《生活中的轴对称》全章复习与巩固(提高)知识讲解

《生活中的轴对称》全章复习与巩固（基础）

责编：康红梅

【学习目标】

1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.

2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用. 3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法. 4.能按照要求，画出一些轴对称图形. 【知识网络】

【要点梳理】 要点一、轴对称

【高清课堂：389304 轴对称复习，本章概述】 1.轴对称图形和轴对称

（1）轴对称图形

如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

（2）轴对称

定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.

要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；

②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.

（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系

要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．

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2.线段的垂直平分线

线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

要点诠释：

线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 3.角平分线

角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.

要点诠释：

前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了. 要点二、作轴对称图形 1.作轴对称图形

（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；

（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 要点三、等腰三角形 1.等腰三角形

（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．

∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝

180A ． 2（2）等腰三角形性质

①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；

②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三

线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.

（3）等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等

边”）.

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要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理． 2.等边三角形

（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包 括等边三角形．

（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°. （3）等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 【典型例题】

类型一、轴对称的性质与应用

1、（2015•阳谷县一模）若∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论正确的是（ ）

A．OP1⊥OP2 B． OP1=OP2 C．OP1≠OP2 D． OP1⊥OP2且OP1=OP2 【思路点拨】根据轴对称的性质求出OP1、OP2的数量与夹角即可得解． 【答案】D；

【解析】解：如图，∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2， ∴OP1=OP2=OP，

∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，

∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2， =2（∠AOP+∠BOP）， =2∠AOB， ∵∠AOB=45°， ∴OP1⊥OP2成立． 故选D．

【总结升华】本题考查了轴对称的性质，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键，利用图形更形象直观． 举一反三：

【变式】如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称

点．若△ABC的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（ ）

A.180° B.270° C.360° D.480°

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【答案】C；

解：连接AP，BP，CP，

∵D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点 ∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，

∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°．

2、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.

【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P的对称点来确定A、B的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算. 【答案与解析】

解：分别作P关于OM、ON的对称点P1，P2，连接P1P2交OM于A，ON于B.则△PAB为符合条件的三角形. ∵∠MON＝40° ∴∠P1PP2＝140°.

∠PPA＝1∴

11∠PAB,∠P2PB＝∠PBA. 221 (∠PAB＋∠PBA)＋∠APB＝140° 2∴∠PAB＋∠PBA＋2∠APB＝280°

∵∠PAB＝∠P1＋∠PPA, ∠PBA＝∠P2＋∠P2PB 1∴∠P1＋∠P2＋∠P1PP2＝180° ∴∠APB＝100°

【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值.

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举一反三：

【变式】（2014秋•西城区期末）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P1（3，0）．

（1）画出点P从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中，运动的路径； （2）当点P第2014次碰到长方形的边时，点P的坐标为 ．

【答案】 解：（1）如图所示；

（2）如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵2014÷6=335…4，

∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹， ∴点P的坐标为（5，0）． 故答案为（5，0）．

类型二、线段垂直平分线性质

3、如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，求BD的长．

【思路点拨】连接AD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出∠CAD=30°，再求出

∠BAD=90°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD=2DE，BD=2AD，代入数据进行计算即可得解． 【答案与解析】

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解：连接AD，∵等腰△ABC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°，

∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD，

∴∠CAD=∠C=30°，

∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣30°=90°， 在Rt△CDE中，CD=2DE， 在Rt△ABD中，BD=2AD， ∴BD=4DE， ∵DE=1cm，

∴BD的长为4cm． 故答案为：4cm．

【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 举一反三

【变式】如图，在△ABC中，∠A=50°，DE是线段AB的垂直平分线，E为垂足，交AC于点D，则∠ABD= _________ ．

【答案】50°；

类型三、角平分线性质

4、已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC， 求证：OB=OC．

证明：∵AO平分∠BAC，

∴OB=OC（角平分线上的点到角的两边距离相等）上述解答不正确，请你写出正确解答．

【思路点拨】由角平分线的性质可得OD=OE，然后证明△DOB≌△EOC，可得证OB=OC．

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【答案与解析】

证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，

∴OD=OE，

在△DOB和△EOC中，

∠DOB=∠EOC，OD=OE，∠ODB=∠OEC， ∴△DOB≌△EOC（ASA）， ∴OB=OC． 【总结升华】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，注意点到直线的距离是垂线段的长． 举一反三

