湖北省鄂州二中2013-2014学年高二下学期期末检测数学(理)试题 Word版含答案(新人教A版)

2014年鄂州二中高二下学期期末数学检测题(理科)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为 （ ） A．1 B．0 C．1 D．1或1 2．一个物体作变速直线运动，速度和时间关系为v（t）=4t秒运动所经过的位移为（ ） 16 A． m B．163m 2

m/s，则该物体从0秒到4

C． 16m D． ﹣16m 33．在极坐标系中，直线（ ） A． 与直线l关于极轴对称，则直线l的方程为

B． C． D．

4.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图 有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律， 第6幅图的蜂巢总数为（ ）

A．61 B．90 C．91 D．127 5. 若＜＜0，则下列不等式，①a＜b；②a+b＜ab；③|a|＞|b|；④式为（ ） A①、③ ． ＞2中，正确的不等

B． ①、④ xC． ②、③ D． ②、④ 6．设aR，若函数yeax，xR，有大于零的极值点，则（ ） A、a B、a1 C、a1 D、a 7.已知a1b2b1a21，由柯西不等式知以下一定成立的是（ ）

A．ab1 B．ab1 C．ab1 D.ab1 8. 若a+b＞1，则能推出下列不等式中一定成立的是（ ） A|a|＞1且|b|＞1 B． |a+b|＞1 C． |ab|＞1 ． 2

2

222222221e1eD． |a|+|b|＞1

9.极坐标系中，有点A2,和点B2,2

232

曲线C2的极坐标方程为ρ=，3D．30

，

设M是曲线C2上的动点，则|MA|+|MB|的最大值是（ ） A．24 B．26 C．28

10．定义在(0,)上的单调递减函数f(x)，若f(x)的导函数存在且满足

f(x)x，f(x)则下列不等式成立的是（ ）

A.3f(2)2f(3) B.3f(4)4f(3) C.2f(3)3f(4) D.f(2)2f(1)

二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分． 11.

12．已知2= ．

(a，

33881515ttt,n为正实数, n2），通过归纳推理，可推测a，t的值，则at ．（结果用n表示）

222,3333,4444,，若nana

13.将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

，则S的最小值是 ．

14.大家知道：在平面几何中，△ABC的三条点，这个点叫三角形的重心，并且重心分1（从顶点到中点）．据此，我们拓展到空体的顶点与对面三角形的重心的连线叫空线，则四条中轴线相交于一点，这点叫此心．类比上述命题，请写出四面体重心的

________ ．

2

中线相交于一中线之比为2∶间：把空间四面间四面体的中轴四面体的重一条性质：

15.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C：sinθ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方

程为，直线l与曲线C分别交于M、N．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，

则实数a的值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知关于t的方程t2﹣zt+4+3i=0（z∈C）有实数解， （1）设z=5+ai（a∈R），求a的值． （2）设z=b+ai（b,a∈R）求|z|的取值范围．

17. 已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3． （Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集； （Ⅱ）当x,1时，f（x）≤g（x）成立，求a的取值范围．

18．（本小题满分12分）

已知f(x)2ln(xa)x2x在x0处取得极值． （Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）若关于x的方程f(x)b0在区间[1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．

12

19. （本小题满分12分） 已知函数f（x）=|x﹣m|，

2； （Ⅰ）求证：f(x)f(）（Ⅱ）若m=1且abc1x2时， f(log2x)f(2log2x)a2b3c对任意正7数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围． ． 20．（本小题满分13分）

一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻桥墩之间的桥面工程费用为(2x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元． ．．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；

（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

21．（本小题满分14分）

设函数f(x)e(e为自然对数的底数)，gn(x)1x

xx22!x33!Lxnn!（nN）．

（Ⅰ）证明：f(x)≥g1(x)；

（Ⅱ）证明：当x≥0时，f(x)≥g2(x)；

（Ⅲ）当x≥0时，比较f(x)与gn(x)的大小，并证明.

