2021年湖北荆门市中考数学试题附答案

本试卷共6页，24题。全卷满分120分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名﹑准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡的对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题中均给出了四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号涂在答题卡上） 1．2021的相反数的倒数是 A．−2021

B．2021

C．−1 2021 D．

1 202182．“绿水青山就是金山银山”.某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资1.10210元资金．数据1.10210用科学记数法可表示为 A．亿

B．亿

C．亿

D．1012亿

83．下列图形既是中心对称又是轴对称的是

ABCD

4．如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的字是

A．传 C．承

B．国 D．基

5．下列运算正确的是 A．−x3()22=x5

3

B．(−x)=x

D．(−1+x)=x−2x+1

222C．(−x)+x=x

6．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是

y=x+4.5A.1

y=x−12

y=x−4.5B.1

y=x+12C.y=x+4.5

2y=x−1

D.y=x−4.5

2y=x+17．如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设1=30，那么2=

A．55

B．65

C．75

D．85

8．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若P=70，则ABO=

A．30

B．35

C．45

D．55

9．在同一直角坐标系中，函数y=kx−k与y=k(k0)的大致图象是 |x|

10．抛物线y=ax+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A(1,0)，B(m,0)（−2m−1），下列结论：①2b+c0；②2a+c0；③ a(m+1)−b+c0；④若方程a(x−m)(x−1)−1=0有两个不相等的实数根，则4ac−b4a.其中正确结论的个数是

22A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将结果填写在答题卡相应位置） 11．计算：|1−2|+()+2cos45+(−1)=▲.

3212−1012．把多项式x+2x−3x因式分解，结果为▲．

13．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，AOB=30，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y=使得MOC=30，则点M的坐标为▲. kk(k0)的图象上，若在y=的图象上另有一点Mxx 14．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为▲．

−(x−a)315．如果关于x的不等式组1+2x恰有2个整数解，则a的取值范围是▲．

…x−1316．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第▲行第▲列．

三、解答题（本大题共8小题，共72分.请在答题卡相应区域作答） 17．（8分）先化简，再求值：

xx+2x−12−2，其中x=3−2. x−4x−2xx−4x+418．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞赛活动.某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如下的统计图．

（1）这次预赛中二班成绩在B等及以上的人数是多少？

（2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；

（3）已知一班成绩A等的4人中有两个男生和2个女生，二班成绩A等的都是女生，年级要求从这两个班A等的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1个男生的概率．

19．（8分）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，AEF=90，且EF=AE，FH⊥BH．

（1）求证：BE=CH；

（2）若AB=3，BE=x，用x表示DF的长．

20．（8分）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10(3+3)海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60的方向上，当海监船行驶202海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45方向上. （1）求A，P之间的距离AP；

（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？

21．（8分）已知关于x的一元二次方程x−6x+2m−1=0有x1，x2两实数根． （1）若x1=1，求x2及m的值；

（2）是否存在实数m，满足(x1−1)(x2−1)=26？若存在，求出求实数m的值；若不存在，请说明理由． m−5O交AB边于另一点

22．（10分）如图，在△ABC中，BAC=90，点E在BC边上，过A，C，E三点的

F，且F是AE的中点，AD是O的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点.

（1）求证：四边形CDMF为平行四边形； （2）当CD=2AB时，求sinACF的值． 523．（10分）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．

x y W 40 180 3600 70 90 4500 90 30 2100 （1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；

（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值.

24．（12分）如图，抛物线y=ax+bx+c交x轴于A(−1,0)，B(3,0)两点，交y轴于点C(0,−3)，点Q为

2线段BC上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求|QO|+|QA|的最小值；

（3）过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ的面积分别为

S1，S2，设S=S1+S2，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值.

秘密★启用前

荆门市2021年初中学业水平考试 数学试题参考答案及评分标准

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.C2.B3.C4.D..B 9.B 10.A

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） .x(x+3)(x−1)13.(3,1)14.23−215.5„a6 3三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17.

xx+2x−1(2−2) x−4x−2xx−4x+4=xx+2x−1x(x+2)(x−2)x(x−1)−=x(x−2)2−x(x−2)2 x−4x(x−2)(x−2)2x−4xx−41= x−4x(x−2)2(x−2)2=将x=3−2代入上式得原式=

111===3+22. 22(3−2−2)(1−2)3−2218.（1）

两个班参加比赛的人数相同，由条形图可知二班参赛人数为20人

由扇形围可知B等及以上的人数为2010%+2035%=9

（2）一班成绩的平均数为：

1004+909+805+702=87.5，二班成绩的中位数为80

20（3）二班成绩A等的都是女生，二班成绩A等人数为2010%=2人： 将两个班成绩A等的6人分别记为A，B，C，D，E，F：其中A，B为班两个男生。

每个学生被抽取的可能性相等，从这两个班成绩A等的学生中随机选2人的所有情形如下： ABACADAEAFBCBDBEBFCDCECFDEDFEF共15种；其中至少有1个男生的有ABACADAEAFBCBDBeBF共9种；

概率为P=19.（1）

9=0.6 15AEF=90，AEB+FEH=90。

而AEB+BAE=90，BAE=FEH。 又

EF=AE，△ABE≌△EHF.

