1
≤0
B．∃x＞0，0≤x＜1
5．（5分）运行如图的程序，若输出的结果为9，则输入x的值等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5分）88对应的二进数为（ ）
A．1011000 B．1011001 C．1011010 D．1001100
7．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．则这200名学
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.
生中每周的自习时间不低于25小时的人数为（ ）
A．30 B．60 C．80 D．120
8．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（5分）下列说法错误的是（ ）
A．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 B．在线性回归分析中，回归直线不一定过样本点的中心（，）
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.
C．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好
D．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
10．（5分）函数（fx）=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是（ ） A．12，﹣15
B．﹣4，﹣15 C．12，﹣4 D．5，﹣15
中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆（x
11．（5分）在区间
﹣3）2+y2=1相交”发生的概率为（ ） A． B． C． D．
12．（5分）已知抛物线C：y2=4x焦点为F，点D为其准线与x轴的交点，过点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，则△DAB的面积S的取值范围为（ ） A．[5，+∞） B．[2，+∞） C．[4，+∞） D．[2，4]
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）以（1，1）为圆心，2为半径的圆的标准方程是 ． 14．（5分）双曲线
的两条渐近线方程为 ．
15．（5分）一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如表 组别 （0，10] 频数 12 （10，20] 13 （20，30] 24 （30，40] 15 （40，50] 16 （50，60] 13 （60，70] 7 则样本数据落在（10，40）上的频率为_ ．
16．（5分）若函数f（x）=lnx﹣x﹣mx在区间[1，e2]内有唯一的零点，则实数m的取值范围是 ．
三、解答题（共70分）
17．（10分）求过点M（3，1）且与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相切的直线方程． 18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax+b，x∈R，若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是2x﹣y+3=0． （1）求函数f（x）的解析式；
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.
（2）求f（x）的单调区间．
19．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x（元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 84 83 80 75 9 68 销量y（件） 90 （1）当b=﹣20时，求回归直线方程=bx+a
（2）预计在今后的销售中，销量与单价服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）
20．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣
），（0，
）的距离
之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点． （1）写出C的方程； （2）若
⊥
，求k的值．
21．（12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄大点频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：
年龄 [5，15） 频数 支持“生育二胎” （I）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：
[15，25） 10 5 [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） 5 4 15 12 10 8 5 2 5 1 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 c= d= 合计 支持 不支持 合计 a= b= （Ⅱ）若对年龄在[5，15]的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都
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.
支持“生育二胎放开”的概率是多少？
参考数据：P（K2≥3.841）=0.050，P（k2≥6.635）=0.010，P（K2≥10.828）=0.001． 22．（12分）已知抛物线C：y=x2，点P（0，2），A、B是抛物线上两个动点，点P到直线AB的距离为1． （1）若直线AB的倾斜角为，求直线AB的方程；
（2）求|AB|的最小值．
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.
2017-2018学年黑龙江省双鸭山一中高二（上）期末数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每个小题5分，共60分） 1．（5分）椭圆
的焦点坐标是（ ）
A．（±4，0） B．（0，±4） C．（±5，0） D．（0，±5） 【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为其中a=则c=
=5，b==4，
=3，
，其焦点在x轴上，
则椭圆的焦点坐标为（±4，0）； 故选：A．
2．（5分）“a＞1”是“a2＞a成立”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：由a2＞a得a＞1或a＜0， 即“a＞1”是“a2＞a成立”充分不必要条件， 故选：A
3．（5分）已条变量x，y满足A．4
B．3
C．2
D．1
，则x+y的最小值是（ ）
【解答】解析：如图得可行域为一个三角形， 其三个顶点分别为（1，1），（1，2），（2，2）， 代入验证知在点（1，1）时，x+y最小值是1+1=2．
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.
故选C．
4．（5分）命题“∀x＞0，A．∃x＜0，＜0，0≤x≤1
【解答】解：命题“∀x＞0，得0≤x＜1”， 故命题“∀x＞0，故选：B．
5．（5分）运行如图的程序，若输出的结果为9，则输入x的值等于（ ）
＞0”的否定是“∃x＞0，0≤x＜1”，
＞0”的否定是“∃x＞0，
≤0“，又由
≤0
≤0
＞0”的否定是（ ）
C．∀x＞0，
≤0
D．∀x
B．∃x＞0，0≤x＜1
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由程序可知，是顺序结构，输出的结果为9， 所以由x3+5=9+4=13，解得：x=2． 故选：B．
6．（5分）88对应的二进数为（ ）
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.
A．1011000 B．1011001 C．1011010 D．1001100
【解答】解：88=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+0×20=1011000（2）． 故选：A．
7．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．则这200名学生中每周的自习时间不低于25小时的人数为（ ）
A．30 B．60 C．80 D．120
【解答】解：自习时间不低于25小时的频率为：（0.08+0.04）×2.5=0.3， 故自习时间不低于25小时的频率为：0.3×200=60， 故选：B
8．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（ ）
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.