【变式】如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（ ）

A．仅①② B．仅③④ C．仅①②③ D．①②③④ 【答案】D；

类型四、等腰三角形的综合应用

5、如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：

如图①，连接AP．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴S△ABP=

111AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH． 222又∵S△ABPS△ACPS△ABC， ∴

111AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH． 222楊老师联系电话（微信）无

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（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：

（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________. 【答案】7；4或10； 【解析】

解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，

∴S△ABP=

111AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH， 222∵S△ABP=S△ACP+S△ABC， ∴

111AB•PE=AC•PF+AB•CH， 222又∵AB=AC， ∴PE=PF+CH；

（2）∵在△ACH中，∠A=30°，

∴AC=2CH．

∵S△ABC=∴

1AB•CH，AB=AC， 21×2CH•CH=49， 2∴CH=7． 分两种情况：

①P为底边BC上一点，如图①． ∵PE+PF=CH，

∴PE=CH-PF=7-3=4；

②P为BC延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH， ∴PE=3+7=10．

故答案为7；4或10．

【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．

6、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求ADB的度数．

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【答案与解析】

解：将△ABD沿AB翻折，得到△ABE，连结CE，

则△ABD≌△ABE，

∴BDBE,ADBAEB,∠1＝∠5＝12°. ∴EBC12560° ∵ABC348°∴ABAC．

又∵∠2＝36°，BCD3472°， ∴BDCBCD,BDBC ∴BE＝BC

∴△BCE为等边三角形. ∴BECE.

又QABAC,∴AE垂直平分BC． ∴AE平分BEC． ∴AEB2

E

D

A

5 1

3

B C

1BEC30° 2∴∠ADB＝30°

【总结升华】直接求ADB很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与△ABD全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求． 举一反三：

【变式】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D为形内一点，且∠DAB＝∠DBA＝10°，

求∠ACD的度数.

【答案】 解：作D关于BC中垂线的对称点E，连结AE，EC，DE ∴△ABD≌△ACE

∴AD＝AE, ∠DAB＝∠EAC＝10° ∵∠BAC=80°，

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∴∠DAE＝60°，△ADE为等边三角形 ∴∠AED＝60°

∵∠DAB＝∠DBA＝10° ∴AD＝BD＝DE＝EC ∴∠AEC＝160°， ∴∠DEC＝140° ∴∠DCE＝20° ∴∠ACD＝30°

类型五、等边三角形的综合应用

7、如图所示，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形．

(1)如图(1)所示，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？

(2)如图(2)所示，当点M在BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图(2)证明；若不成立，请说明理由． 【答案与解析】

解：(1)EN＝MF，点F在直线NE上． 证明：连接DF，DE，

∵ △ABC是等边三角形， ∴ AB＝AC＝BC．

又∵ D，E，F是△ABC三边的中点， ∴ DE，DF，EF为三角形的中位线． ∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．

又∠MDN＋∠NDF＝∠MDF，∠NDF＋∠FDE＝∠NDE， ∵△DMN为等边三角形，DM＝DN，∠MDN＝60° ∴ ∠MDF＝∠NDE．

DFDE 在△DMF和△DNE中，MDFNDE，

DMDN ∴ △DMF≌△DNE，

∴ MF＝NE，∠DMF＝∠DNE. ∵∠DMF＋60°＝∠DNE＋∠MFN ∴∠MFN＝60° ∴FN∥AB，

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又∵EF∥AB，

∴E、F、N在同一直线上.

(2)成立．证明：连结DE，DF，EF，

∵ △ABC是等边三角形， ∴ AB＝AC＝BC．

又∵ D，E，F是△ABC三边的中点， ∴ DE，DF，EF为三角形的中位线． ∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．

又∠MDF＋∠FDN＝60°，∠NDE＋∠FDN＝60°，

∴ ∠MDF＝∠NDE．

DFDE 在△DMF和△DNE中，MDFNDE，

DMDN∴ △DMF≌△DNE， ∴ MF＝NE．

【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定.全等是证明线段相等的重要方法.（2）题的证明可以沿用（1）题的思路.

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