BE=FH，由BC=EH可得BE=CH.

（2）作FP⊥CD于P，由（1）可知EH=AB，CE=3−x。

CH=FH=FP=x，FD=3−x。

DF=x2+(3−x)2=2x2−6x+9. 20.（1）作PC⊥AB，交AB的延长线于C， 由题意知：PAC=30，PBC=45。 设PC=x：则BC=x，

tan30=PCx3==，解得x=102(3+1)， AC202+x3PA=2x=206+202；

（2）

x−r=102(3+1)−103(3+1)=10(3+1)(2−3)0，xr.

因此海监船继续向东航行有触礁危险；

设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD于E，当P到BD的距离PE为r时， 有sinPBE=r10(3+3)3==，PBD=60，所以海监船由B处开始沿南偏东至多75的方向PB22x航行能安全通过这一海域.

21.（1）由题意：=(−6)−41(2m−1)0，m5， 将x1=1代入原方程得：m=3，又

2x1x2=2m−1=5，

x2=5，m=3.

（2）设存在实数m，满足(x1−1)(x2−1)=6，那么 m−5有x1x2−(x1+x2)+1=66，即(2m−1)−6+1=，整理得

m−5m−5m2−8m+12=0，解得m=2或m=6.

由（1）可知m5，m=6舍去，从而m=2， 综上所述：存在m=2符合题意.

22.（1）连接DF，EF，则AFD=90，

FAD+FDA=90，FMD+FDM=90，

因为F是AE的中点，ADF=FDM， 从而FAD=FMD， 又

FAD=AFC，AFC=FMD，FC∥MD；

另一方面：FAC=ACD=90，AB∥CD. 即CD∥FM，四边形CDMF是平行四边形. （2）由（1）可知：四边形ACDF是矩形，

CD=AF=MF=EF，

由CD=22AB=(2CD+BM) 55△BEM∽△CED，可得CD=2BM，

BEBM1==， CECD2设BM=a，那么BF=3a，EF=2a， 在Rt△BEF中，BE=在Rt△CEF中，FC=BF2−EF2=9a2−4a2=5a，CE=25a EF2+CE2=4a2+20a2=26a

在Rt△CAF中，sinACF=AF2a6==. FC26a623.（1）设y=kx+b，由题意有

k=−340k+b=180，解得， b=30070k+b=90所以y关于x的函数解析式为y=−3x+300； （2）由（1）W=(−3x+300)(x−a)，又由表可得

3600=(−340+300)(40−a)，a=20，

W=(−3x+300)(x−20)=−3x2+360x−6000=−3(x−60)2+4800.

所以售价x=60时，周销售利润W最大，最大利润为4800； （3）由题意W=−3(x−100)(x−20−m)(x„55)，

其对称轴x=60+m60，0x„55时上述函数单调递增， 2所以只有x=55时周销售利润最大，4050=−3(55−100)(55−20−m).

m=5.

24.（1）由已知：y=a(x−3)(x+1)，

将(0,−3)代入上式得：−3=a(0−3)(0+1)，a=1，

抛物线的解析式为y=x2−2x−3；

（2）作点O关于直线BC的对称点D，易得D(3,−3)， 连接AD，那么|QA|+|QD|…|AD|，由对称性|QD|=|QO|，

|QO|+|QA|=|QA|+|QD|…|AD|=5，即点Q位于直线AD与直线BC交点时，|QO|+|QA|有最小值5；

（3）由已知点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3)可以求得 直线BC的表达式为y=x−3， 直线AC的表达式为y=−3x−3.

PQ∥AC，直线PQ的表达式可设为y=−3x+b，

由（1）可设Pm,m−2m−3代入直线PQ的表达式可得

(2)m2+mx=y=x−34b=m2+m−3，由，解得， 22y=−3x+m+m−3y=m+m−124m2+mm2+m−12,)， 即Q(44由题意：S=SPAQ+SPBQ=SPAB−SQAB

P，Q都在四象限，P，Q的纵坐标均为负数，

11−m2−m+122S=|AB|(−m+2m+3)−|AB|()，

224即S=−32933327m+m=−(m2−3)=−(m−)2+， 222228根据已知条件P的位置可知0m3.

m=3时，S最大， 2即P(,−322715)时，S有最大值.

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