八年级（上）竞赛数学试卷（含答案）
一、选择题（每小题5分,共40分）
1．下列四组数据中,不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A．7,24,25 B．6,8,10 C．9,12,15 D．3,4,6
2．设M=（x﹣3）（x﹣7）,N=（x﹣2）（x﹣8）,则M与N的关系为（ ） A．M＜N B．M＞N C．M=N
D．不能确定
3．观察下列等式：31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187…,解答下列问题：3+32+33+…+32015的末位数字是（ ） A．1
B．3
C．7
D．9
4．若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0,则下列式子一定成立的是（ ） A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=0
5．已知△ABC中,AB=AC,高BD、CE交于点O,连接AO,则图中全等三角形的对数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,AB=8,AD平分∠BAC,点PQ分别是AB、AD边上的动点,则PQ+BQ的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．点P（3,﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（ ） A．（﹣3,﹣5） B．（5,3） C．（﹣3,5） 8．下列四个命题中,真命题有（ ） ①两条直线被第三条直线所截,内错角相等． ②如果∠1和∠2是对顶角,那么∠1=∠2．
D．（3,5）
③三角形的一个外角大于任何一个内角． ④如果x2＞0,那么x＞0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题5分,共40分）
9．若2a3xby+5与5a2﹣4yb2x是同类项,则xy= ．
10．如图,直线l∥m,将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上,则 ∠1+∠2的度数为 ．
11．如果（a2+b2+2）（a2+b2﹣2）=45,则a2+b2的值为 ． 12．已知（a+25）2=1000,则（a+15）（a+35）的值为 ． 13．计算（1﹣果是 ．
14．如图,在△ABC中,I是三内角平分线的交点,∠BIC=130°,则∠A= ．
）（
）﹣（1﹣
﹣）（
）的结
15．如图钢架中,焊上等长的13根钢条来加固钢架,若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A,则∠A的度数是 ．
16．如图,AB=AC,则数轴上点C所表示的数为 ．
三、解答题（每小题10分,共40分）
17．已知：3a=2,3b=6,3c=18,试确定a、b、c之间的数量关系．
18．已知a=2015x+2014,b=2015x+2015,c=2015x+2016．求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值． 19．C不重合）,Q如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动（与A、是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合）,过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D． （1）当∠BQD=30°时,求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变,求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
20．已知△ABC中,∠A：∠B：∠C=3：4：2,AD、BE是角平分线．求证：AB+BD=AE+BE．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分,共40分）
1．下列四组数据中,不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A．7,24,25 B．6,8,10 C．9,12,15 D．3,4,6 【考点】勾股数．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系,这个就不是直角三角形．
【解答】解：A、72+242=252,符合勾股定理的逆定理,故能作为直角三角形的三边长； B、62+82=102,符合勾股定理的逆定理,故能作为直角三角形的三边长； C、92+122=152,符合勾股定理的逆定理,故能作为直角三角形的三边长； D、32+42≠62,不符合勾股定理的逆定理,故不能作为直角三角形的三边长． 故选D．
2．设M=（x﹣3）（x﹣7）,N=（x﹣2）（x﹣8）,则M与N的关系为（ ） A．M＜N B．M＞N C．M=N 【考点】多项式乘多项式．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算,比较即可得到答案． 【解答】解：M=（x﹣3）（x﹣7）=x2﹣10x+21, N=（x﹣2）（x﹣8）=x2﹣10x+16,
M﹣N=（x2﹣10x+21）﹣（x2﹣10x+16）=5, 则M＞N． 故选：B．
3．观察下列等式：31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187…,解答下列问题：3+32+33+…+32015的末位数字是（ ） A．1
