浙江专用2019高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练中高档题得高分第16练立体几何试题

[明晰考情]　1.命题角度：高考中考查线面的位置关系和线面角，更多体现传统方法.2.题目难度：中档难度．

考点一　空间中的平行、垂直关系

方法技巧　(1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系．(2)证明线线垂直的常用方法

①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；

②利用勾股定理的逆定理；③利用线面垂直的性质．

1．如图，在六面体ABCDE中，平面DBC⊥平面ABC，AE⊥平面ABC.

(1)求证：AE∥平面DBC；

(2)若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC.证明　(1)过点D作DO⊥BC，O为垂足．

又∵平面DBC⊥平面ABC，平面DBC∩平面ABC＝BC，DO⊂平面DBC，∴DO⊥平面ABC.又AE⊥平面ABC，∴AE∥DO.

又AE⊄平面DBC，DO⊂平面DBC，故AE∥平面DBC.

(2)由(1)知，DO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，

∴DO⊥AB.

又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC⊂平面DBC，∴AB⊥平面DBC.∵DC⊂平面DBC，∴AB⊥DC.

又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂平面ABD，∴DC⊥平面ABD.又AD⊂平面ABD，∴AD⊥DC.

2．(2018·江苏)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中， AA1＝AB，AB1⊥B1C1.

求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.

证明　(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.

(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，

所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.

又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.

又因为A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.

3．(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为

AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．(1)证明　因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝23.如图，连接OB.

2因为AB＝BC＝2AC，

所以△ABC为等腰直角三角形，1

所以OB⊥AC，OB＝2AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.因为OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，

OB，AC⊂平面ABC，

所以PO⊥平面ABC.

(2)解　作CH⊥OM，垂足为H，又由(1)可得OP⊥CH，

因为OM∩OP＝O，OM，OP⊂平面POM，所以CH⊥平面POM.

故CH的长为点C到平面POM的距离．4212

由题意可知OC＝2AC＝2，CM＝3BC＝3，∠ACB＝45°，

25所以在△OMC中，由余弦定理可得OM＝3，

OC·MC·sin∠ACB45OMCH＝＝5.

45所以点C到平面POM的距离为5.

4．如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.

(1)求三棱锥P－ABC的体积；

PM(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求MC的值．

解　(1)∵AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，31

∴S△ABC＝2·AB·AC·sin60°＝2.

由PA⊥平面ABC可知，PA是三棱锥P－ABC的高，且PA＝1，31

∴三棱锥P－ABC的体积V＝3·S△ABC·PA＝6.

(2)在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N，在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.

∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC，∴MN⊥AC.

又∵BN⊥AC，BN∩MN＝N，BN，MN⊂平面BMN，∴AC⊥平面MBN.

又∵BM⊂平面MBN，∴AC⊥BM.

1

在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝2，3

从而NC＝AC－AN＝2，

PMAN1

由MN∥PA，得MC＝NC＝3.

考点二　空间角的求解

要点重组　设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面

α，β的法向量分别为u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．

(1)线线角

设l，m所成的角为θ(0≤θ≤

π

2，则

)|a1a2＋b1b2＋c1c2||a·b|

1＋b21＋c21 a2＋b2＋c2.cosθ＝|a||b|＝a2(2)线面角

设直线l与平面α所成的角为θ(0≤θ≤

π

2，

)|a·u|

则sinθ＝|cos〈a，u〉|＝|a||u|.(3)二面角

设α－l－β的平面角为θ(0≤θ≤π)，|u·v|

则|cosθ|＝|cos〈u，v〉|＝|u||v|.方法技巧　求空间角的两种方法(1)按定义作出角，然后利用图形计算．

(2)利用空间向量，计算直线的方向向量和平面的法向量，通过向量的夹角计算．5．(2018·诸暨模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为π

2的等边三角形，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠CDA＝2，AB＝2CD＝22，E是CD的中点．

(1)证明：AE⊥PB；

(2)设F是棱PB上的点，EF∥平面PAD，求EF与平面PAB所成角的正弦值．(1)证明　取AD的中点G，连接PG，BG，

平面PAD⊥平面ABCD，PG⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，∴AE⊥PG.又∵tan∠DAE＝tan∠ABG，∴AE⊥BG.又∵PG∩BG＝G，PG，BG⊂平面PBG，∴AE⊥平面PBG，∴AE⊥PB.