参 考 答 案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为 （ A ）

A．1 B．0 C．1 D．1或1

x210【解析】由x1 ，故选A．

x102．一个物体作变速直线运动，速度和时间关系为v（t）=4﹣tm/s，则该物体从0秒到4秒运动所经过的路程为（ B ） AB． C． 16m D． ﹣16m ． 2 解：∵速度和时间关系为v（t）=4﹣tm/s， ∴该物体从0秒到4秒运动所经过的路程S=故选：B． 3．在极坐标系中，直线

（ A ） AB． ． 提示：把换成，即得结果

与直线l关于极轴对称，则直线l的方程为===16=， 2

C． D．

4.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图 有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律， 第6幅图的蜂巢总数为（ C ）

A．61 B．90 C．91 D．127

5. 若＜＜0，则下列不等式，①a＜b；②a+b＜ab；③|a|＞|b|；④式为（ D ） A． ①、③

＞2中，正确的不等

B． ①、④ C． ②、③ D． ②、④ 6．设aR，若函数yexax，xR，有大于零的极值点，则（ C ） A、a B、a1 C、a1 D、a 7.已知a1b2b1a21，则以下成立的是（ B ）

A．ab1 B．ab1 C．ab1 D.ab1

证明：由柯西不等式，得 222222221e1ea1b2b1a2a21a2b21b21 1b2 当且仅当时，上式取等号， 2a1ab ab1a21b2, a2b21a21b2, 于是 ab1 。 8. 若x+y＞1，则下列不等式成立的是（D ） A． |x|＞1且|y|＞1 B． |x+y|＞1 C． |xy|＞1 解：取x=0.5，y=﹣2，则|a|＜1排除A， 取x=0.5，y=﹣1，则|x+y|＜1排除B， 取x=0.5，y=﹣2，则|xy|=1排除C， 故不等式成立的是D． 故选D． 法二： 画出不等式表示的平面区域即得。 9. 极坐标系中，有点A2,和点B2,2222D． |x|+|y|＞1 23，曲线C2的极坐标方程为32

2

ρ=，设M是曲线C2上的动点，则|MA|+|MB|的最大值是（B ）

A．24 解： A由ρ=

，

B．26 C．28

2

2

2

2

D．30

，化为ρ（4+5sinθ）=36，∴4ρ+5（ρsinθ）=36，化为4（x+y）+5y=36，

222

化为

2

2

，设曲线C2上的动点M（3cosα，2sinα），

+

|MA|+|MB|=

=18cosα+8sinα+8

2

=10cosα+16≤26，当cosα=±1时，取得最大值26．

22

∴|MA|+|MB|的最大值是26．

10．定义在(0,)上的单调递减函数f(x)，若f(x)的导函数存在且满足

22

f(x)x，f(x)则下列不等式成立的是（ A ）

A.3f(2)2f(3) B.3f(4)4f(3) C.2f(3)3f(4) D.f(2)2f(1)

二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分． 11.

12．已知2= ．

233881515tt实数, n2），通过归纳推理，可推测a，t的值，则at ．（结果用n表示）

222,3333,4444,，若nana(a，t,n为正

【答案】nn1

【解析】通过归纳推理，an,t=n21,atn2n1．

13.将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

，则S的最小值是

解：设剪成的小正三角形的边长为x，则： ．

（方法一）利用导数求函数最小值．， = ， 当故当故当时，S′（x）＜0，递减；当时，S的最小值是． ． 时，S′（x）＞0，递增； 时，S的最小值是

14.大家知道：在平面几何中，△ABC的三条中线相交于一点，这个点叫三角形的重心，并且重心分中线之比为2∶1（从顶点到中点）．据此，我们拓展到空间：把空间四面体的顶点与对面三角形的重心的连线叫空间四面体的中轴线，则四条中轴线相交于一点，这点叫此四面体的重心．类比上述命题，请写出四面体重心的一条性质：________．

答案： 四面体重心分中轴线之比为3∶1

【解析】如图所示，AE,BP为四面体的中轴线，P,E分别为ACD,BCD的重心，连结PE，因为AP∶PF=2∶1，BE∶EF=2∶1，所以AP∶PF=BE∶EF，PE//AB，所以AG∶GE=BG∶GP=AB∶

PE=3∶1．

15.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，两种坐标系取相同

2

的单位长度．已知曲线C：psinθ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程

为，直线l与曲线C分别交于M、N．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，

则实数a的值为 1 ．

提示：设点M对应的参数为t1，点N对应的参数为t2，则有t1t2t1t2，即t1t25t1t222t2直线参数方程代入到抛物线普通方程y2ax，得422at164a0，

22有t1t28222a,t1t2328a，代入得a=1

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知关于t的方程t2﹣zt+4+3i=0（z∈C）有实数解， （1）设z=5+ai（a∈R），求a的值． （2）设z=a+bi（a,b∈R）求|z|的取值范围． 22 【解答】：（1）设实数解为t，由t﹣（5+ai）t+4+3i=0得 （t﹣5t+4 ）+（﹣at+3）i=0． 故 ，∴，或 ． ∴a=3，或a=． （2）∵∴． ，∴， 17. 已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3． （Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集； （Ⅱ）当x,1时，f（x）≤g（x）成立，求a的取值范围． 【解答】：（1）解集为（0，2）