B．3
C．7
D．9
D．不能确定
【考点】尾数特征．
【分析】根据31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187…得出3+32+33+34…+32015的末位数字相当于：3+7+9+1+…+3+7+9,进而得出末尾数字．
【解答】解：∵31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187… ∴末尾数,每4个一循环, ∵2015÷4=503…3,
∴3+32+33+34…+32015的末位数字相当于：3+7+9+1+…+3+7+9=（3+9+7+1）×503+19=10079的末尾数为9． 故选：D．
4．若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0,则下列式子一定成立的是（ ） A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=0 【考点】完全平方公式．
【分析】首先将原式变形,可得x2+z2+2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0,则可得（x+z﹣2y）2=0,则问题得解．
【解答】解：∵（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0, ∴x2+z2﹣2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0, ∴x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=0, ∴（x+z）2﹣4y（x+z）+4y2=0, ∴（x+z﹣2y）2=0, ∴z+x﹣2y=0． 故选：D．
5．已知△ABC中,AB=AC,高BD、CE交于点O,连接AO,则图中全等三角形的对数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定．
【分析】根据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质定理解答． 【解答】解：∵高BD、CE交于点O, ∴∠AEO=∠ADO=90°,
图中的全等三角形有： ①在△AEC与Rt△ADB中,
,
∴△AEC≌△ADB（AAS）, ∴∠ABO=∠ACO, ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∴∠CBO=∠BCO, ∴OB=OC；
②在△ABO与Rt△ACO中,
,
∴△ABO≌△ACO（SSS）, ∴∠BAO=∠CAO,
③在△AEO与Rt△ADO中,
,
∴△AEO≌△ADO（AAS）, ④在△BOE与△COD中,
,
∴△BOE≌△COD（AAS）； ⑤在△BCE与△CBD中,
∴△BCE≌△CBD（AAS）．共有5对． 故选C．
6．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,AB=8,AD平分∠BAC,点PQ分别是AB、AD边上的动点,则PQ+BQ的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】轴对称﹣最短路线问题；含30度角的直角三角形．
【分析】如图,作点P关于直线AD的对称点P′,连接QP′,由△AQP≌△AQP′,得PQ=QP′,欲求PQ+BQ的最小值,只要求出BQ+QP′的最小值,即当BP′⊥AC时,BQ+QP′的值最小,此时Q与D重合,P′与C重合,最小值为BC的长．
【解答】解：如图,作点P关于直线AD的对称点P′,连接QP′,
在△AQP和△AQP′中,
,
∴△AQP≌△AQP′, ∴PQ=QP′
∴欲求PQ+BQ的最小值,只要求出BQ+QP′的最小值,
∴当BP′⊥AC时,BQ+QP′的值最小,此时Q与D重合,P′与C重合,最小值为BC的长． 在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AB=8,∠BAC=30°, ∴BC=AB=4,
∴PQ+BQ的最小值是4, 故选A．
7．点P（3,﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3,﹣5） B．（5,3） C．（﹣3,5） 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
D．（3,5）
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数,纵坐标不变可直接得到答案． 【解答】解：点P（3,﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3,﹣5）, 故选：A．
8．下列四个命题中,真命题有（ ） ①两条直线被第三条直线所截,内错角相等． ②如果∠1和∠2是对顶角,那么∠1=∠2． ③三角形的一个外角大于任何一个内角． ④如果x2＞0,那么x＞0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】命题与定理．
【分析】根据平行线的性质对①进行判断； 根据对顶角的性质对②进行判断； 根据三角形外角性质对③进行判断； 根据非负数的性质对④进行判断．
【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等,所以①错误； 如果∠1和∠2是对顶角,那么∠1=∠2,所以②正确； 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角,所以③错误； 如果x2＞0,那么x≠0,所以④错误． 故选A．
