衍射光栅

第五章 衍射光栅

§ 5.1多缝夫琅和费衍射（光栅衍射）

衍射光栅：具有周期性空间结构或光学结构的衍射屏。 可以具有反射或透射结构

可以按不同的透射或反射率分为黑白光栅、正弦光栅，等等。

对于光栅的每一个单元，按衍射分析；不同的单元之间，按干涉分析。

一． 衍射强度分布

1、 用矢量法分析

每一个衍射单元的复振幅用一个矢量表示。 不同单元间具有位相差Δφ。

所有单元衍射的矢量和为光栅衍射的复振幅。

L2=L1+dsinθ，Ln=L1+(n−1)dsinθ

相邻衍射单元间的光程差δ=dsinθ 相邻衍射单元间的位相差，∆ϕ=kdsinθ=

2πλdsinθ

1

崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅

2β=∆ϕ，β=

πdsinθ，N个矢量首尾相接，依次转过Δφ，即2β角。 λaθ/2sinNβ~sinusinNβsinNβ=aθ =U0

sinβsinβusinβAθ=OBN=2RsinNβ=2

2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解

平行光入射，满足近轴条件。

1eikr~~~

U(P)=K∫∫U0(Q)F(θ0,θ)dΣ=KFU0(0)

rr0

Σ

ikre∫∫dΣ Σ

仅对衍射屏透光部分求积分，即不透光部分的瞳函数为零。有

1~~

U(P)=KFU0(0)

r0

∑[∫e

j=1

Σj

N

ikr

dΣj]

对每一个狭缝的积分是求得入射光经该狭缝后的衍射在P点引起的振动，即复振幅，为光的衍射；对所有狭缝的求和是将每一个狭缝射出的光在P点引起的振动即复振幅进行

2

崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅

叠加，自然是相干叠加，为光的干涉。物理过程为：每一个单狭缝的光在P点先进行衍射，衍射后的复振幅再进行干涉。

设多缝为周期性结构，称为光栅。每一狭缝宽度为b，不透光部分宽度为a，a+b=d，d为相邻两狭缝中心的距离，即光栅的周期。各狭缝中心发出的光波到达屏上的光程为Lj，则有L2=L1+δ,L3=L1+2δ，Ln=L1+(n−1)δ，δ=dsinθ 为相邻两狭缝中心发出的光到达P点的光程差。

在第j个狭缝中，位置在xj的点光源发出的光与狭缝中心发出的光到达P点的光程差为

∆rj=−xjsinθ，即rj=Lj−xjsinθ，上述积分化为

1~~

U(P)=KFU0(0)

r0

1Na/2ikLj−ikxjsinθ~

edxj=KFU0(0)∑∫edxj∑∫−a/2−/1ar0j=1j=1

~NNa/2U(0)sinu1~ikLikL−ikxsinθ=KFU0(0)∑ej∫ejdxj=[KF0a][∑ej]

−a/2r0ur0j=1j=1

a/2

ikrj

N

可见前面[]内为单缝衍射的结果，对各个狭缝都是一样的；后面[]内为多缝之间干涉的

结果。最后在P点的振动是两者乘积。

上式进一步化为

~

U0(0)eikL1sinuNik(j−1)dsinθ~

U(P)=[KFa][∑e]

r0uj=1~sinu

=U0[][∑eik(j−1)dsinθ]

uj=1

N

U(θ)=

sinu=u

sin(

πa

sinθ)λ，为单元（单缝）衍射因子，由瞳函数决定。 πa

sinθλ2iN

N

1−e~

N(θ)=∑eik(j−1)dsinθ=

j=1

πd

sinθλ1−e

2i

πd

sinθλeiNβe−iNβ−eiNβ=iβee−iβ−eiβ

=ei(N−1)βsin(Nβ)

=ei(N−1)βN(θ)

sinββ=kdsinθ=

πd

sinθ λN(θ)：N元干涉因子。

sinu2sinNβ2~~

U(P)=U0U(θ)eiϕ(θ)N(θ)，I(P)=I0() )(

usinβ 3

崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅

(sinu/u)

2

(sinNβ/sinβ)

2

u=πbsinθ/λ

β=πdsinθ/λ

U(θ)N(θ)