(2)解　作FH∥AB交PA于点H，连接DH，

∵EF∥平面PAD，平面FHDE∩平面PAD＝DH，

∴EF∥DH.

∴四边形FHDE为平行四边形．1

∴HF＝DE＝4AB，

即H为PA的一个四等分点．

又AB⊥AD，平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，作DK⊥PA于点K，

∴AB⊥DK，DK⊥PA，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴DK⊥平面PAB，∴∠DHK为所求线面角，

3DK13239sin∠DHK＝DH＝2＝13.

6．在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点，且CH＝3，设D为CC1的中点．(1)求证：CC1⊥平面A1B1D；

(2)求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．

方法一　(几何法)

(1)证明　因为CC1∥AA1且在正方形AA1B1B中AA1⊥A1B1，所以CC1⊥A1B1，

取A1B1的中点E，连接DE，HE，11

则HE∥BB1∥CC1且HE＝2BB1＝2CC1.又D为CC1的中点，所以HE∥CD且HE＝CD，所以四边形HEDC为平行四边形，因此CH∥DE，又CH⊥平面AA1B1B，所以CH⊥HE，DE⊥HE，所以DE⊥CC1，

又A1B1∩DE＝E，A1B1，DE⊂平面A1B1D，所以CC1⊥平面A1B1D.

(2)解　取AA1的中点F，连接CF，作HK⊥CF于点K，因为CH∥DE，FH∥A1B1，CH∩FH＝H，DE∩A1B1＝E，所以平面CFH∥平面A1B1D，由(1)得CC1⊥平面A1B1D，

所以CC1⊥平面CFH，又HK⊂平面CFH，所以HK⊥CC1，

又HK⊥CF，CF∩CC1＝C，CF，CC1⊂平面AA1C1C，所以HK⊥平面AA1C1C，

所以DH与平面AA1C1C所成的角为∠HDK.

3在Rt△CFH中，CF＝3＋1＝2，KH＝2，在Rt△DHK中，

KH3由于DH＝2，sin∠HDK＝DH＝4，

3故DH与平面AA1C1C所成角的正弦值为4.方法二　(向量法)

(1)证明　如图，以H为原点，建立空间直角坐标系，

则C(0,0，3)，C1(2，2，3)，A1(2，0,0)，

)，

22→→－，CC1A1D(22，3)22 所以＝(，，0)，＝，

2B1(0，2，0)，D2

(，22

，322→，－，3B1D ＝22.

→→→→CC1A1DCC1B1D所以 · ＝0， · ＝0，因此CC1⊥平面A1B1D.

(2)解　设平面AA1C1C的法向量为n＝(1，x，y)，由于

→AA1

→A1C22＝(，，0)， ＝(－2，0，3)，＝2＋2x＝0，

()则n·

→

AA1

n·

→A1C

＝－2＋3y＝0，

6得x＝－1，y＝3，所以n＝

(1，－1，

63.

)22→，，3HD2又 ＝2，

设θ为DH与平面AA1C1C所成的角，→2|HD·n|

263→2·|HD||n|

3＝4，所以sinθ＝ ＝

3故DH与平面AA1C1C所成角的正弦值为4.

7．(2018·浙江省杭州市第二中学模拟)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABD＝30°，

()AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF∥BD，且BD＝2EF.

(1)求证：平面ADE⊥平面BDEF；

(2)若二面角C－BF－D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值．

(1)证明　在△ABD中，∠ABD＝30°，由AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos30°，解得BD＝3，所以AD2＋BD2＝AB2，

根据勾股定理得∠ADB＝90°，∴AD⊥BD.

