２０１３年ｌ０月 西北工业大学学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ０ｃｔ． ２０１３ Ｖｏ１．３１ Ｎｏ．５ 第３１卷第５期 基于梯度理论的碳纳米管弯曲波传播规律的研究 王碧蓉 ，邓子辰 一，徐晓建 ，１．西北工业大学工程力学系，陕西西安７１０１２９ ＼２．大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室，辽宁大连 摘要：为研究非局部效应对碳纳米管中弯曲波频散特性的影响，分别给出了应力梯度和应变梯度修 正的铁木辛柯梁模型的控制方程，通过代入波函数表达式，得到频散方程。借助数值算例，得到两种 修正模型在非局部因子取值变化时的频散曲线，并与分子动力学结果对比证实模型的可行性。结果 表明，文中所引入的非局部因子对研究高波数阶段弯曲波频散特性十分必要。 关键词：碳纳米管，弯曲波，梯度理论，频散特性，非局部效应 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００—２７５８（２０１３）０５－０７７４－０５ 中图分类号：ＴＢ３８３ 碳纳米管因其独特的力学和电学特性受到众多 学者的青睐，并广泛应用于纳米器件设备中，如原子 力显微镜、场发射器件、纳米电子设备等。对碳纳米 管的研究方法大致上可分为以下两类：①原子仿真 模型，主要包括分子动力学¨ ，紧束缚分子动力 学 ｊ，密度泛函分子动力学以及第一性原理分子动 力学等 ，但原子仿真模型仅适用于由少数原子或 分子组成的系统；②连续介质力学方法，主要用来研 究由大量分子或原子组成的系统，弹性壳 和弹性 梁 模型是碳纳米管的常用理论模型。大量实验 和数值模拟结果表明，碳纳米管的某些反映其微结 研究碳纳米管中波的传播特性已得到广泛的应用。 如对于非局部的铁木辛柯梁模型的建立大致分为以 下两类：以Ｗａｎｇ等 为代表的只考虑转动惯量的 影响；和以Ｌｕ等 。。为代表的同时考虑转动惯量和 剪切变形，在研究过程中取两个非局部因子相等的 情况。 本文基于应力梯度和应变梯度理论修正的铁木 辛柯梁模型，研究碳纳米管中弯曲波的频散特性。 在结合分子动力学结果对比验证模型有效性的基础 上，分析说明引入不同的弯矩和剪力非局部因子对 研究弯曲波频散特性的必要性。 构的材料参数，如杨氏模量和弯曲刚度，都具有尺度 效应。Ｅｆｉｎｇｅｎ等 最早提出了非局部弹性理论，该 理论认为材料中一点的应力，不应仅与该点的应变 有关，而是该结构中所有点应变的函数。研究碳纳 １．１应力梯度理论修正的铁木辛柯梁模型 １ 梯度理论修正的铁木辛柯梁模型 米管中波的传播特性对于分析其力学特性有重要的 作用 ，并对以碳纳米管做填充材料的纳米复合材 料的减振和降噪分析具有重要贡献。在这一领域， Ｙｕ等 用紧束缚分子动力学方法研究了碳纳米管 在非局部弹性理论中，定义于一点 处的应力 状态并不仅仅是由这一点处的应变决定的，而是由 这个结构上所有点的应变共同决定 Ｊ。为研究微 结构的非局部效应对其动力学特性的影响，在处理 一的声子色散关系；Ｗａｎｇ和Ｈｕ 用分子动力学的方 法给出了单壁碳纳米管中弯曲波的频散特性。在使 用连续介质力学方面，基于非局部的弹性梁模型来 收稿日期：２０１２—１０—１１ 维梁模型时，取应力梯度的本构关系如下 基金项目：国家基础研究计划９７３项目（２０１１ＣＢ６１０３００）、１１１引智计划项目（Ｂ０７０５０）、国 家自然科学基金（１０９７２１８２、１１１７２２３９）、高校博士点基金（２０１０６１０２１１００１９）、大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室 开放基金（ＧＺ０８０２）和西北工业大学研究生创业种子基金（Ｚ２０１２０６０）资助 作者简介：王碧蓉（１９８９一），女，西北工业大学硕士研究生，主要从事碳纳米材料力学性能的研究。 第５期 王碧蓉等：基于梯度理论的碳纳米管弯曲波传播规律的研究 ．７７５． （ 一 毒） ＝Ｅ （ 一ｚ 寿） ＝Ｇ （１） 中ｉ＝ 一１，ｗ为幅值，ｃ表示波速，ｋ是波数，与波 ｒｒ／Ａ。