二、填空题（每小题5分,共40分）
9．若2a3xby+5与5a2﹣4yb2x是同类项,则xy= ﹣2 ． 【考点】同类项．
【分析】根据同类项的定义,含有相同的字母,相同字母的指数相同,即可列出关于x和y的方程组,求得x和y的值,进而求得代数式的值． 【解答】解：根据题意得：
,
解得：,
则xy=2×（﹣1）=﹣2． 故答案为﹣2．
10．如图,直线l∥m,将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上,则 ∠1+∠2的度数为 45° ．
【考点】平行线的性质．
【分析】首先过点B作BD∥l,由直线l∥m,可得BD∥l∥m,由两直线平行,内错角相等,可得出∠2=∠3,∠1=∠4,故∠1+∠2=∠3+∠4,由此即可得出结论． 【解答】解：过点B作BD∥l, ∵直线l∥m, ∴BD∥l∥m, ∴∠4=∠1,∠2=∠3, ∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠ABC, ∵∠ABC=45°, ∴∠1+∠2=45°． 故答案为：45°．
11．如果（a2+b2+2）（a2+b2﹣2）=45,则a2+b2的值为 7 ． 【考点】换元法解一元二次方程．
【分析】根据题意,可以设a2+b2=m,从而可以求得m的值,进而求得a2+b2的值,注意a2+b2的值不小于0．
【解答】解：设a2+b2=m, 则（m+2）（m﹣2）=45, ∴m2﹣4=45, 解得,m=7或m=﹣7,
∴a2+b2=7或a2+b2=﹣7（舍去）, 故答案为：7
12．已知（a+25）2=1000,则（a+15）（a+35）的值为 900 ． 【考点】平方差公式．
【分析】将（a+15）（a+35）变形为（a+25﹣10）（a+25+10）,根据平方差公式得到原式=（a+25）
2
﹣100,再将（a+25）2=1000整体代入即可求解．
【解答】解：（a+15）（a+35） =（a+25﹣10）（a+25+10） =（a+25）2﹣100, ∵（a+25）2=1000, ∴原式=1000﹣100=900． 故答案为：900．
13．计算（1﹣果是
．
）（
）﹣（1﹣
﹣）（
）的结
【考点】整式的混合运算．
【分析】设a=1﹣﹣﹣﹣,b=+++,然后根据整式的乘法与加减混合运算进行计算即可得解．
【解答】解：设a=1﹣﹣﹣﹣,b=+++, 则原式=a（b+）﹣（a﹣）•b =ab+a﹣ab+b =（a+b）,
∵a+b=1﹣﹣﹣﹣++++=1, ∴原式=． 故答案为：．
14．如图,在△ABC中,I是三内角平分线的交点,∠BIC=130°,则∠A= 80° ．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】先根据角平分线的定义得到∠IBC=∠ABC,∠ICB=∠ACB,再根据三角形内角和定理得∠BIC+∠IBC+∠ICB=180°,则∠BIC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）,由于∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A,所以∠BIC=90°+∠A,然后把∠BIC=130°代入计算可得到∠A的度数． 【解答】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB, ∴∠IBC=∠ABC,∠ICB=∠ACB, ∵∠BIC+∠IBC+∠ICB=180°,
∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）, ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°, ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A, ∴∠BIC=180°﹣=90°+∠A, ∵∠BIC=130°, ∴90°+∠A=130° ∴∠A=80°． 故答案为：80°．
15．如图钢架中,焊上等长的13根钢条来加固钢架,若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A,则∠A的度
数是 12° ．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】设∠A=x,根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP7P8,∠AP8P7,再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【解答】解：设∠A=x, ∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A, ∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x, ∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x, ∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x, …,
∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x, ∴∠AP7P8=7x,∠AP8P7=7x,
在△AP7P8中,∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°, 即x+7x+7x=180°, 解得x=12°, 即∠A=12°． 故答案为：12°．