（2）当x,1时，f（x）≤g（x）为2x12xax3

12122xa4x，x42xa4x，4ax4a14a91a1 2324a 3

（法二：数形结合法）

18．（本小题满分12分）

已知f(x)2ln(xa)xx在x0处取得极值． （Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）若关于x的方程f(x)b0在区间[1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的

2

取值范围．

【解答】（Ⅰ）f(x)22x1，当x0时，f(x)取得极值， xaf(x)0，解得a2，检验a2符合题意．

（Ⅱ）令g(x)f(x)b2ln(x2)x2xb,则 g(x)当x(2,0)时，g(x)0,g(x)在(2,0)上单调递增； 当x(0,)时，g(x)0,g(x)在(0,)上单调递减， 要使f(x)b0在区间[1,1]上恰有两个不同的实数根，

22x1(x2), x2g(1)0只需g(0)0g(1)0b0即2ln2b0,2ln2b22ln3. 2ln32b0

19. （本小题满分12分） 已知函数f（x）=|x﹣m|，

2； （Ⅰ）求证：f(x)f(）（Ⅱ）若m=1且abc1x2时， f(log2x)f(2log2x)a2b3c对任意正7数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围． 【解答】：（I）f(x)f(）=xm21x111mxx2；…（4分） xxx222（II）∵根据柯西不等式，有（a+b+c）（1+2+3）≥（a2b3c）， ∴a2b3c2 （8分） f(log2x)f(2log2x)＞2，log2x1log2x12 ∴从而log2x1log2x10 ∴x的取值范围是x2或0x

1（12分） 2

20．（本小题满分12分）

一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻桥墩之间的桥面工程费用为(2x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元． ．．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；

（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 【解答】（Ⅰ）设需要新建n个桥墩，(n1)xm，即n=所以yf(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256(m1， xmm-1)+(2x)x xx256mmx2m256. x256mx2（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知，f(x)3212mx12m2x23(x2512)，

令f(x)0，得x512，所以x=64

当00，f(x)在区间（64，640）内为增函数， 所以f(x)在x=64处取得最小值，此时，n故需新建9个桥墩才能使y最小． 方法二：ym640119. x64x2x2256mxmx2m256m(256x)2m256

3m3642m256m14（当且仅当25621．（本小题满分14分）

256x,即x64取等） x2设函数f(x)e(e为自然对数的底数)，gn(x)1x（Ⅰ）证明：f(x)≥g1(x)；

（Ⅱ）证明：当x≥0时，f(x)≥g2(x)；

（Ⅲ）当x≥0时，比较f(x)与gn(x)的大小，并证明.

xx22!x33!Lxnn!（nN）．

x【解答】（Ⅰ）证明：设1(x)f(x)g1(x)exx1，所以1(x)e1．

当x0时，1(x)0，当x0时，1(x)0，当x0时，1(x)0． 即函数1(x)在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增， 在x0处取得唯一极小值，

因为1(0)0，所以对任意实数x均有 1(x)≥1(0)0． 即f(x)g1(x)≥0，所以f(x)≥g1(x)．

x2（Ⅱ）证明：设2(x)f(x)g2(x)e1x

2x2(x)ex1x，由（1）知2(x)0，所以2(x)在0，+单增，

2(x)2(0)=0，所以f(x)≥g2(x)

（Ⅲ）当x≥0时，f(x)≥gn(x)． 用数学归纳法证明如下：

①当n1时，由（1）知f(x)≥g1(x)；

②假设当nk（kN）时，对任意x≥0均有f(x)≥gk(x)， 令k(x)f(x)gk(x)，k1(x)f(x)gk1(x)，

1xf(x)gk(x)， ，k1(x)fxgk由归纳假设知，k1(x)f(x)gk(x)≥0，

即k1(x)f(x)gk1(x)在(0,)上为增函数，亦即k1(x)≥k1(0)， 因为k1(0)0，所以k1(x)≥0．

从而对任意x≥0，有f(x)gk1(x)≥0,即对任意x≥0，有f(x)≥gk1(x)， 这就是说，当nk1时，对任意x≥0，也有f(x)≥gk1(x)． 由①,②知，当x0时，都有f(x)≥gn(x)．