小学奥数 数论 余数问题 带余除法(一).题库版

5-5-1.带余除法（一）

教学目标

1. 能够根据除法性质调整余数进行解题 2. 能够利用余数性质进行相应估算 3. 学会多位数的除法计算 4. 根据简单操作进行找规律计算

知识点拨

带余除法的定义及性质

1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r，

0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式．这里： (1)当r0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当r0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图

这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数．

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系．并且可以看出余数一定要比除数小． 2、余数的性质

⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数； ⑵ 余数小于除数．

5-5-1.带余除法（一）.题库 教师版 page 1 of 7 3、解题关键

理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．

例题精讲

除法公式的应用

【例 1】 某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于 ． 【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】2009年，希望杯，第七届，四年级，复赛，第2题，5分

【解析】 125 【答案】125

【例 2】 一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________． 【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】2008年，希望杯，第六届，四年级，复赛，第3题 【解析】 因为最大的三位数为999，999362727，所以满足题意的三位数最大为：36278980

【答案】980

【巩固】 计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲．如果▲的值是6，那么△的最小值是_____． 【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】2005年，希望杯，第三届，五年级，复赛，第4题，6分 【解析】 根据带余除法的性质，余数必须小于除数，则有 △的最小值为7． 【答案】7

【例 3】 除法算式□□=208中，被除数最小等于 ． 【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】2007年，第5届，希望杯，4年级，初赛，4题

【解析】 本题的商和余数已经知道了，若想被除数最小，则需要除数最小即可，除数最小是819，所以本

题答案为：20×（8+1）+8=188.

【答案】188

【例 4】 71427和19的积被7除，余数是几?

【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】第一届，华杯赛，初赛，第14题

【解析】 71427被7除，余数是6，19被7除，余数是5，所以71427×19被7除，余数就是6×5被7除所得

的余数2．

【答案】2

5-5-1.带余除法（一）.题库 教师版 page 2 of 7 【例 5】 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数． 【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】解答

【解析】 1013121001，100171113，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除

数”，所以舍去11，答案只有13,77,91．

【答案】13,77,91共三个

【巩固】 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数． 【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】解答

【解析】 本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转

化为整除问题．方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数．

本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.

【答案】39或者97

【巩固】 在下面的空格中填上适当的数．

7200442713

【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2004年，第2届，走美杯，3年级，决赛，第10题，12分

【解析】 本题的被除数、商和余数已经给出，根据除法的计算公式：被除数除数=商

得到：除数(20047—13)÷742=27．

【答案】27

【例 6】 一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？ 【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】解答

【解析】 这个两位奇数能被1477-49=1428整除，且必须大于49，1428=2×2×3×7×17，所以这样的两位奇数只

有51．

【答案】51

【例 7】 大于35的所有数中，有多少个数除以7的余数和商相等？ 【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答

5-5-1.带余除法（一）.题库 教师版 page 3 of 7 余数，逆推计算

【解析】 除以7的余数只能是0～6，所以商只能是0～6，满足大于7的数只有商和余数都为5、6，所以只

能是40、48．

【答案】40、48

【例 8】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？ 【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10即1998

的约数，同时还要满足大于10这个条件．这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，199823337，共有（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约

数，所以符合题目条件的自然数共有11个．

【答案】11

【巩固】 写出全部除109后余数为4的两位数．

【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛，第五届

【解析】 1094105357．因此，这样的两位数是：15；35；21． 【答案】两位数是：15；35；21

【例 9】 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数． 【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】清华附中，小升初分班考试

【解析】 (法1)因为 甲乙1132，所以 甲乙乙1132乙乙12321088；

则乙(108832)1288 ，甲1088乙1000．

(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的(111)倍，所以得到乙数10561288，甲数1088881000．

【答案】乙数10561288，甲数1088881000

【例 10】 用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r． 【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】第五届，小数报，决赛

【解析】 因为1992是a的46倍还多r，得到19924643......14，得1992464314【答案】a43，r14

5-5-1.带余除法（一）.题库 教师版 page 4 of 7 ，所以a43，r14．

【例 11】 当1991和1769除以某个自然数n，余数分别为2和1．那么，n最小是多少？ 【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 如果用1990和1769去除这个自然数n时，余数是1．而0919671123171，我们不妨取n13，