把波函数的试探解带人方程 （２） 长Ａ有关ｋ＝２，设波函数的试探解为Ｗ＝面ｅｘｐ（ｉｋ（ —ｃｔ）），其 式中，Ｅ、Ｇ是弹性模量，ｌ 、ｌ 是非局部弹性材料的 非局部因子，用来衡量非局部弹性材料的微结构对 其动力学特性产生影响，切应变 ＝ ＯＷ一 ， 是截 面转角。 为建立梁的动力学方程，建立ｘｙ坐标系，使 方 向与梁的轴向重合。则梁的弯矩Ｍ和剪力Ｑ表示 如下 Ｍ＝ｆＡＹ￣ａＡ （３） Ｑ＝ｄＡ＝４ （４） 式中 ＝ ， ＝ ，Ｙ表示相应点离中性轴的距 离，Ａ表示梁的横截面面积，，是惯性矩， 是横截面 剪切系数。 由（１）～（４）式，得 （１ １ ０ｘ２］、Ｍ＝一 （５） （１一 毒）Ｑ＝ＧＡｆ（ Ｏｗ一 ） （６） 梁的平衡方程由以下两式给出 ｐＡ Ｏ ｚｗ＝ （７） ｐ， ＝Ｑ— ＯＭ （８） 在（７）式、（８）式两式中消去剪力Ｑ，再结合（５） 式有 （１ ２ ０２ ￣［Ａ ｗ 血０ ２ＯＸＯｔ２］＼埘 ＝。 （９） 同理，由（６）式和（７）式，有 （ ；嘉） 一ＧＡｆ（０…２ｗ ｏｘ）＝。（１０） （９）式和（１０）式是应力梯度修正后的非局部铁木 辛柯梁模型的动力学方程。在上述两式中消去截面 转角‘Ｄ即可得单一未知量（Ｗ）的位移方程 叫 一 （ ２ ０２ ￣０４： Ｗ ］＋（ 嘉）・ ｐＡ ￣Ｏｗ ０４－ｐＩ￣Ｗ （ 以 番） 】＝。 （１１） （１１）式，有 善一（一Ｉ ＋ ＋ａ２＋ Ｊ击） ＋号＋ 最＝０ｕ¨ ） 式中ａ１＝ＧＡｆｆ￣Ｅ１，ａ２＝６ ／Ｅ， １＝１＋ ｋ ，６２＝１ ＋ ｋ ，ｃ ＝、／／Ｅ 是弹性波波速，解得 （１３） 式中Ａ。＝ ａ２，Ａｚ＝ ＋ ＋击。 波速的无量纲表达式（１３）与Ｗａｎｇ ” 的结果 不同，在文献［１１］中，Ｗａｎｇ未考虑转动惯量和剪切 变形对波传播速度与临界频率的影响。另外，在应力 梯度修正理论中若取剪力方程中的非局部因子和弯 矩方程中的非局部因子相等且不为零的情况下（即 ｌ：＝ｌ ），就得到一个通解的形式 ｍ 。若令ｌ ＝０，即 退化到一系列不考虑非局部剪切变形的结果 。 １．２应变梯度理论修正的铁木辛柯梁模型 取应变梯度理论的本构关系如下所示 一Ｅ（ ） （１４） ＝Ｃ（１＋ 寿） （１５） 式中ｒ 、ｒ：表示非局部弹性材料的非局部因子。 类似于（５）式、（６）式的推导，弯矩和剪力方 程为 ＝一ＥＩ（１ 善） （１６） Ｑ＝ＧＡｆ（１ ２ ０ｘ２］、（ 一 ） （１７） 由（７）式、（８）式所示的梁的平衡方程，结合（１６） 式、（１７）式所得修正后的剪力和弯矩方程，经过计 算得应变梯度理论修正后的铁木辛柯梁模型的动力 学方程如下 ｐ， Ｏｔ２一ＧＡｆ（１＋ｒ２ ０Ｘ２］、 ＯＸ一 ）一 Ｅ１ ｆ １＋ｒ２１ １０Ｘ２］ ＯＸ２＝０ （１８） ＪＤＡ ０ ２ｗ—ＧＡｆ（１＋ｒ２ ０２／￣０＼ａ２ ｗ 一 Ｏｘ）＝０ ｆ １９） 西北工业大学学报 第３ｌ卷 在方程（１８）式、（１９）式中消去截回转角 得天十 见表１。 表１材料参数 弯曲变形的方程 Ｅ，（１＋ｒＩ２ ＯＸ２Ｊ＼【（１ ２ ２￣１９ ０４ｗ 一 ０４ｗ ］ｒ Ｐ，【（ 嘉） 一 ｐ ０ ４ｗ］ ＋ （２０） ．（ 未） ＝０ 图１给出了扶手椅型（５，５）的单壁碳纳米管在 把波函数的试探解Ｗ＝历ｅｘｐ（ｉｋ（ —ｃｔ））代入（２０） 式中，化简有 号一（ ６ 垮＋０２ ＝０（２１） 式中 ＝１一ｒ ｋ ， ＝１一ｒｉ ｋ ，口 ，口 取值同上。 懈得 （２２） 式中 。＝ ：＝ ＋０２ 。 在（１３）式、（２２）式中令ｋ一０，即可得这两种 模型下弯曲波的Ｉ临界频率为 ｏｇｃｕｔ０ｆｆ： （２３） 这个临界频率也叫截止频率，由（２３）式可知，当波 数ｋ很小时截止频率只受材料特性的影响，不受本 文所研究的非局部因子（Ｚ．，Ｚ：，ｒ。，ｒ：）影响。同理， 在（１３）式中代入 ＝ｇｏ／ｃ，并令 一∞，即得在应力 梯度理论修正的铁木辛柯梁模型下的另一组临界频 率，又称逃逸频率 ∞６Ｏ ｅｓｃａｐｅｌ ： 一１∞ｅ ｃａｐ以： ｅ２ —— 一 （２４）ｚ斗 １ ２ 逃逸频率是允许波传播的最大频率，（２４）式表明， 逃逸频率是材料和非局部因子的函数。 ２数值算例 本文考虑扶手椅型（５，５）的单壁碳纳米管，取 其质量密度为Ｐ＝２ ２３７ ｋｇ・ｍ～，壁厚ｈ＝０．３４ ｎｍ。 除非特别指出，非局部因子取ｆ ＝０．