又因为DE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥DE.

又因为BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDEF，所以AD⊥平面BDEF，又AD⊂平面ADE，

所以平面ADE⊥平面BDEF，

(2)解　方法一　如图，由(1)可得∠ADB＝90°，∠ABD＝30°，则∠BDC＝30°，则△BCD为锐角为30°的等腰三角形．1

CD＝CB＝1, 则CG＝2.

过点C作CH∥DA，交DB，AB于点G，H，则点G为点F在平面ABCD上的投影．连接FG，

则CG⊥BD，DE⊥平面ABCD，则CG⊥平面BDEF.过点G作GI⊥BF于点I，连接HI，CI，则BF⊥平面GCI，

即∠GIC为二面角C－BF－D的平面角，则∠GIC＝60°.

1CG1

则tan60°＝GI，CG＝2，则GI＝23.

1

在直角梯形BDEF中，G为BD的中点，BD＝3，GI⊥BF，GI＝23，设DE＝x，则GF＝x，

11

S△BGF＝2·BG·GF＝2·BF·GI，

FG6则DE＝8.tan∠FCG＝GC＝4，

63333则sin∠FCG＝11，即CF与平面ABCD所成角的正弦值为11.

方法二　由题意可知DA，DB，DE两两垂直，以D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线为x轴，

y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.

331

－，，00，，h2设DE＝h，则D(0,0,0)，B(0，3，0)，C22，F.→－1，－3，0→0，－3，hBCBF ＝222， ＝，

设平面BCF的法向量为m＝(x，y，z)，则Error!

所以Error!取x＝3，所以m＝

()()()()(3，－1，－

32h，

)取平面BDEF的法向量为n＝(1,0,0)，|m·n|

由|cos〈m，n〉|＝|m||n|＝cos60°，

6→1，0，6CF8，又 ＝222→CF则| |＝8，

设CF与平面ABCD所成的角为α，→→|CF·DE|

33→→

|CF||DE|

＝11.则sinα＝

33故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为11.

8.如图，在四棱锥P－ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，DA＝2，DP⊥平面ABP，O，M分别是AD，PB的中点．

6解得h＝8，则DE＝8，

()(1)求证：PD∥平面OCM；

(2)若AP与平面PBD所成的角为60°，求线段PB的长．(1)证明　连接OB，设BD与OC的交点为N，连接MN.

因为O为AD的中点，AD＝2，所以OA＝OD＝1＝BC.又因为AD∥BC，

所以四边形OBCD为平行四边形，所以N为BD的中点，又因为M为PB的中点，所以MN∥PD.

又因为MN⊂平面OCM，PD⊄平面OCM，所以PD∥平面OCM.

(2)解　由四边形OBCD为平行四边形，知OB＝CD＝1，所以△AOB为等边三角形，所以∠BAD＝60°

1＋4－2×1×2×

1

2＝3，

所以BD＝

即AB2＋BD2＝AD2，即AB⊥BD.因为DP⊥平面ABP，所以AB⊥PD.又因为BD∩PD＝D，BD，PD⊂平面BDP，所以AB⊥平面BDP，

所以∠APB为AP与平面PBD所成的角，即∠APB＝60°，

3所以在Rt△ABP中，可得PB＝3.

例　(15分)如图，已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，现将△DAC沿着对角线AC向上翻折到△PAC的位置，此时PA⊥PB.

