一元二次方程总复习全章知识点梳理.

一元二次方程总复习

考点 1:一元二次方程的概念

一元二次方程:只含有一个未知数,未知数的最高次数是 2,且系数不为 0,这样的方程叫一 元二次方程.

一般形式:ax 2+bx+c=0(a≠ 0 。 注意:判断某方程是否为一元二次方程时,应首先将方程化为一 般形式。

考点 2:一元二次方程的解法

1. 直接开平方法

2. 配方法:

3.公式法:

4. 因式分解法:因式分解的方法:提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法。

5.一元二次方程的注意事项:

⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意,强调 a ≠ 0.因当 a=0时,不含有二次项,即不是一元二 次方程.

⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意:①先化方程为一般形式再确定 a , b , c 的值;②若 b 2 -4ac <0,则方程无解.

★ ⑶ 利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如-2(x+4 2 =3 (x +4中,不能随便约去 x +4。

⑷ 注意:解一元二次方程时一般不使用配方法 (除特别要求外 但又必须熟练掌握,解一元二次方 程的一般顺序是:开平方法→因式分解法→公式法.

6.一元二次方程解的情况

⑴ b 2-4ac ≥ 0⇔方程有两个不相等的实数根;

⑵ b 2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根;

⑶ b 2-4ac ≤ 0⇔方程没有实数根。

解题小诀窍:当题目中含有“两不等实数根” “两相等实数根” “没有实数根”时,往往首先考虑用

b 2

-4ac 解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。

考点 3:根与系数的关系 :韦达定理

对于方程 ax 2

+bx+c=0(a≠ 0 利用韦达定理可以求一些代数式的值(式子变形

。

解题小诀窍:当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时,可以用韦达定

理。

二、经典考题剖析:

【易错】下列方程是关于 x 的一元二次方程的是(

A. 02=++c bx ax B. 0652=++k x k C. 01232=++x

x x D. 012 3(22=+++x x k 1、 (2009成都 若关于 x 的方程 kx 2 -2x -1=0有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是(

A.k>-1 B. k>-1且 k ≠ 0

C. k<1 D. k<1且 k ≠ 0

2、解方程:(1 1(2 1(3-=-y y y y (2

0862=+-x x

3、 (2009鄂州 关于 x 的方程 kx 2+(k+2x+4k

=0有两个不相等的实数根,

(1求 k 的取值范围;

(2是否存在实数 k 使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在求出 k 的值;不存在说明理由。

4. 当 m 是何值时,关于 x 的方程 22234 1( 2(x x m x m =--++

(1是一元二次方程;

(2是一元一次方程;

(3若 x=-2是它的一个根,求 m 的值。

考点三:一元二次方程的应用

一、考点讲解:

1.构建一元二次方程数学模型,常见的模型如下:

⑴ 与几何图形有关的应用:如几何图形面积模型、勾股定理等;

⑵ 有关增长率的应用:此类问题是在某个数据的基础上连续增长(降低两次得到新数据,常见的

等量关系是 a(1±x 2=b,其中 a 表示增长(降低前的数据, x 表示增长率(降低率 , b 表示

后来的数据。注意:所得解中,增长率不为负,降低率不超过 1。

⑶ 经济利润问题:总利润 =(单件销售额-单件成本³销售数量;或者,总利润 =总销售额-总成

本。

⑷ 动点问题:此类问题是一般几何问题的延伸,根据条件设出未知数后,要想办法把图中变化的线

段用未知数表示出来,再根据题目中的等量关系列出方程。

★ 2.注重解法的选择与验根:在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简洁流畅,特

别要对方程的解注意检验,根据实际做出正确取舍,以保证结论的准确性.

二、针对性训练:

1.合肥百货大搂服装柜在销售中发现:“宝乐”牌童装平均每天可售出 20件,每件盈利 40元。为

了迎接“十²一”国庆节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽快减少库

存。经市场调查发现:如果每件童装降价 4元,那么平均每天就可多售出 8件。要想平均每天在

销售这种童装上盈利 1200元,那么每件童装应降价多少?

2. 在宽为 20米、 长为 32米的矩形地面上, 修筑同样宽的两条互相垂直的道路, 余下部分作为耕地,

要使耕地面积为 0米 2,道路的宽应为多少?