０３５ ５ ｎｍ，２。＝ ｒ１１］ １２ ，其中ｄ表示相邻两碳原子问的轴向距 离，ｚ ／ｆ】在０到１之间任意取值，另一组非局部因子 ｒ ＝０．０３５ ５ ｎｍ，ｒ２／ｒ 同样在０到１之间任意取值。 薄壁圆管的剪切系数 ＝０．５，数值计算的材料参数 应力和应变梯度理论修正的铁木辛柯梁模型下弯曲 波的频散曲线，并与Ｗａｎｇ和Ｈｕ 分子动力学的结 果对比，体现了本文所给模型的有效性。 ＿ 三 燃 波速ｌｏｇｌ０ 图１ 分别用应力和应变梯度理论修正的铁木辛 柯梁模型下扶手椅型（５，５）的单壁碳纳米管 在不同剪力非局部因子取值下的波速ｃ随 波数ｋ的变化曲线 在图１中为描述扶手椅型（５，５）的单壁碳纳米 管的剪力非局部因子对频散特性影响，我们分别取 ｆ２／２。为０，１／３，１；ｒ２／ｒ。为０，２／３，１。由图可知，应 力梯度修正的铁木辛柯梁模型中随着ｆ ／ｆ 在０到１ 间逐步增大，图形向左移动，明显比ｚ：不存在时吻合 效果好；应变梯度理论修正模型中频散曲线也随 ｒ２／ｒ 在０到１问逐渐增大有更好的效果，图形也随ｒ 的增大有微小的左移，这进一步肯定了剪力非局部 因子ｆ２、ｒ２存在的必要性，同时发现这两个非局部因 子对弯曲波的频散特性在高波数段的影响更为明 显。还观察到应力梯度修正的非局部铁木辛柯梁模 型的波速在波数很大的时候才逐渐趋于０，而应变 梯度修正的非局部铁木辛柯梁模型的波速在波数ｋ 接近３．２×１０ｍ时急剧减小到０。 为具体分析由应力梯度修正的铁木辛柯梁模型 下逃逸频率和截止频率与非局部因子之间的关系， 第５期 王碧蓉等：基于梯度理论的碳纳米管弯曲波传播规律的研究 ．７７７． 下面各图均只取扶手椅型（５，５）的单壁碳纳米管来 取ｚ１＝０．４ ｎｍ，ｆ２＝０．４，０．２１，０．１５ ｎｍ三组不同 作图说明。从图２知，不论应力梯度修正的铁木辛柯 临界范围内的值作对比，当频率小于截止频率时，只 梁模型中引入的两个非局部因子比值ｆ，／２．在０到１ 有低波速ｃ ，当频率增加到大于截止频率，小于 间如何变化，两个逃逸频率总随非局部因子ｆ 的增 ３５．８５ ＴＨｚ时，高低波速Ｃ 、Ｃ 同时存在。还观察到， 大呈减小的趋势；当ｚ 确定时，第２逃逸频率随ｆ，／ｆ， 只有Ｚ：＝０．４ ｎｍ时低波速ｃ 对应的逃逸频率小于 取值的增大而减小。截止频率不受非局部因子影响， 截止频率，此即说明非局部因子的确对波频散特性 只与材料特性有关（见（２３）式）。从图中曲线看出， 有明显影响。图４讨论非局部因子ｆ ＞０．５３ ｎｍ的情 （２４）式中第１逃逸频率和截止频率在ｚ ＝０．５３ ｎｍ 况，取Ｚ１＝０．８ ｎｍ，Ｚ２＝０．９，０．５，０．１２ ｎｍ三组值， 时交于一点，第２逃逸频率和非局部因子Ｚ：直接相 当频率小于截止频率时，各组参数取值下的低波速 关，其与截止频率的交点按图中所取两非局部因子 ｃ 都存在，当频率大于截止频率时，只有参数ｚ ＝ 的比例关系，在ｚ ＝ｚ 时交于ｚ．＝０．２４ ｎｍ处，取 ０．８ ｎｍ，ｚ：＝０．１２ ｎｍ时高波速ｃ 存在，且此时的逃 Ｚ２／ｌ。：１／３时对应交于ｆ ＝０．７２ ｎｍ。截止频率不随 逸频率大于截止频率。同时，图３和４显示，第２逃逸 非局部因子变化，在上图描述的扶手椅型（５，５）的 频率随ｚ 增大而减小，如ｆ ＝０．１２、０．１５、０．２１、０．４、 单壁碳纳米管中为一定值２７．０５ ＴＨｚ（见（２３）式）。 ０．５和０．９ ｎｍ时，对应的第２逃逸频率分别为 图３对非局部因子ｚ。＜０．５３ ｎｍ进行具体分析， ５４．１０、４３．２８、３０．９１、ｌ６．２３、１３．９８、７．２１ ＴＨｚ …第１逃逸频率 ……第２逃逸频率（１２／ｌ，＝１／３） …一第２逃逸频率＜ｔ２／ｔ，＝１） ——截止频率 １× 士 ＼ 鼋 ． 、 褂１× ． 曝 。．． 、、－、＝＝二： 。 。‘～ 。 ＿ ‘～＇＿＿，＿ｌ－＿ｌ＿～‘＿．＿． 弯矩非局部因子１，／ｎｍ 频率 ／ＴＨｚ 频率∞／ＴＨｚ 图２扶手椅型（５，５）的单壁碳纳米管 图３弯矩非局部因子ｚ．＜０．５３ ｎｍ时， 图４弯矩非局部因子１．＞０．