(1)求证：平面PAB⊥平面ABC；

(2)求直线AB与平面PAC所成角的正弦值．审题路线图

(1)分析翻折前后的图形关系―→PA⊥PB，PA⊥PC―→PA⊥平面PBC―→PA⊥BCBC⊥AB―――→

BC⊥平面PAB→平面PAB⊥平面ABC(2)方法一　(作角)

作BD⊥PC于D，连接AD―→证明∠BAD为直线AB与平面PAC所成的角―→在△ADB中计算sin∠BAD方法二　(向量法)

利用1中垂直关系建立空间直角坐标系―→写出点的坐标―→求平面PAC的法向量―→求向量的夹角―→线面角规范解答·评分标准

(1)证明　因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC，2分所以PA⊥BC，

又BC⊥AB，AB∩AP＝A，所以BC⊥平面PAB，4分又BC⊂平面ABC，

所以平面PAB⊥平面ABC.6分

(2)解　方法一　如图，作BD⊥PC于点D，连接AD，由(1)知，PA⊥平面PBC，所以PA⊥BD，

而BD⊥PC，PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，

所以∠BAD为直线AB与平面PAC所成的角．9分在Rt△PBC中，BC＝3，PC＝4，PB＝7，

37所以BD＝4，又AB＝4，

BD37在Rt△ADB中，sin∠BAD＝AB＝16，13分

37所以直线AB与平面PAC所成角的正弦值为16.15分方法二　由(1)知平面PAB⊥平面ABC，所以在平面PAB内，过点P作PE⊥AB于点E，则PE⊥平面ABC，

如图，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系(z轴与直线PE平行)，

在Rt△PBC中，BC＝3，PC＝4，PB＝7，7

在Rt△APB中，AP＝3，AB＝4，PE＝4，BE＝4，可知A(0，－4,0)，B(0,0,0)，C(－3,0,0)，

737→→0，9，370，－，ACAP4， ＝(－3,4,0)， ＝4，10分44P则易得平面PAC的一个法向量为m＝

37()()(4，3，－

9

7，12分

)→

AB·m

37→→→

ABAB|AB||m| ＝(0,4,0)，所以cos〈 ，m〉＝ ＝16，

37故直线AB与平面PAC所成角的正弦值为16.15分构建答题模板方法一

[第一步]　找垂直：利用图形中的线线垂直推证线面垂直和面面垂直．[第二步]　作角：利用定义结合垂直关系作出所求角．[第三步]　计算：将所求角放在某三角形中，计算．方法二

[第一步]　找垂直：利用图形中的线线垂直推证线面垂直和面面垂直，同时为建系作准备．[第二步]　写坐标：建立空间直角坐标系，写出特殊点的坐标．[第三步]　求向量：求直线的方向向量或平面的法向量．

[第四步]　求夹角：计算向量的夹角，得到所求的线面角或二面角．

1．在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，

ABAB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，BC＝CD＝2＝2.

(1)证明：BD⊥PA；

(2)若△PAD为正三角形，求直线PA与平面PBD所成角的余弦值．

(1)证明　在直角梯形ABCD中，因为

AD＝4－22＋22＝22，BD＝22＋22＝22，AB＝4，

所以AD2＋BD2＝AB2，所以BD⊥AD.

又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，BD⊂底面ABCD，所以BD⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.

(2)解　方法一　如图，取PD的中点M，连接AM，BM.因为△PAD为正三角形，所以AM⊥PD.又由(1)知，BD⊥平面PAD，所以平面PBD⊥平面PAD，

又平面PAD∩平面PBD＝PD，AM⊂平面PAD，所以AM⊥平面PBD，

故∠APM即为直线PA与平面PBD所成的角．1

故cos∠APM＝2，

1

即直线PA与平面PBD所成角的余弦值为2.

方法二　在平面PAD内，过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，取AB的中点N，连接QN，易知，

PQ，AQ，QN两两垂直．

以Q为坐标原点，QA，QN，QP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

则P(0,0，6)，A(2，0,0)，

B(－2，22，0)，D(－2，0,0)．

设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量．→→→DBPDDB由n· ＝0，n· ＝0，且 ＝(0,22，0)，→PD ＝(－2，0，－6)，得Error!

取z＝－1，则n＝( 3，0，－1)，→PA又 ＝(2，0，－6)，→PA 〉＝所以cos〈n，

2×

3＋－6×－18×2

3＝2，

1

因此直线PA与平面PBD所成角的余弦值为2.