2

2

-3-2-101234567

πbsinθ/λ

二． 双缝衍射，N=2

sin2u

，而杨氏干涉为 I(P)=4I0cosβ2

u

2

I=I0[1+cos(

2πd

λsinθ)]=I0(1+cos2β)=4I0cos2β

sinuπa

=1，u=0，sinθ=0,a<<λ。每一uλ相当于不考虑单缝衍射时的情况。即认为个狭缝只有一个次波波源。

三． 衍射花样的特点

1．衍射极大值位置

主极大由N（θ）决定

N（θ）的极大值，β=jπ，N（θ）=N，sinθ=jλ/d，j=0, ±1，±2，±3，……

I=I0N2(

sinu2

) u

4

崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅

2．有一系列的亮条纹，j：谱线级数。

谱线位置与N无关，由d，j，λ决定。 谱线位置与衍射因子无关。

3．谱线强度与N2成正比，受衍射因子调制。 4．极小值位置

衍射因子U（θ）=0，sinu=0，u≠0 asinθ=nλ，n=±1，±2，±3，……

干涉因子N（θ）=0，sinNβ=0，sinβ≠0 dsinθ=kλ/N，dsinθ≠jλ，即k≠jλ

dsinθ=0，1(λ/N)，2(λ/N)……(N-1)(λ/N)，N(λ/N)，(N+1)(λ/N)，(N+2)(λ/N)，……2N(λ/N)，……j(λ/N)，……两住极大值之间有N-1个最小值，N-2个次极大。 5．谱线的缺级

当干涉的最大值与衍射的极小值重合是，出现缺级

干涉极大位置sinθ=jλ/d，衍射极小位置sinθ=nλ/a，所以有j/d= n/b，j=na/d。上述谱线级数缺。

四．干涉与衍射的区别和联系

干涉是光束之间的相干叠加，这些光束是有限条，或虽然有无限多条，但是光束之间是离散的、不连续的、可数的。

衍射是连续分布的无限多个点光源（次波中心）发出的光波的相干叠加。 无论是衍射还是干涉，光波在相遇点都是振动的叠加，都遵循波的叠加原理。

干涉时，光的能量在空间均匀分布，各个亮条纹有相差不大的能量；在衍射时，光的能量主要集中在一个特殊的衍射级上，更接近于集合成象的情况。

五．光栅方程

透射式光栅

正入射时

5

崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅

dsinθ=jλ，j=0,±1,±2,󰀢

斜入射时

光程差δ=−d(sinθ0±sinθ)=jλ

入射、出射在光栅平面法线同侧，d(sinθ0+sinθ)=jλ 入射、出射在光栅平面法线同侧，d(sinθ0−sinθ0=jλ 反射式光栅

d(sinθ±sinθ0)=jλ，同侧取“+”，异侧取“-”。

六．谱线的角宽度和光栅的色分辨本领

1．谱线的角宽度

sinθj=j

φλd

，相邻的最小值出现在sinθ′j=(j+

1λ)，θ′j=θj+∆θj Nd

有sinθ′j−sinθj=cosθj∆θj=L=Nd：光栅的宽度。 2．光栅的分辨本领

λNd

，∆θj

λNdcosθj

=

λLcosθj

波长差为δλ的同级衍射光谱线的角距离δθ。

dsinθ=jλ，dcosθδθ=jδλ，δθ=j

δλdcosθ。

用Rayleigh判据，∆θ=δθ时，可分辨，有长间隔为δλ=

λNdcosθ=j

δλdcosθ，可分辨的最小波

λjN

，分辨本领A=

λ=jN δλN越大，j越大，分辨本领越大；分辨本领与光栅常数d无关。

七．光栅光谱和色散问题

θ=θ(λ)，不同波长的光在空间分开称为色散，光栅具有色散能力。

1．dθ/dλ，角色散率，光栅的分光能力。

定义为：两条纯数学的光谱线在空间分开的角距离。

6

崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅

dθ/dλ=j/dcosθ。

（1）j=0,dθ/dλ=0，零级光谱无色散，即所有不同波长的零级光谱线都集中于同一位置。原因是由于零级谱的干涉的光程差等于零。

（2）θ很小时，dθ/dλ=j/d，对于固定的j，为常数。 角色散率与N无关。

线色散率fdθ/dλ=dl/dλ，谱线在焦平面上的距离。 2．自由光谱范围（色散范围）

波长范围为λm~

λM=λm+∆λ，∆λ<λm/j即λM−λm<λm/j。光栅方程要求

12

λMλM，所以一级光谱的自由光谱范围为(λm,2λm)，即其中

2λm八．闪耀光栅

平面式光栅在衍射零级的色散为零。但该级却集中了绝大部分衍射能量。

必须注意到，能量集中是衍射的结果，即大部分能量都集中在几何象点上。而色散是干涉的结果，来自不同狭缝的光具有不同的光程。对于平面光栅，单元衍射零级的位置与缝间干涉的零级的位置恰好是重合的。如果让干涉零级与衍射的零级在空间上分开，则可以使衍射的绝大部分能量集中在一个有色散的衍射级上。即让光的几何象点偏离光栅平面的法线即可。闪耀光栅具有这种能力。