５３ ｎｍ时， 中弯曲波的逃逸频率和截止频 剪力非局部因子１ 对扶手椅型 剪力非局部因子 对扶手椅型 率随非局部因子的变化曲线 （５，５）的单壁碳纳米管中弯曲 （５，５）的单壁碳纳米管中弯曲 波频散特性的影响 波频散特性的影响 响是不可忽略的，在波数较小的时候影响相对较小， ３ 结 论 且随着剪力非局部因子取值在一定范围内增大所得 频散曲线与分子动力学结果吻合效果渐好。同时发 本文分别用应力梯度和应变梯度理论修正的铁 现应力梯度修正的非局部铁木辛柯梁模型的波速在 木辛柯梁模型研究了碳纳米管中弯曲波的频散特 波数很大的时候逐渐减小并最终趋于０，应变梯度 性，并与分子动力学结果进行对比，充分证实了本文 修正的铁木辛柯梁模型在波数较大的时候波速很快 所研究模型的可行性。通过分析变化非局部因子取 减小到０。另外，通过频率与波速曲线具体分析了 值后所得频散曲线的规律揭示了本文所引入的剪力 应力梯度理论修正的铁木辛柯梁模型下不同非局部 非局部因子对弯曲波的频散特性在高波数阶段的影 因子对逃逸频率与截止频率间关系的影响，当频率 高于最大逃逸频率时波不能传播。 ・７７８・ 西北工业大学学报 第３ｌ卷 参考文献： ［１］Ｃａｏ Ｇ，Ｃｈｅｎ Ｘ．Ｂｕｃｋｌｉｎｇ ｏｆ Ｓｉｎｇｌｅ—Ｗａｌｌｅｄ Ｃａｒｂｏｎ Ｎａｎｏｔｕｂｅｓ ｕｐｏｎ Ｂｅｎｄｉｎｇ：Ｍｏｌｅｃｕｌａｒ Ｄｙｎａｍｉｃｓ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅ’ ｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ．Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｒｅｖｉｅｗ Ｂ，２００６，７３（１５）：１５５４３５ ［２］Ｙｕ Ｊ，Ｋａｌｉａ Ｒ Ｋ，Ｖａｓｈｉｓｈｔａ Ｐ．Ｐｈｏｎｏｎｓ ｉｎ Ｇｒａｐｈｉｔｉｃ Ｔｕｂｕｌｅｓ：Ａ Ｔｉｇｈｔ—Ｂｉｎｄｉｎｇ Ｍｏｌｅｃｕｌａｒ Ｄｙｎａｍｉｃｓ Ｓｔｕｄｙ．Ｔｈｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｅｍｉｃａｌ Ｐｈｙｓｉｃｓ，１９９５，１０３（１５）：６６９７－６７０５ ［３］ Ｗａｎｇ Ｑ，Ｖａｒａｄａｎ Ｖ Ｋ．Ｗａｖｅ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ Ｃａｒｂｏｎ Ｎａｎｏｔｕｂｅｓ．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｌｉｄｓ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２００６，４３ （２）：２５４—２６５ ［４］ Ｒｕ Ｃ Ｑ．Ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ Ｂｅｎｄｉｎｇ Ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｏｆ Ｃａｒｂｏｎ Ｎａｎｏｔｕｂｅｓ．Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｒｅｖｉｅｗ Ｂ，２０００，６２（１５）：９９７３－９９７６ ［５］Ｙｏｏｎ Ｊ，Ｒｕ Ｃ Ｑ，Ｍｉｏｄｕｃｈｏｗｓｋｉ Ａ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ａｎ Ｅｍｂｅｄｄｅｄ Ｍｕｈｉｗａｌｌ Ｃａｒｂｏｎ Ｎａｎｏｔｕｂｅ．Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏ— ｇＹ，２００３，６３（１１）：１５３３—１５４２ ［６］Ｅｒｉｎｇｅｎ Ａ Ｃ．Ｎｏｎｌｏｃａｌ Ｐｏｌａｒ Ｅｌａｓｔｉｃ Ｃｏｎｔｉｎｕａ．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｉｒｎｇ Ｓｃｉｅｎｃｅ，１９７２，１０（１）：１－１６ ［７］ Ｓｈｅｎ Ｊ，Ｗｕ Ｊ Ｘ，Ｓｏｎｇ Ｊ，Ｌｉ Ｘ Ｆ，Ｌｅｅ Ｋ Ｙ．