2．设平面ABCD⊥平面ABEF，AB∥CD，AB∥EF，∠BAF＝∠ABC＝90°，

BC＝CD＝AF＝EF＝1，AB＝2.

(1)证明：CE∥平面ADF；

(2)求直线DF与平面BDE所成角的正弦值．(1)证明　∵AB∥CD, AB∥EF，∴CD∥EF.又∵CD＝EF，

∴四边形CDFE是平行四边形．

∴CE∥DF，又CE⊄平面ADF，DF⊂平面ADF，∴CE∥平面ADF.

(2)解　取AB的中点G，连接CG交BD于点O，连接EO，EG.∵CD∥EF，

∴DF与平面BDE所成的角等于CE与平面BDE所成的角．∵AB⊥AF，平面ABCD⊥平面ABEF，∴AF⊥平面ABCD.又∵EG∥AF，∴EG⊥平面ABCD，∴EG⊥BD.连接DG，

在正方形BCDG中，BD⊥CG，故BD⊥平面ECG.∴平面BDE⊥平面ECG.

在平面CEO中，作CH⊥EO，交直线EO的延长线于点H，得CH⊥平面BDE.∴∠CEH是CE与平面BDE所成的角．过点G作GQ⊥EO.∵OC＝OG，

3∴CH＝GQ＝3.∵CE＝3，

CH1

∴sin∠CEH＝CE＝3.

3．(2018·宁波模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD为直角梯形，CD∥AB，BC⊥AB，平面PAD⊥平面ABCD，点E，F分别为AD，CP的中点，

AD＝AB＝2CD＝2.

(1)证明：直线EF∥平面PAB；

(2)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

(1)证明　设BC的中点为M，连接EM，FM，易知EM∥AB，FM∥PB，

因为EM∥AB，EM⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EM∥平面PAB.同理FM∥平面PAB.

又EM∩FM＝M，EM⊂平面FEM，FM⊂平面FEM，所以平面FEM∥平面PAB，又EF⊂平面FEM，所以直线EF∥平面PAB.

(2)解　连接PE，PM，因为平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，且PE⊥AD，PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，PE⊥BC.又因为EM⊥BC，PE∩EM＝E，所以BC⊥平面PEM，所以平面PBC⊥平面PEM.

过点E作EH⊥PM于点H，连接FH，由平面PBC⊥平面PEM可知，EH⊥平面PBC.所以直线EF与平面PBC所成的角为∠EFH.6371

易求得EF＝2PC＝2，EH＝7，

377

2EH所以sin∠EFH＝EF＝2＝7.

4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE折起至△A′DE的位置，使得平面A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′C的中点．(1)求证：BF∥平面A′DE；

(2)求直线A′B与平面A′DE所成角的正切值．

(1)证明　取A′D的中点M，连接FM，EM，∵F为A′C的中点，1

∴FM∥CD且FM＝2CD，

又E为AB的中点，且AB∥CD，且AB＝CD，1

∴BE∥CD且BE＝2CD，∴BE∥FM且BE＝FM，∴四边形BFME为平行四边形．∴BF∥EM，

又EM⊂平面A′DE，BF⊄平面A′DE，∴BF∥平面A′DE.

(2)解　在平面BCDE内作BN⊥DE，交DE的延长线于点N，

∵平面A′DE⊥平面BCDE，平面A′DE∩平面BCDE＝DE，BN⊂平面BCDE，∴BN⊥平面A′DE，连接A′N，

则∠BA′N为A′B与平面A′DE所成的角．易知△BNE∽△DAE，

ENAE1

∴BN＝AD＝2，又BE＝1，

255∴BN＝5，EN＝5.

在△A′DE中，作A′P⊥DE，垂足为P，∵A′E＝1，A′D＝2，

25525210∴A′N＝5.

25∴A′P＝5，∴EP＝5.

在Rt△A′PN中，PN＝PE＋EN＝5，A′P＝5，

BN22∴在Rt△A′BN中，tan∠BA′N＝A′N＝2，∴直线A′B与平面A′DE所成角的正切值为2.