7

崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅

通常采用图示的两种方式入射（照明）。

第一种方式，在反射光方向上，干涉的光程差为δ=2dsinθB，相应的光栅级数为

2dsinθB=jλ，j=1时，衍射最强的波长为λ1B=2dsinθB，一级闪耀波长。

其它波长的一级光谱出现在闪耀波长附近。由于衍射的零级有很大的宽度，所以，其它

波长的一级谱线也有足够的强度。

第二种方式，在反射光方向上，干涉的光程差为δ=dsin2θB=jλj，一级闪耀波长为λ1B=dsin2θB。

′+θB)−sin(θ′−θB)]=jλd[sin(θ0δ′=−dsin(θ′−θB)′+θB)δ0=dsin(θ0

′+θB d[sinθ0−sinθ]=jλ，θ=θ′−θBθ0=θ0

8

崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅

九、正弦光栅

与黑白型光栅不同，正弦光栅的透过率可以用正弦或余弦函数表示，其透过率为

t∝1+cos

2πx，其中d为光栅的空间周期。则其瞳函数 d

2π~

U0(x)=U0[1+cosx]，单元衍射因子为

d

ikr0e~(θ)=KFUu0

r0

∫

d/2

−d/2

(1+cos

2π2πx)e−ikxsinθdx d

2πeikr0

=KFU0

r0eikr0

=KFU0

r0eikr0

=KFU0

r0

1idx1−idx−ikxsinθ(1+dx ∫−d/22e+2e)e

d/2

∫

d/2

−d/2

[e

−ikxsinθ1i(d

+e2

2π−iksinθ)x

1i(−d+e21i(−+ed2

2π−ksinθ)x

]dx

∫

d/2

−d/2

[e

−ikxsinθ1i(+ed2

2π−ksinθ)x

2π−ksinθ)x

]dx

eikr0sinβ1sin(β−π)1sin(β+π)

[] +=KFU0d+

2β−π2β+πβr0

1i(d

e（∵∫−d/22

d/2

2π−ksinθ)x

1

dx=

2

∫−d/2

2πi(−ksinθ)d

−e

1

d/2

e

i(

2π−ksinθ)xd

d[i(

2π−ksinθ)x] d

d

sinθ)]2

=

2π−ksinθ)d

d

sin[(π−ksinθ)]

dsin(π−β)d2=） =

d2π−β2

π−ksinθ2

i(

~

12

1

[e

2πdi(−ksinθ)d22πd

−i(−ksinθ)

d2

]=

1

2

2isin[(π−ki(

2π−ksinθ)d

相当于三个单元衍射因子，缝宽为d，狭缝中心分别在0，π，-π处。正是多元衍射因子N(θ)的0级和±1级的位置。其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。

§ 5.2 X-RAY在晶体中的衍射

晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以作为衍射光栅。 是一种三维的光栅。

但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中

9

崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅

出现衍射。 只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹配，X射线可以被晶体衍射。 晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、分子、或离子基团，可以用一个点表示。 周期性的结构可以用晶格表示，晶格的格点构成晶格点阵。

入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X射线出射的方向。 晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不同的间距，即，晶格常数，d。

10

崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅

一．极大值条件

1．点间干涉（晶面的衍射）

首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点间干涉，或称为晶面的衍射。

一个晶面上各个格点对入射光散射，光程差δ1=a(sinθ−sinθ0)=jλ， 由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即主极大。 j=0，有θ=θ0。

2．面间干涉 再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。

2dsinθ=jλ，Bragg条件。

二．实验方法

1．劳厄（Laue）照相法

固定单晶，连续谱X射线入射。相对于晶面，X射线偏转2θ角。

11

崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅

2．粉末法

样品旋转，单色X光入射。由于样品中多晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光沿圆锥面衍射。

12