3

. 为解决饮用水问题,某省对各市的饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助. 08

年, A 市在财政补助的基础上再投入 600万元用于 “改水工程” , 计划以后每年以相同的

增长率, 10年该市计划“改水工程” 1176万元.

(1求 A 市“改水工程”的年平均增长率;

(2从 08年到 10年, A 市三年“改水工程”多少万元?

32m

4.如图 12-3,△ ABC 中,∠ B=90°,点 P 从 A 点开始沿 AB 向点 B 以 1cm/s的速度移动,点 Q 从 B

点开始沿 BC 边向 C 点以 2cm/s的速度移动。

(1如果 P 、 Q 分别从 A 、 B 同时出发,经几秒钟,使 PBQ ∆的面积等于 2

8cm ?

(2 PBQ ∆的面积等于 210cm 么,为什么?

中考真题

1. 钟老师出示了小黑板上的题目 (如图 1-2-2后,小敏回答:“方程有一根为 1” ,小聪回答:“方

程有一根为 2” .则你认为(

A.只有小敏回答正确 B.只有小聪回答正确

C.两人回答都正确 D.两人回答都不正确

2. 解一元二次方程 x 2-x -12=0,结果正确的是(

A. x 1=-4, x2=3 B. x 1=4, x 2=-3 C. x 1=-4, x 2=-3 D. x 1=4, x 2=3

3. 方程 (3 (3 x x x +=+解是(

A. x 1=1 B. x 1=0, x 2=-

3

九年级上复习课教案 C．x 1 =1，x 2 =3 ZN D．x 1 =1，x 2 =－3 2 2 2 4.若 t 是一元二次方程 ax ＋bx+c=0(a≠0） 的根， 则判别式Δ = b －4ac 和完全平方式 M=(2at+b 的关系是（ ） A．Δ =M 5.方程 A．0 B．Δ ＞M C．Δ ＜M D．大小关系不能确定 x 2 ( x

1

0 B．1 2 的根是（ ） D．0，1 ） C．0，－1 6.已知一元二次方

程 x A．－2 B．2 －2x－7=0 的两个根为 x 1 ，x 2 ，则 x 1 + x 2 的值为（ C．－7 2 D．7 7.已知 x 1 、x 2 是方程 x －3x＋1 ＝0 的两个实数根，则 1 B、－3 C、 3 2 2 1 1 的值是(

x1 x 2 A、3 D、1 2 2 8.用换元法解方程(x ＋x ＋(x ＋x＝6 时，如果设 x ＋x

＝y，那么原方程可变形为（ ） A、y ＋y－6＝0 C、y －y＋6＝0 2 2 2 B、y －y－6＝0 D、y ＋y＋6＝0 2 2 9.方程 x －5x=0 的根是（） A．0 B．0，5 2 C．5，5 D．5 10.若关于 x 的方程 x ＋2x＋k=0 有实数根，则（ ） A．k＜1，B．k≤1 C．k≤－1 D．k ≥－1 11.如果一元二次方程 x －4x＋2＝0 的两个根是 x 1 ，x 2 ，那么 x 1 ＋x 2 等于（ ） A. 4 B. －4 2 2 C. 2 D. －2 12.用换元法解方程(x －x－ A. y ＋y－6＝0 C. 2 x 2 时，设 x 2

x ＝6

x ＝y，那么原方程可化为（ ） y 2 ＋y＋6＝0 y 2 －y＋6＝0 ( B. D. 2 y 2

－y－6＝0 13.设 x 1 ，x 2 是方程 2x +3x-2=0 的两个根，则 x 1 ＋x 2 的值是 6

九年级上复习课教案 A．-3 3 ZN 2 3 2 D． 3 B．3 C．－ 14.方程 x -x=0 的解是（ ） A．0，1 B．1，-1 C．0，-1 D．0，1，－1 x 2 5x x 原方程 x

1 x+1 15.用换元法解方程 x

4

0时，若设 =y,则

1 _ ( 16.两个数的和为 6，差（注意不是积）

为 8，以这两个数为根的一元二次方程是__________ 17.方程 x －x=0 的解是______________ 2 _ 18.等腰△ABC 中， BC=8， AB、 BC 的长是关于 x 的方程 x －10x+m= 0 的两根， 则 m 的值是________. 19.关于 x 的一元二次方程 ax2 +2x+1=0 的两个根同号，则 a 的取值范围是 _______________. 2 20.解方程 2x -9x+5=x-3 2 21.解方程：x －2x －3x＝0.

