面板数据的单位根检验

面板数据的单位根检验

1 LLC（Levin-Lin-Chu，2002）检验（适用于相同根（common root）情形）

LLC检验原理是仍采用ADF检验式形式。但使用的却是yit和yit的剔出自相关和确定项影响的、标准的代理变量。具体做法是（1）先从 yit和yit中剔出自相关和确定项的影响，并使

**ˆij其标准化，成为代理变量。（2）用代理变量做ADF回归，=ij + vit。LLC 修正的t(ˆ)渐近

服从N(0,1)分布。

详细步骤如下：

H0:  = 0（有单位根）； H1:  < 0。LLC检验为左单端检验。 LLC检验以如下ADF检验式为基础：

 yit =  yi t-1 +ij yi t-j + Zit' + it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T （38）

j1ki其中Zit表示外生变量（确定性变量）列向量， 表示回归系数列向量。

（1）估计代理变量。首先确定附加项个数ki，然后作如下两个回归式，

k  yiit =

ˆij yi t-j + Zit'ˆ+ˆit j1k yii t-1 = ~ij yi t-j + Zit'+~it1 j1移项得

k ˆiit=  yit -ˆij yi t-j - Zit'ˆ j1k ~iit1= yit -~ij yi t-j - Zit' j1把ˆit和~it1标准化， ˆ*ij= ˆit/si *ij= ~it1/si

. .

2

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其中si, i = 1, 2, …, N 是用（38）式对每个个体回归时得到的残差的标准差，从而得到 yit和yit-1

**ˆij的代理变量和ij。

**ˆij（2）用代理变量和ij作如下回归，

**ˆij=ij+ vit ˆ的如下修正的~tLLC证明，上式中估计量ˆ统计量渐近地服从标准正态分布。

~tˆ=

~ˆ)mTˆ2s(~*tˆ(NT)SN~*mT N (0, 1)

~其中tˆ表示标准的t统计量；N是截面容量；T=T-ki/N-1，（T为个体容量）；SN是每个

iˆ标准误差；mTˆ)是ˆ2是误差项vit的方差；s(~个体长期标准差与新息标准差之比的平均数；~分别是均值和标准差的调整项。 和mT. 3

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见图21输出结果，LLC = 9.7 > -1.65，所以存在单位根。

图21 LLC检验的EViews 5.0输出结果（部分）

EViews 5.0操作步骤：在面板数据窗口点击View选Unit Root Test功能。在Test Type中

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4

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选Common root –Levin, Lin, Chu。

2 Breitung检验（2002）（适用于相同根（common root）情形）

Breitung检验法与LLC检验法类似。先从yit和yit中剔出动态项yitj，然后标准化，再

~* + v。检验单位根。 ˆit*=退势，最后用ADF回归itit1用每个个体建立的单位根检验式的误差项之间若存在同期相关，上述面板数据的单位根检验方法都不再适用。主要是统计量的分布发生变化，检验功效降低。为此提出一些个体同期相关面板数据的单位根检验方法。

3 Hadri检验（适用于相同根（common root）情形）

Hadri检验与KPSS检验相类似。原假设是面板中的所有序列都不含有单位根。计算步骤是用原面板数据的退势序列（残差）建立LM统计量。

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5

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退势回归是

yit = 1 +2 t + uit

ˆit计算如下LM统计量， 利用上式中的残差uLMt1N22 (39) S(t)Tfi0i1Ntˆit是残差累积函数，f0是频率为零时的残差谱密度。 其中Si(t)us1Hadri给出，在一般假定条件下

Z =

N(LMa)N(0, 1) (40) b其中a=1/6，b=1/45，LM由（39）式计算。

Hadri检验的原假设是没有单位根。以案例1为例，图22给出检验结果。EViews给出假

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定同方差和克服异方差两种情形下的Z统计量。因为Z渐近服从正态分布，Z = 7.5和7.6落在拒绝域，结论是存在共同单位根。

图22 Hadri检验的EViews 5.0输出结果（部分）

EViews 5.0操作步骤：在面板数据窗口点击View选Unit Root Test功能。在

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Test Type中选Common root – Hadri。