16．如图,AB=AC,则数轴上点C所表示的数为
【考点】勾股定理；实数与数轴．
﹣1 ．
【分析】根据勾股定理列式求出AB的长,即为AC的长,再根据数轴上的点的表示解答． 【解答】解：由勾股定理得,AB=∴AC=
,
=
,
∵点A表示的数是﹣1, ∴点C表示的数是故答案为：
三、解答题（每小题10分,共40分）
17．已知：3a=2,3b=6,3c=18,试确定a、b、c之间的数量关系． 【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方即可列出等式求出a、b、c之间的数量关系． 【解答】解：∵2×18=62, ∴3a×3c=（3b）2, ∴3a+c=32b, ∴a+c=2b
18．已知a=2015x+2014,b=2015x+2015,c=2015x+2016．求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值． 【考点】因式分解的应用．
【分析】原式变形后,利用完全平方公式配方后,将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵a=2015x+2014,b=2015x+2015,c=2015x+2016, ∴a﹣b=﹣1,b﹣c=﹣1,a﹣c=﹣2,
则原式=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]=×（1+1+4）=3．
19．C不重合）,Q如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动（与A、是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合）,过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D． （1）当∠BQD=30°时,求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变,求出线段ED的长；如果变化请说明
﹣1．
﹣1．
理由．
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形． 【分析】（1）由△ABC是边长为6的等边三角形,可知∠ACB=60°,再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°,,求出x的值即可； 设AP=x,则PC=6﹣x,QB=x,在Rt△QCP中,∠BQD=30°,PC=QC,即6﹣x=（6+x）
（2）作QF⊥AB,交直线AB于点F,连接QE,PF,由点P、Q做匀速运动且速度相同,可知AP=BQ,再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF,再由AE=BF,PE=QF且PE∥QF,可知四边形PEQF是平行四边形,进而可得出EB+AE=BE+BF=AB,DE=AB,由等边△ABC的边长为6可得出DE=3,故当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变． 【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形, ∴∠ACB=60°, ∵∠BQD=30°, ∴∠QPC=90°,
设AP=x,则PC=6﹣x,QB=x, ∴QC=QB+BC=6+x,
∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°,
∴PC=QC,即6﹣x=（6+x）,解得x=2, ∴AP=2；
（2）当点P、Q同时运动且速度相同时,线段DE的长度不会改变．理由如下： 作QF⊥AB,交直线AB于点F,连接QE,PF, 又∵PE⊥AB于E, ∴∠DFQ=∠AEP=90°, ∵点P、Q速度相同, ∴AP=BQ,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°, 在△APE和△BQF中, ∵∠AEP=∠BFQ=90°, ∴∠APE=∠BQF,
,
∴△APE≌△BQF（AAS）, ∴AE=BF,PE=QF且PE∥QF, ∴四边形PEQF是平行四边形, ∴DE=EF, ∵EB+AE=BE+BF=AB, ∴DE=AB,
又∵等边△ABC的边长为6, ∴DE=3,
∴点P、Q同时运动且速度相同时,线段DE的长度不会改变．
20．已知△ABC中,∠A：∠B：∠C=3：4：2,AD、BE是角平分线．求证：AB+BD=AE+BE． 【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】延长AB到F,使BF=BD,连DF,首先证明△ADF≌△ADC,推出AF=AC,由BE是角平分线,推出∠CBE=∠ABC=40°推出∠EBD=∠C,推出BE=EC,推出BE+AE=EC+AE=AC=AF=AB+BF=AB+BD． 【解答】证明：延长AB到F,使BF=BD,连DF, ∴∠F=∠BDF,
∵∠A：∠B：∠C=3：4：2,
∴∠ABC=80°,∠ACB=40°, ∴∠F=40°,∠F=∠ACB, ∵AD是平分线, ∴∠BAD=∠CAD, 在△ADF和△ADC中,
,
∴△ADF≌△ADC, ∴AF=AC, ∵BE是角平分线, ∴∠CBE=∠ABC=40° ∴∠EBD=∠C, ∴BE=EC,
∴BE+AE=EC+AE=AC=AF=AB+BF=AB+BD． ∴AB+BD=AE+BE．
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