《22.3实际问题与二次函数（1）》导学案
课题 实际问题与二次函数（1） 知识目标 重点难点 数学 年级 九年级上册 1.能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系 2.能利用二次函数的图象和性质求出实际问题的答案. 3.掌握利用顶点坐标解决实际问题中最大值(或最小值)问题的方法 重点：运用二次函数的性质解决实际问题. 难点：根据具体实际问题情景建立二次函数的数学模型. 教学过程 知识链接 1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是____________，顶点坐标是____________ .当x= ____________时，y的最____________值是____________. 2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是____________，顶点坐标是____________ .当x= 时，函数有最____________值，是____________. 3.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是____________，顶点坐标是____________.当x= 时，函数有最____________值，是____________. 在实际问题中如何建立二次函数表达式?今天我们一起来学习这个内容。 合作探究 问题1：体育课上，同学们都在准备体育测试。小明从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与铅球的运动时间t（单位：s）之间的关系是h=30t-5t2（0≤t ≤ 6）.小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ （1）图中抛物线的顶点在哪里？ （2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点？ （3）小球运动至最高点的时间是什么时间？ （4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？ 想要解答以上问题，就需要将二次函数的一般式转化成顶点式,根据顶点坐标能求最值,二次函数的这一特征,使它成为解决许多求“最小值”或“最大值”问题的重要工具. 教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题． b4acb230302当t＝－＝－＝3时，h有最大值＝＝45． 2a4a2(5)4(5)答：小球运动的时间是3s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m． ●归纳：如何求出二次函数 y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值： 当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当xb4acb22＝－时，二次函数y＝ax＋bx＋c有最小（大）值． 2a4a问题2:用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？ 教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S关于l的函数解析
式，最后求出使S最大的l值． 解：矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，所以另一边长（的面积S＝l(30－l)，即S＝－l2＋30l（0＜l＜30）． 60－l） m．场地2b4acb230302因此，当l＝－＝－＝15时，S有最大值＝＝225．也2a4a2(1)4(1)就是说，当l是15 m时，场地的面积S最大． ●归纳： 解这类题的关键： （1）列出二次函数解析式，根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值. 自主尝试 问题1的巩固练习： 1.关于二次函数y＝x2－8x＋c的最小值为0，那么c的值等于( )D A.4 B. 8 C.－4 D.16 2.函数y＝x2＋2x－3(－2≤x≤2)的最大值和最小值分别为( )C A.4和－3 B.－3和4 C.5和－4 D.－1和4 3.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m. (1)当h＝2.6时，求y与x关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． 解：(1) y(2) 当x=91(x6)22.6 60所以球能越过球网，当y=0时，时，y=2.45＞2.43
x16239,x26239(舍)因为6+239＞18故球会出界。 问题2的巩固练习： 1.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为( )B A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2 D．不确定 2.矩形的一边长为 x，周长为 8，则当矩形面积最大时，x的值为（ ）B A．4 B．2 C．6 D．5 3.由长8 m的铝合金条制成如图所示形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是( )C A.65m2 B.45 m2 C.83 m2 D．4 m2 4.如图所示，线段AB＝6，点C是AB上一点，点D是AC的中点，分别以AD，DC，CB为边作正方形，则AC＝____时，三个正方形的面积之和最小．(答案：4) 5.如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为18m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB)的矩形花圃，请求出矩形花圃的最大面积 。 解：设AB的长度为xm，花圃的面积为ym²，由题意得： y=-3x2+30x( 4≦x<10) 当x=5时，y最大=75 当堂检测 1.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax+bx+c经过A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点. (1)求抛物线y=ax+bx+c的解析式; (2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值. 22
2. 如图所示,抛物线y= -12 x+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且2OA=2,OC=3.(1)求抛物线的解析式;(2)若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△BDP的周长最小?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
3.如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动，如果P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么 (1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式； (2)当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由．
4.如图，在△ABC中 ，∠B＝90°，AB＝22 cm，BC＝20 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以1 cm/s的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发． (1)求四边形APQC的面积y(cm)与运动时间x(s)之间的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)求四边形APQC面积的最小值，并求出此时x的值． 2 解：（1）两动点移动速度都为1，所以AP=BQ=x,BP=AB-AP=22-x S四边形APQC=S△ABC-S△PBQ 11(22x)xx2S△ABC=×AB×BC=220,S△PBQ=×BP×BQ==-+11x 2222x2x2因此S四边形APQC=220-(- +11x)=-11x+220 22
因为P、Q不能与三角形ABC顶点重合，否则APQC不是四边形 所以0＜x＜20 （2）四边形面积为关于x的二次函数，函数对称轴为x=11 319112当x=11时面积有最小值，代入x=11，最小值为-11×11+220= 22小结反思 利用二次函数解决实际问题的过程是什么？ 找出变量和自变量；然后列出二次函数的解析式；再根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；最后在自变量的取值范围内，求出二次函数的最小（大）值
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