不同根（individual unit root）情形的面板数据单位根检验方法 4 IPS（Im-Pesaran-Shin）检验（1997,2002）

IPS检验克服了LL检验的缺陷，允许面板中不同个体（序列）的i不同。IPS检验式是

 yit = i yi t-1 +ij yi t-j + Xit' + it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T, it IID(0,2) （43）

j1kiH0: i = 0, i = 1, 2, …, N; （存在单位根）

0,i1,...,n1 H1: i。

i0,in11,n12,...,N利用（41）式对N个个体估计N个i及相应的tˆ。计算平均值t(ˆ)1Nti1N(ˆ)。再用t(ˆ)构造面

. 8

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板IPS检验用统计量Zt[t(ˆ)E(t(ˆ))]Var(t(ˆ))/N。

Zt渐近服从N(0,1)分布。临界值与N、T以及检验式中是否含有确定项有关系。IPS检验

为左单端检验。

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图23 IPS检验的EViews 5.0输出结果

EViews 5.0操作步骤：在面板数据窗口点击View选Unit Root Test功能。在Test Type中选Individual root

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– Im, Pesaran。

5 崔仁（In Choi）检验（2001），又称Fisher-ADF检验。

崔仁（2001）提出了两种组合pi值检验统计量。这两种检验方法都是从Fisher原理出发，首先对每个个体进行ADF检验，用ADF统计量所对应的概率pi的和构造ADF-Fisher 2和ADF-Choi Z统计量。原假设H0是存在单位根。在原假设成立条件下，

ADF-Fisher  = -2log(pi)2(2N)

2

i1NADF-Choi Z =

1Ni1N1(pi)N(0, 1)

其中-1(·)表示标准正态分布累计函数的倒数。

如果概率pi是通过PP检验计算出来的，还可以得到PP-Fisher 2，PP-Choi Z两个统计量。

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EViews 5.0对这4个统计量都有报告。因为这4个统计量计算的都是每个个体单位根检验尾部概率的和，所以如果这个值很小，应该落在Fisher 2和Choi Z统计量的拒绝域，如果这个值很大，则落在Fisher 2和Choi Z统计量的接受域。

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图24 ADF-Fisher，ADF-Choi检验的EViews 5.0输出结果（部分）

图25 PP-Fisher，PP-Choi检验的EViews 5.0输出结果（部分）

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第一代面板数据单位根检验 检验的基本思路

检验党基本做法：考虑在T个时间段上N个截面样本的观测值，假设随机过程由如下一阶自回归过程产生：

i1,,Nyit(1i)iiyi,t1it, （1）

t1,,T单位根检验H0:i1 对所有的i。 等价的有：

i1,,Nyitiiyi,t1it （2）

t1,,T.

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其中：

i(1i)i, i(1i), yityityi,t1, i1,,N,t1,,T （3）

IPS方法（2003）

首先假定（2）式中it,i1,,N,t1,2,T 为独立的同为正态分布

的变量，Eit0, Variti。

The standard DF statistic for the ith group is given by the t-ratio of i in the regression of yi(yi1,yi2,TyiT)on T1,1,T,1 and

yi,1yi0,yi1,,yi,T1.

TWith OLS, we have

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iOLSXXXYτ,yi,1τ,yi,1TTT11τ,yi,1TΔyi

TT1T τττyi,1yTi,1τyTτΔyiTi,1yi,1yi,1ΔyiNT11yTitt0 Tyitt1T1y2T1yititt0t0y it1yitt1.

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T12yitt0T1yit t0T1TT12Tyityityityityit1yitt0t0t1t0t1TTT1TNyitNyit1yityityitt1t0t1t1 22TT1T1T1T122Nyityityit1yitNyityitt0t0t0t1t0T1iNyit1yityityitt1t0T12Nyityitt0t0T1t12TT1T

ti.

iVariiVari17

换个思路，双残差的思路。

yiτiyi,1i 1退势

eMyie2Me1ie2'i

yi,11iTMTyi,1Myi,1MTyi,1Myi

yTM1Ti,1yi,1yi,1MyiVar2iTiTM1yi,1TMyi,121iTyTi,1Myi,1. .

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12tyTi,1Myi,1iTiiTyTi,1Myi,11yTyTi,1Myi,112i,1Myi

iTyTi,1Myi1TiTyi,1Myi,122yTiMXyi1iTT2，

MITTTTTTTMTXITXXX1XT

.

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简化形式

tyTiMyi,1it1Tit(yi,1Myi,1)2

. yTiMyiitT1.

20

