考研讲义数三经济部分

第十三章 微积分在经济学中的经济使用 (数三）

《测试要求》

1. 掌握导数的经济意义（含边际和弹性的概念）。 2. 了解差分和差分方程及其通解和特解等概念。 3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。

4. 会使用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济使用问题。

一、.极限及级数在经济学中的使用

(一)复利：

设某银行年利率为r，初始存款为A0元，

（1）一年支付一次利息（称为年复利），则t年后在银行的存款余额为AtA01r; （2）若一年支付n次，则t年后在银行的存款余额为AA0(1)nt

tn;

trnr （3）由于lim[(1)r]rtert，所以当每年支付次数趋于无穷时，t年后得到的存款

nnrt余额为AtA0e ，

称为t年后按连续复利计算得到的存款余额。

(二)将来值和现值：

上述结论中，称At是A0的将来值，而A0是At的现值。现值和将来值的关系为：

tttt AtA0(1r) A0At(1r) 或 AtA0(1r) A0At(1r)

例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清,

年利率 为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？

例2（08）设银行存款的年利率为r0.05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？ 、

二. 经济学中的常用函数

需求函数：QQ(P), 通常QQ(P)是P的减函数； 供给函数：QQ(P), 通常QQ(P)是P的增函数；

成本函数：C(Q)C0C1(Q), 其中C0C(0)为固定成本, C1(Q)为可变成本； 收益函数：RPQ;

利润函数：L(Q)R(Q)C(Q).

例 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为p1和p2, 销售量分别为q1和q2, 需求函数分别为q12402p1, q2100.05p2, 总成本函数为

C3540(q1q2), 试问：厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？最

大的总利润为多少？

设生产某种产品必须投入两种要素, x1和x2分别为两种要素的投入量, Q为例 2（99）

产出量；若生产函数为Q2x1x2, 其中,为正常数, 且1, 假设两种要素的价

格分别为p1和p2试问：当产出量为12时, 两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？

解 需要在产出量2x1x212的条件下, 求总费用p1x1p2x2的最小值, 为此作拉格

朗日函数

F(x1,x2,)p1x1p2x2(122x1x2).

F1p2xx20,11x1F1p22x1x20,x2F122x1x20.x26((1)(2) 由(1)和(2), 得 (3)p1p),x1(2)；因驻点唯一, 且实际问题存在最小值, 故当p2p1x1(p2p),x26(1)时, 投入总费用最小. p1p2

三. 利用导数求解经济使用问题

（一）、边际量：

当某经济量yy(x)的自变量x增加一个单位时经济量的改变量称为该经济量的边际量, 如边际成本、

边际收益、边际利润等, 由于y(x1)y(x)y(x), 且对于大数而言, 一个单位可以看成是微小的, 习惯

上将y(x)视为yy(x)的边际量.

1、 定义 ： 设yfx或yfx,t，则称

2、经济学含义：

(二）、弹性函数：

dyyy或为关于x的边际函数。 dxxdy表示自变量x增加一个单位时经济量yx的改变量。 dxEy 1、定义：设某经济量yy(x)，称Exdydxyxxdy为 yy(x)的弹性函数。

ydx 2、经济学含义：当自变量x增加1%时, 经济量yy(x)增加（0时）或减小（0时）%。

3、需求弹性：由于一般情况下需求函数QQ(P)是P的减函数, 因此定义需求对

价格的

弹性 EpEQPdQ=EPQdP（恒正，表示价格增加1%时需求减小Ep%）

例1 设某产品的成本函数为C(x)4003x为产量(假定等于需求量), P为价格, 试求

10012, 其中xx, 而需求函数为P2x(1)边际成本； (2)边际收益；(3)边际利润；（4）收益的价格弹性 ； 例2设某商品的需求函数为Qf(P)121p 2（1）求需求弹性函数及P=6时的需求弹性，并给出经济解释。 （2）当P取什么值时，总收益最大？最大总收益是多

例3（15）为了实现利润最大化，厂商需要对某种商品确定其定价模型。设Q为需求量，

P为价格，MC为边际成本，为需求弹性（正数），

（1）证明定价模型P=MC11 (2)若成本函



C(Q)1600Q2,需求函数Q40P,试由（）中的定价模型确定此商品的价格。1

例4(04)某商品的需求函数为Q = 100  5P，其中价格P  (0 , 20)，Q为需求量.

(I) 求需求量对价格的弹性Ed(Ed> 0)；

(II) 推导

dRQ(1Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时，降dP低价格反而使收益增加.

例5(12)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20x(万元/件)和6y(万元/件). 2(I)求生产甲乙两种产品的总成本函数..(万元).

(II)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本. (III)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意 义。 例6（09） 设某产品的需求量函数为QQ(P), 其对价格P的弹性P0.2, 则当需求量为 10000件时, 价格增加1元, 会使产品收益增加 元.

例 7 已知某商品的需求量x对价格p的弹性3p, 而市场对该产品的最大需求量为1 (万件), 求需求量函数.

例8 设生产某产品的固定成本为10, 当产量为

3x时的边际成本为

MC3x220x40, 边际收益为MR10x32. 试求

(1) 总利润函数；(2) 使总利润最大的产量.

例9 设产品的需求函数为QQ(p)，收益函数RpQ，其中p为产品价格，Q为需求量（产品的产量），Q(p)是单调减少函数。如果当价格为p对应产量为Q时，边际收

00

益

dRdRa0，收益对价格的边际效应 c0。需求对价格的弹性为

QQppdQdp00Eb1，求p,Q。

00p四、差分方程及其在经济学中的使用

（一）、差分和差分方程的概念及性质

定义：若记yy(t)为yt，则称差yt1yt为函数yt的一阶差分，记为ytyt1yt； 含有y,y 或y的 等式叫一阶差分方程。 t1tt定理：线性差分方程的性质：

1、若YYt为线性齐次差分方程yt1ptyt0的解，则通解ycYt； 2、若y为线性非齐次差分方程yt1ptytft的一个特解，ycYt为对应的

线性齐次差分方程yt1ptyt0的通解，则ycYy为yt1ptytft的

通解。

3、若y1为yt1ptytf1t的特解，y2为yt1ptytf2t的特解，  则 y1y2为yt1ptytf1tf2t的特解。

4、若y1,y2均为yt1ptytft的解，则 y1y2为yt1ptyt0的解；

1(y1y2)仍为 yt1ptytft的解。 2（二）一阶线性常系数差分方程的解法

1、一阶线性常系数齐次差分方程 yt1ayt0的解法： 特征方程：ra0, 特征值:ra, 通解:ytCat. 2、 一阶线性常系数非齐次差分方程yt1aytf(t)的解法:

方程的通解为ytCayt，其中yt为原非齐次方程的特解。当f(t)Pm(t)d时， 设特解形式为yt*tkQm(t)dt, 其中kt**t0,da*.，yt可用待定系数法求之：

1,da

（三）、典型例题

例1 (01,I) 某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元，若以Wt表示第t年的工资总额(单位：百万元), 则Wt满足的差分方程是 . 例2 (98)差分方程2yt110yt5t0的通解为 。 例3 差分方程yt12yt3t的通解为 .

t例4 （97）差分方程 yt12ytt2 的通解为 。

tt例5 求yt12yt3t2的通解。

tt例6 已知Y1(t)2,Y2(t)23t为yt1p(t)ytf(t). 的解，求 p(t),f(t)。

例7 设某养鱼池一开始有某种鱼A0条，鱼的平均年净繁殖率为R，每年捕捞x条，要使n年后鱼池仍有鱼可捞，应满足什么条件？