A．2 B．3 C．4 D．5
，b=4，满足进行循环的条件，
【解答】解：当n=1时，a=当n=2时，a=当n=3时，a=当n=4时，a=
，b=8满足进行循环的条件， ，b=16满足进行循环的条件， ，b=32不满足进行循环的条件，
故输出的n值为4， 故选C．
9．（5分）下列说法错误的是（ ）
A．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 B．在线性回归分析中，回归直线不一定过样本点的中心（，） C．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好
D．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
【解答】解：对于A，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模
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型拟合的精度越高，故A正确；
对于B，在线性回归分析中，回归直线一定过样本点的中心（，），故B错误； 对于C，在回归分析中，R2为越接近1的模型拟合的效果越好，因此R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好，故C正确；
对于D，自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系，故D正确． 综上所述，以上说法错误的是B， 故选：B．
10．（5分）函数（fx）=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是（ ） A．12，﹣15
B．﹣4，﹣15 C．12，﹣4 D．5，﹣15
【解答】解：∵f′（x）=6x2﹣6x﹣12，令f′（x）=0，得x=﹣1或x=2， ∴f（﹣1）=12，f（2）=﹣15， ∵f（0）=5，f（3）=﹣4， ∴f（x）max=5，f（x）min=﹣15， 故选D．
11．（5分）在区间
中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆（x
﹣3）2+y2=1相交”发生的概率为（ ） A． B． C． D．
【解答】解：圆（x﹣3）2+y2=1的圆心为（3，0），半径为1． 要使直线y=kx与圆（x﹣3）2+y2=1相交， 则圆心到直线y=kx的距离
＜1，解得﹣
＜k＜
．
在区间相交” 发生的概率为
中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1
=．
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.
故选：B．
12．（5分）已知抛物线C：y2=4x焦点为F，点D为其准线与x轴的交点，过点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，则△DAB的面积S的取值范围为（ ） A．[5，+∞） B．[2，+∞） C．[4，+∞） D．[2，4] 【解答】解：由抛物线C：y2=4x可得焦点F（1，0）． 设A（x1，y1），B（x2，y2），
当AB的斜率不存在，即有AB：x=1，
A（1，2），B（1，﹣2），|AB|=4，S=×4×2=4；
当直线AB的斜率存在时，直线AB的方程设为：y=k（x﹣1）． 联立
，
化为k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0， 则x1+x2=2+∴|AB|==
=
．
，x1x2=1．
点D（﹣1，0）到直线AB的距离d=．
∴S△DAB=••=4＞4．
综上可得△DAB的面积S的取值范围为[4，+∞）． 故选：C．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）以（1，1）为圆心，2为半径的圆的标准方程是 （x﹣1）2+（y﹣1）
2
=4 ．
【解答】解：由圆心坐标为（1，1），半径r=2，
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.
则圆的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4． 故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．
14．（5分）双曲线
的两条渐近线方程为 ．
【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上
而双曲线的渐近线方程为y=±x
∴双曲线故答案为：
的渐近线方程为
15．（5分）一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如表 组别 （0，10] 频数 12 （10，20] 13 （20，30] 24 （30，40] 15 （40，50] 16 （50，60] 13 （60，70] 7 则样本数据落在（10，40）上的频率为_ 0.52 ．
【解答】解：由表格知，样本事件落在（10，20]上的频率是样本事件落在（20，30]上的频率是样本事件落在（30，40]上的频率是落在三个区间上是互斥的，
根据互斥事件的概率得到样本事件落在（10，40]上的频率是0.13+0.24+0.15=0.52 故答案为：0.52
16．（5分）若函数f（x）=lnx﹣x﹣mx在区间[1，e2]内有唯一的零点，则实数m的取值范围是 [﹣1，
﹣1）∪{﹣1} ．
=0.24， =0.15，
=0.13，
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.
【解答】解：函数f（x）=lnx﹣x﹣mx在区间[1，e2]内有唯一的零点， 得﹣x+lnx=mx，又x＞0，所以m=
﹣1，
要使方程lnx﹣x﹣mx=0在区间[1，e2]上有唯一实数解， 只需m=令g（x）=
﹣1有唯一实数解， ﹣1，（x＞0），∴g′（x）=
，
由g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0得x＞e，
∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数． g（1）=﹣1，g（e）=﹣1，g（e2）=故﹣1≤m＜
﹣1或m=﹣1
﹣1）∪{﹣1}．
﹣1，
故答案为：[﹣1，
三、解答题（共70分）
17．（10分）求过点M（3，1）且与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相切的直线方程． 【解答】解：圆心坐标C（1，2），半径R=2，
若直线斜率不存在，则对应方程为x=3，此时圆心到直线的距离d=3﹣1=2=R，满足条件．
若直线斜率存在，设为k，
则方程为y﹣1=k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k=0， 圆心到直线的距离d=即|2k+1|=2得k=，
则直线方程为x﹣y+1﹣3×=0， 即3x﹣4y﹣5=0，
综上切线为3x﹣4y﹣5=0或x=3．
=
=2，
，平方得4k2+4k+1=4+4k2，即4k=3，
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.
