细绳对滑轮力矩问题解析

细绳对滑轮转轴的力矩为什么是M=TR

绕在滑轮上的细绳对滑轮转轴的力矩作用大小为什么等于 TR，细绳对滑轮摩擦力的合力是否等于张力 T？

滑轮是刚体力学里常见的模型，我们遇到的问题一般是滑轮两边各有细绳垂下，或者细绳一端固定在滑轮上，另一端沿滑轮一侧垂下，并且细绳因挂有重物或受到牵引而具有张力。以细绳一端固定在滑轮上，另一端从滑轮侧面垂下为例，我们习惯上认为作用在细绳与滑轮切点上的张力 T 使滑轮产生绕轴转动的趋势。然而垂下的细绳中张力 T 并不固定在切点上，细绳与滑轮切点的位置是随着滑轮转动而变化的，那么细绳对滑轮转轴的力矩作用从何而来呢？从本质上来看，绕在滑轮上的细绳在重物或拉力作用下令滑轮绕轴转动，原因是细绳在与滑轮相接触的各点上沿滑轮边缘的切线方向对滑轮都有静摩擦力的作用（不考虑细绳相对滑轮边缘有滑动），任意接触点的摩擦力 df 对滑轮转轴都会产生力矩作用 dM，从而推动滑轮绕轴转动。任意接触点的摩擦力 df 对转轴的力矩作用 dM=Rdf，方向均沿转轴。细绳对滑轮转轴的力矩作用 M，是所有接触点的摩擦力对转轴力矩作用 dM 的总和，因此 M=∫dM=∫Rdf=R∫df，方向沿转轴。

接下来的问题就是积分∫df 是否等于垂下的那段细绳中的张力 T？∫df 是在与滑轮相接触的细绳上进行积分，也就是沿着滑轮边缘进行积分。因为细绳上各点对滑轮的静摩擦力 df 由该点处细绳中的张力 dT 决定，所以∫df 实际上是把缠绕在滑轮上的细绳任意线元中的张力 dT 逐段累加起来，即∫df=∫dT。与滑轮相接触的细绳上各点处的张力 dT 可能是不均匀的，但是把所有线元中的张力 dT 都累加起来，大小与最后一个接触点以下那段细绳中的张力 T 相等，即∫df=∫dT=T。因此，M=∫dM=∫Rdf=R∫df=RT，一般力矩的大小习惯上写成“力”乘以“力臂”的形式，所以就有了 M=TR。这个结论让很多学生误解成：缠绕在滑轮上的细绳所有线元对滑轮静摩擦力的矢量和∫df 就是垂下那段细绳

上的张力 T。实际上，∫df=∫dT=T 的结论是由于张力沿细绳逐段传递来决定的，而滑轮边缘的静摩擦力 df 的矢量和与垂下的细绳上张力 T 并无等价关系。

总之，细绳对滑轮转轴力矩大小的完整导出过程是：

M=∫dM=∫Rdf=R∫df=R∫dT=RT=TR。对这个结论正确的理解应该是：所有接触点处 df 对滑轮转轴力矩作用（都沿转轴方向）的矢量和与垂下细绳中的张力 T 对转轴的力矩作用具有等价关系。这种等价关系的矢量形式是：M=∫R×df=R×T，此表达式中积分与矢积的运算顺序是不能交换的，积分∫R×df 中的径矢 R 对应不同的 df，而矢积 R×T 中的径矢 R 就是从转轴指向 T 的作用点，即 R×T=∫R×df≠R×∫df，因此 df 的矢量和与张力 T 并无等价关系。