初三数学第4讲：三角形一边的平行线判定定理

1、三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 数学表达：

如图，直线DE截△ABC得两边AB、AC， 若①

ADAEADAEBDEC,②,③中之一为已知条件，则DE∥BC DBECABACABACA

DE

B

C

2、三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 数学表达：

若点D、E分别在射线AB、AC上，如图（1）或分别在他们的方向延长线上如图（2），且具备上述条件①、②、③之一，则DE∥BC.

AEADBDCEBC

牛刀小试：

1、如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上。判断在下列条件下能否推出DE∥BC,为什么？

AD2,AE=2，AC=3 DB3AD2DE2, （2）

AB5BC5AD2AC5, （3）

DB3CE3（1）

ADEBC

2、△ABC中，直线DE交AB于点D，交AC于点E，那么能推出DE∥BC的条件是（ ）

AB3EC1AD2DE2=,= B、=,= AD2AE2AB3BC3AD2CE2AD3AE3=,= D、=,= C、

DB3AE3AB4EC4A、

二、典型例题

例1、如图EF∥BC，

AF1，BF=4，FD=2，求证：EF∥AD AC3 A D

E F

B C

例2、如图所示，M为AB的中点，EF∥AB,连接EM、FM，分别交AF、BE于点C、D，连接CD。

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求证：CD∥AB.

分析：判定两直线平行的方法一般有四种：（1）通过“三线八角”的相等或互补判定两直线平行；（2）通过三角形、梯形中位线定理判定两直线平行；（3）通过平行四边形的判定间接证平行；（4）通过比例线段证平行。

本题运用第（4）种方法，因为它包含了比例线段的几种基本图形。

EOCDFAB

说明：三角形一边的平行线的判定定理是三角形一边的平行线的性质定理的一个逆定理，基本图形是一样的。但运用时要注意只有三角形两边或两边延长线被截得的四条线段对应成比例时，才可以判定平行。

例3、如图，已知MB∥ND，PBPDPA，求证：NB∥MA M

N

A B D P

例4、作图题：已知线段a、b、c求作线段x，使a：b=c：x

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2

a

b

c

说明：（1）解这类作图题的步骤是：先写出求作线段为第四比例项的比例式，再据有关比例线段定理作出图形；（2）已知的等积式还可以化成其它形式的比例式（x仍为第四比例项）。你能试试画出来吗？

扩展训练：

例5、如图△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，DEFG为平行四边形，连BG、CF且分别延长交于H，连AH，求证：AH∥DG

A

D E

B C

G F H

A D E H G F B C

三、课堂练习

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一、选择题：

1、如图在ΔABC中，DE与AB、AC交于D、E，由以下比例式能判定DE//BC的是( ) （A）

ADAEADDEBDADADBD （B） （C） （D） ABACABBCECAEECAE2、如图，四边形ABCD中，取AD边上一点E，连结BE并延长交CD的延长线于F，由以下比例式能判定FC//AB的是（ ） （A）

3、如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG:GD等于（ ）

A、2:1 B、3:1 C、3:2 D、4:3

AGDFEBCDFDDEFDFEFBADEFED （B） （C） （D） ABAEFCFBFEDEEBEAAEFEADCBBC

4、已知线段a、b、c求作线段x，使xac ，以下作法正确的是（ ） b b b a a

a a b x

c x x c c x b c A B C D

5、如图，O是△ABC内一点，D、E、F分别在AB、AO、AC上，如果DE∥BO， DF∥BC，求证：EF∥OC

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A

E D F O

B C

6、如图，G为四边形ABCD的对角线BD上一点，E、F分别是AB、BC上的点，满足EG//AD，FG//CD。求证：EF//AC。

7、如图，E、G、H、F分别是四边形ABCD各边上的点，且AEFD=EBAF，BGHC=GCDH，求证：EOGO=FOHO D F A

E O H

B G C

DAEGCFB

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第 4 次课后作业 学生姓名：

1、如图，在△ABC中，如果DE∥BC，点D、E分别在AB、AC边上，且BD=的比值为（ ） A、

2AB，那么DE:BC52323 B、 C、 D、 7855AA

D

EG

DEF

BCB

C

2、如图，DE∥FG∥BC，如果AD:DF:FB=1:2:3,那么DE:FG:BC等于（ ） A、1:2:3 B、1:3:6 C、1:9:36 D、1:8:27 3、已知xbc,求作x,则下列作图正确的是（ ） axcBbbcaCxacDabxcAbax

4、如图已知EG∥BC，F为EG上任意一点，AF延长线交BC于D，求证： A

E F G

B D C

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EFBD FGDC

5、如图已知DE∥BC，求证PG：PB=PH：PC A

D Q E

P

B G H C

6、如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AD、AB、BC、DC上，且

EDBFBGDH1 AEAFGCCH2（1）求证：EFGH为平行四边形

（2）当ABCD的对角线AC与BD有怎样的数量关系时，EFGH为菱形

A E D H F

B G C

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