再验证一下：1991131532，1769131361，所以n最小为13．

【答案】13

【例 12】 有三个自然数a，b，c，已知b除以a，得商3余3；c除以a，得商9余11．则c除以b，得到

的余数是 ．

【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2010年，第8届，希望杯，5年级，初赛，第4题，6分 【解析】 b3a3

c9a11

c(9a9)23b2

所以应该余2．

【答案】2

【例 13】 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是

多少？ 【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2003年，小学数学奥林匹克

【解析】 被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除

数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．

【答案】1968

【巩固】 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______． 【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2002年，小学数学奥林匹克

【解析】 因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为（415488）（41）79，

所以，被除数为7948324．

【答案】324

【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2

个自然数各是多少？

【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 本题为带余除法定义式的基本题型．根据题意设两个自然数分别为x，y，可以得到

x40y16x856，解方程组得，即这两个自然数分别是856，21. xy4016933y21【答案】两个自然数分别是856，21

【例 14】 有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍．且这个三位数除以5余4，除以11余3．这

个三位数是_ 【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 首先个位数不是4就是9，又因为它是百位的3倍所以一定是9，那么百位就是3，又因为它被11

5-5-1.带余除法（一）.题库 教师版 page 5 of 7 除余3，因此十位是9，答案是399

【答案】399

【例 15】 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________.

【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2004年，福州市，迎春杯

设这个自然数除以11余a(0a11)，除以9余b(0b9)，则有11aa93bb，即3a7b，【解析】

只有a7，b3，所以这个自然数为12784．

【答案】84

【例 16】 盒子里放有编号1到10的十个球，小红先后三次从盒子中共取出九个球，如果从第二次起，每次

取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一，那么剩下的球的编号为____． 【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】第五届，走美杯，四年级，初赛，第11题

【解析】 令第1次取的编号为a，第二次取的编号为2a+1，第三次取的编号为：2（2a+1）+1=4a+3；还剩

下的编号为：55-7a-4=517a，当a为6时，余下的是9；当a为7时，余下的是2.

【答案】9或者2

【例 17】 10个自然数，和为100，分别除以3．若用去尾法，10个商的和为30；若用四舍五入法，l0个商

的和为34．10个数中被3除余l的有________个． 【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2008年，第六届，走美杯，五年级，初赛，第13题

【解析】 由题意，“用去尾法，10个商的和为30；用四舍五入法，l0个商的和为34”可知，10个数中除以3余2的数有34-30=4（个），又知道10个自然数的和为100，设除以3余1的数有x个，那么根据

x24100用去尾法后十个商的和与10个自然数的和，可得关系式：30，解得，x2．

333【答案】2

【例 18】 3782除以某个整数后所得的商恰好是余数的21倍，那么除数最小可能是 ． 【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2008年，学而思杯，4年级，第2题 【解析】 设除数为a，商为b，余数为c，则3782ab且b21c．可以将除式转化为a21cc3782，c，

所以（是3782的约数，378223161，在3782的约数中只有c21a1）3782，所以c和（21a1）31611891被21除所得的余数为1，所以21a11891，a90．

【答案】90

【例 19】 在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有______个. 【考点】除法公式的应用 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】2009年，第14届，华杯赛，初赛，第10题

【解析】 根据题意，设这样的数除以57所得的商和余数都为a（a﹤57），则这个数为57×a+a=58a．所以58a

37

﹥2009，得到a﹥2009÷58=34，由于a为整数，所以a至少为35.又由于a﹤57，所以a最大为

58

5-5-1.带余除法（一）.题库 教师版 page 6 of 7 56，则a可以为35，36，37，…，56.由于每一个a的值就对应一个满足条件的数，所以所求的满足条件的数共有56-35+1=22个．

【答案】22

【例 20】 用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？ 【考点】除法公式的应用 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】第二届，华杯赛，初赛，第14题

【解析】 用1、9、8、8可排成12个四位数，即1988，1898，1889，9188，9818，9881，8198，8189，8918，

8981，8819，8891

它们减去8变为1980，1890，1881，9180，9810，9873，8190，8181，8910，8973，8811，8883其中被11整除的仅有1980，1881，8910，8811，即用1、9、8、8可排成4个被1除余8的四位数，即1988，1889，8918，8819.

【又解】什么样的数能被11整除呢？一个判定法则是：比较奇位数字之和与偶位数字之和，如果它们之差能被11除尽，那么所给的数就能被11整除，否则就不能够．

现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加上3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被11除尽，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是． 要把1、9、8、8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作B．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法：

经过验证，第（1）种分组法满足前面的要求：A＝1＋8，B＝9＋8＋3＝20，B－A＝11能被11除尽．但其余三种分组都不满足要求．

根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换，得到的新数被11除也余8．于是，上面第（1）分组中，1和8中任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819．

答：能排成4个被11除余8的数

【答案】4

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