18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax+b，x∈R，若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是2x﹣y+3=0． （1）求函数f（x）的解析式； （2）求f（x）的单调区间．
【解答】解：（1）由f（x）=x3﹣ax+b，得f′（x）=3x2﹣a， ∴f′（1）=3﹣a=2，得a=1．
把x=1代入2x﹣y+3=0，得切点为（1，5）， ∴f（1）=1﹣a+b=5，得b=5． ∴f（x）=x3﹣x+5．
（2）由（1）得f（x）=x2﹣x+5， f′（x）=3x2﹣1，
令f′（x）＞0，解得：x＞令f′（x）＜0，解得：﹣故f（x）在（﹣∞，﹣增．
19．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x（元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 84 83 80 75 9 68 或x＜﹣＜x＜
，
，
）递减，在（
，+∞）递
，
）递增，在（﹣
销量y（件） 90 （1）当b=﹣20时，求回归直线方程=bx+a
（2）预计在今后的销售中，销量与单价服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）
【解答】解：（1）根据表中数据，计算 =×（8+8.2+8.4+8.6+8.8+9）=8.5， =×（90+84+83+80+75+68）=80，
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.
且b=﹣20，
∴a=﹣b=80﹣（﹣20）×8.5=250， ∴y关于x的线性回归方程为=﹣20x+250；
（2）设工厂获得的利润为L元，则L=x（﹣20x+250）﹣4（﹣20x+250）=﹣20（x﹣
）2+361.25；
元时，工厂获得的利润最大．
∴该产品的单价应定为
20．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离
之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点． （1）写出C的方程； （2）若
⊥
，求k的值．
【解答】解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知， 点P的轨迹C是以（0，﹣它的短半轴b=
=1，
=1．
），（0，
）为焦点，长半轴为2的椭圆．
故曲线C的方程为x2+
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 其坐标满足
，
消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3=0， 故x1+x2=﹣若
⊥
，x1x2=﹣
，
，即x1x2+y1y2=0．
而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1， 于是x1x2+y1y2=﹣
﹣
﹣
+1=0，
化简得﹣4k2+1=0，所以k=±．
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.
21．（12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄大点频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：
年龄 [5，15） 频数 支持“生育二胎” （I）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：
[15，25） 10 5 [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） 5 4 15 12 10 8 5 2 5 1 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 c= d= 合计 支持 不支持 合计 a= b= （Ⅱ）若对年龄在[5，15]的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？
参考数据：P（K2≥3.841）=0.050，P（k2≥6.635）=0.010，P（K2≥10.828）=0.001． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意填写2×2列联表如下；
年龄不低于45岁的人数 a=3 b=7 10 年龄低于45岁的人数 c=29 d=11 40 合计 32 18 50 支持 不支持 合 计 …（2分）
根据表中数据，计算＜6.635；…（4分）
所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异； …（5分）
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.
（Ⅱ）年龄在[5，15）中支持“生育二胎”的4人分别为a，b，c，d， 不支持“生育二胎”的人记为M，…（6分）
则从年龄在[5，15）的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有： （a，b），（a，c），（a，d），（a，M），（b，c），（b，d），（b，M）， （c，d），（c，M），（d，M）共10种；…（8分） 设“恰好这两人都支持“生育二胎””为事件A，…（9分） 则事件A所有可能的结果有：
（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共6种， ∴
；…（11分）
所以对年龄在[5，15）的被调查人中随机选取两人进行调查时， 恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为．…（12分）
22．（12分）已知抛物线C：y=x2，点P（0，2），A、B是抛物线上两个动点，点P到直线AB的距离为1． （1）若直线AB的倾斜角为（2）求|AB|的最小值．
【解答】解：（1）由直线AB的倾斜角为设直线AB的方程为：y=
x+m，
，tan
=
，
，求直线AB的方程；
则点P（0，2）到直线AB的距离为 d=
=1，
解得m=0或m=4； ∴直线AB的方程为y=
x或y=
x+4；
（2）设直线AB的方程为y=kx+m， 则点P到直线AB的距离为d=即k2+1=（m﹣2）2；
=1，
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.
由
，消去y得x2﹣kx﹣m=0，
由根与系数的关系得x1+x2=k，x1x2=﹣m； ∴|AB|2=（1+k2）[
﹣4x1x2]=（1+k2）（k2+4m）=（m﹣2）2（m2+3），
设f（m）=（m﹣2）2（m2+3）， 则f′（m）=2（m﹣2）（2m2﹣2m+3）， 又k2+1=（m﹣2）2≥1， ∴m≤1或m≥3，
∴当m∈（﹣∞，1]时，f′（m）＜0，f（m）是单调减函数； 当m∈[3，+∞）时，f′（m）＞0，f（m）是单调增函数； ∴f（m）min=f（1）=4， ∴|AB|的最小值为2．
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