Ｆｌｅｘｕｒａｌ Ｗａｖｅｓ ｏｆ Ｃａｒｂｏｎ Ｎａｎｏｔｕｂｅｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｇｒａｄｉｅｎｔ Ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ． Ｐｈｙｓｉｃａ Ｓｔａｔｕｓ Ｓｏｌｉｄｉ（ｂ），２０１２，２４９（１）：５０—５７ ［８］Ｗａｎｇ Ｌ，Ｈｕ Ｈ．Ｆｌｅｘｕｒｌａ Ｗａｖｅ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｉｎ Ｓｉｎｇｌｅ—Ｗａｌｌｅｄ Ｃａｒｂｏｎ Ｎａｎｏｔｕｂｅｓ．Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｒｅｖｉｅｗ Ｂ，２００５，７１（１９）：１９５４１２ ［９］Ｗａｎｇ Ｃ Ｍ，Ｚｈａｎｇ Ｙ Ｙ，Ｈｅ Ｘ Ｑ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ Ｎｏｎｌｏｃａｌ Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ Ｂｅａｍｓ．Ｎａｎｏｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００７，１８（１０）：１０５４０１ ［１０］Ｌｕ Ｐ，Ｌｅｅ Ｈ Ｐ，Ｌｕ Ｃ，Ｚｈａｎｇ Ｐ Ｑ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｎｏｎｌｏｃａｌ Ｂｅａｍ Ｍｏｄｅｌｓ ｆｏｒ Ｃａｒｂｏｎ Ｎａｎｏｔｕｂｅｓ．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｌｉｄｓ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２００７，４４（１６）：５２８９－５３００ ［１ １］Ｗａｎｇ Ｑ．Ｗａｖｅ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｉｎ Ｃａｒｂｏｎ Ｎａｎｏｔｕｂｅｓ ｖｉａ Ｎｏｎｌｏｃａｌ Ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，２００５，９８ （１２）：１２４３０１－６ ［１２］Ａｓｋｅｓ Ｈ，Ａｉｆａｎｔｉｓ Ｅ Ｃ．Ｇｒａｄｉｅｎｔ Ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ ａｎｄ Ｆｌｅｘｕｒａｌ Ｗａｖｅ Ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｉｎ Ｃａｒｂｏｎ Ｎａｎｏｔｕｂｅｓ．Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｒｅｖｉｅｗ Ｂ，２００９，８０ （ｔ９）：１９５４１２ Ｍｏｄｉｉｅｄ Ｔｉｆｍｏｓｈｅｎｋｏ Ｂｅａｍ Ｍｏｄｅｌｓ ｆｏｒ Ｆｌｅｘｕｒａｌ Ｗａｖｅ Ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｉｎ Ｃａｒｂｏｎ Ｎａｎｏｔｕｂｅｓ ｗｉｔｈ Ｓｈｅａｒ Ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ Ｗａｎｇ Ｂｉｒｏｎｇ ，Ｄｅｎｇ Ｚｉｃｈｅｎ ，Ｘｕ Ｘｉａｏｊｉａｎ ／１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ ａｎ ７１０１２９，Ｃｈｉｎａ 、 ＼２．Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｓｔｕｃｔｒｕｒａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｆｏｒ Ｉｎｄｕｓｔｉｒａｌ Ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ，Ｄａｌｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｄａｌｉａｎ １ １６０２４，Ｃｈｉｎａ］ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｇｏｖｅｒｎｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｄｉｆｉｅｄ Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ ｂｅａｍ ｍｏｄｅｌｓ ｗｉｔｈ ｓｔｒｅｓｓ ａｎｄ ｓｔｒａｉｎ ｇｒａｄｉ— ｅｎｔｓ ａｒｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｔｏ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｔｈｅ ｎｏｎｌｏｃａｌ ｓｈｅａｒ ｅｆｆｅｃｔ ｏｎ ｆｌｅｘｕｒａｌ ｗａｖｅ ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｉｎ ｃａｒｂｏｎ ｎａｎｏｔｕｂｅｓ．Ｔｈｅ ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌｌｙ ｏｂｔａｉｎｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｏ ｍｏｄｉｆｉｅｄ ｍｏｄｅｌｓ ａｒｅ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌｌｙ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｎｏｎｌｏｃａｌ ｓｈｅａｒ ｆａｃｔｏｒｓ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｓｈｏｗ ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｉｌｙ ｔｈａｔ：（１）ｔｈｅ ｎｏｎｌｏｃａｌ ｆａｃｔｏｒｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｈｅｒｅ ｈａｖｅ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｎ ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆ ｆｌｅｘｕｒａｌ ｗａｖｅ ｉｎ ｃａｒｂｏｎ ｎａｎｏｔｕｂｅｓ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ａｔ ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｒ ｗａｖｅ ｎｕｍｂｅｒｓ；（２）ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｎｏｎｌｏｃａｌ ｆａｃｔｏｒｓ ａｌｓｏ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｔｈｅ ｂｒａｎｃｈｅｓ ｏｆ ｗａｖｅｓ ｄｅｐｅｎｄｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｎｏｎｌｏｃａｌ ｓｈｅａｒ ｆａｃｔｏｒｓ ａｄｏｐｔｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃａｒｂｏｎ ｎａｎｏｔｕｂｅｓ，ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ（ｗａｖｅｓ），ｐｈａｓｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ，ｓｈｅａｒ ｓｔｒａｉｎ，ｓｈｅａｒ ｓｔｒｅｓｓ；ｆｌｅｘｕｒａｌ ｗａｖｅ，ｇｒａ— ｄｉｅｎｔ ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ ｔｈｅｏｒｉｅｓ，ｎｏｎｌｏｃａｌ ｅｆｆｅｃｔ