y=x+1

2 2 22.解方程组：

x +y =5 3 2 23.解方程：2（x

－1） +5（x－l）+2=0． 24.解方程：x 25.解方程：x 2 2 －2x－2=0 +5x+3=0 2 2 26.已知关于 x 的一元二次方程 x

(k

1 x

6

0 的一个根是 2，求方程的另一根和 k 4 x

3x

k

3k

4

0 的一个

的值． 2 2 27.已知关于 x 的一元 二次方程 (k

根为 0，求 k 的值． 28.如图 1－2－3 为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为 20 厘米，钟面数字 2 在长方形的顶点处，则长方形的长为_________厘米． （此题用到三角函数） 中考预测题 一、基础经典题( 44 分 (一选择题(每题 4 分，共 28 分 7

九年级上复习课教案 ZN 2 【备考 1】如果在－1 是方程 x +mx－1=0 的一个根，那么 m 的值为（ ） A．－2 B．－3 C．1 D．2 【备考 2】方程 2 x( x 3 5( x 3 的解是（ ） A． x

3 B.x

5 2 C.x1

3, x2

5 D.x

3 2 2 【备考 3】若 n 是方

程 x mx n 0 的根，n≠0，则 m+n 等于（ ） A．－7 B．6 C．1 D．－1 2 【备考 4】关于 x 的方程 x

mx

n

0 的两根中只有一个等于 0，则下列条件中正确的

是（ ） A．m＝0，n＝0 C．m≠0，n = 0 B．m＝0，n ≠0 D．m≠0，n≠0 【备考 5】以 5－2 6 和 5+2 6 为根的一元二次方程 是（ ） 2 A． x 10x

1

0 2 C． x

10x

1

0 2 D． x

10x

10 x 1

1

0 B． x

0 2 2 【备考 6】已知

x1 ， x2 是方程 x －x－3=0 的两根， 那么 x1 D、 4 1 2 x

(m

3 x

m2

x 2 值是（ ） 2 2 A．1 B．5 C．7 49

0 【备考 7】关于 x 的方程 4 有两个不相等的实根，

那么 m 的最大整数是（ ） A．2 B．－1 C．0 D．l （二）填空题（每题 4 分，共 16 分） 【备考 8】 已知一元二次方程 x ＋3x+1=0 的两个根为 x 1 ， x 2 那么 （1+ x 1 ） （1+ x 2 ） 的值等于_______. 【备考 9】 已知一个一元二次方程 x +px+l=0 的一个实数根的倒数恰是它本身， 则 P 的值是_______. 【备考 10】如图，在□ABCD 中，AE⊥BC 于 E，AE=EB=EC=a，且 a 是一元二次方程 x +2x－3=0 的根， 则□ABCD 的

周长是_______ 2 2 2 8

九年级上复习课教案 A ZN D B E C 2 2 【备考 11】关于 x 的方程 (k 2 x

k

42

1 x 3(k

0 的一次项系数是－3，则 k=_______ 【备考 12】关于 x 的方程 (a

2 a1

x

5

0 是一元二次方程，则

1 x 三、实际应用题（9 分） a2

a=__________. 本题为增长率问题，一般形式为 a（1+x）2=b，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关 数量 【备考 13】2003 年 2 月 27 日《广州日报》报道：2002 年底广州自然保护区覆盖率(即自然保护区 面积占全市面积的百分比）为 4．65％，尚未达到国家 A 级标准，因此，市决定加快绿化建 设，力争到 2005 年底自然保护区覆盖率达到 8％以上，若要达到最低目标 8％，则广州市自然保 护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留三位有效数字） ． 14. 据媒体报道，我国 2009 年公民出境旅游总人数约 5000 万人次，2011 年公民出境旅游总人数 约 7200 万人次，若 2010 年、2011 年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题： （1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； （2）如果 2012 年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 2012 年我国公民出境旅游总人数约多少万 人次？ 15.商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的 降价措施．经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．设每件商品降价 x 元．据此规律，请回答： （1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含 x 的代数式表示） ； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2100 元？ 16、 9