微分中值定理在考研试题中的应用 内江师范学院数学与信息科学学院何桃顺 西南交通大学数学学院伍春江 【摘要】微分中值定理是微分学的基本定理，是微分学理论应用的桥梁与基石，所以微分中值定理无论是在理论研究中还 是在实际实践中都有非常广泛的应用。因此这也使微分中值定理在研究生入学考试中备受命题专家的青睐。针对这一情况。本 文主要从什么时候用微分中值定理、怎样用微分中值定理以及微分中值定理的应用三个方面为考研学子提供方法上的指导。 【关键词】微分中值定理信息因子辅助函数构造方法 １引言 微分中值定理是构成微分学基础理论的重要内容，是微分 学的基本定理，是研究函数『生态的有力工具。微分中值定理不 仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥 梁与基石。由于微分中值定理理沦Ｉ生较强、内容抽象，让学生 理解和应用起来都非常困难，但是微分中值定理无论是在理论 研究中还是在实际实践中都有这非常广泛的应用。因此，微分 ２．２微分中值定理的几点说明 ２．２．１微分中值定理之间的关系… 在拉格朗日中值定理中，如果ｆ（ａ）：ｆ（ｂ），则拉格朗日中 值定理就变成了罗尔定理；在柯西中值定理中，如果Ｆ（ｘ）＝Ｘ， 则柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。因此拉格朗日中 值定理是罗尔定理的推广，柯西中值定理又是拉格朗日中值定 理的推广。反之罗尔定理是柯西中值定理的特例。 ２．２．２微分中值定理的几何解释 微分中值定理具体的几何解释参见文献【１】和［７］，总的来 说，三个微分中值定理的几何解释可以概括为：在区间 ｂ］ 上连续且除端点外每一点都存在不垂直于 轴的切线的曲 线，它们都有一个共同的特征一在曲线上至少存在一点使得 在该点的切线平行于曲线端点的连线。 中值定理在研究生入学考试中备受命题专家的青睐，纵观２００２ 年到２０１３年这十余年的研究生入学考试数学试题，微分中值 定理每年都以大题的形式出现，但从每年答题的情况看，丢分 现象严重甚至出现得不了分得隋况。针对这一情况，本文主要 解决微分中值定理在考研试题中的应用，为以后参加研究生入 学考试的同学们提供一些方法上的参考。 ２微分中值定理 ２．１微分中值定理的基本内容 ３微分中值定理在考研试题中的应用 ３．１什么时候用微分中值定理 函数的本身与其导数之间存在着非常紧密的联系。那么， 能否通过导数的已知性质来推断函数本身所具有的性质呢？ 微分中值定理的内容对大部分考研学子来说都不陌生， 但是什么时候用微分中值定理就对大部分同学来说就比较 困难了，这也是导致学生丢分严重的原因之一。针对这一情 况，下面我们总结出考研试题中可以确定一定用微分中值定 理来解题的各种情况： 微分中值定理是解决这一问题的—个有效工具。微分中值定理 是反映导数值与函数值之间的联系的一组定理，主要包括罗尔 定理、拉格朗日定理、柯西中值定理。具体内容如下： 定理 （罗尔定理）如果函数Ｙ＝ｆ（ｘ１满足： （１）在闭区间【口，ｂ］上连续； （２）在开区间（口，６）上可导； （１）根据微分中值定理的条件与微积分中其他定理的 条件的比较，容易发现微分中值定理的条件都有“函数在闭 区间连续，在开区间可导”，把微分中值定理这个特有的条 （３）在区间端点处的函数值相等，即ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）， 那么在区间（口，６）内至少存在一点 ，，（ ）＝０． 定理２ ’（拉格朗日中值定理）如果函数Ｙ＝ｆ（ｘ）满足： （１）在闭区间［口，ｂ】上连续； （２）在开区间（口，６）上可导； 件称为“微分中值定理的信息因子”，下文都简称为“信息 因子”。当考研试题中的条件出现了“信息因子”，应该首 先想到用微分中值定理来解此题； （２）根据观察微分中值定理的结论可知，微分中值定 ＜ ＜ｂ），使得 理主要是用来证明含有导数的等式或者不等式，因此如果试 题的结论中凡是是讨论含有导数的等式、方程、不等式、增 量比方程等应该想到用微分中值定理。 综上所述，如果试题的条件中含有“信息因子”且试题 的结论是讨论含有导数的等式、方程、不等式等，那么就可 那么在区间（ ｂ）内至少存在一点 ＜ ＜１３），使等式 ）： 成立． 定理３“ （柯西中值定理）如果函数厂（ ）及Ｆ（ｘ）满足： （１）在闭区间 ，ｂ］上连续； （２）在开区间（口，６）上可导； （３）对任意 ∈（口，ｂ），Ｆ，（ ）≠０，那么在区间（口，ｂ）内 以确定此题一定考得是微分中值定理，毫不犹豫的用微分中 值定理来解题，从而来避免方法上的错误选择。 ３．２微分中值定理的用法 ３．２．１微分中值定理应用中辅助函数的构造 至少存在一点 ＜ ＜６），使等式 ＝ 成立． 在利用微分中值定理解题时，构造合适的函数是非常重 作者简介：何桃顺（１９８６一），男，四川巴中人，主要从事泛函分析研究。 实战 要的且具有一定的难度，因此这又造成与微分中值定理有关 的考研试题丢分严重。对于微分中值定理应用中函数的构 造，唐帅和王志华在文献［６】中提出了凑导数法、几何直观法、 常数值法、倒推法、乘积因子法、介值法以及分离变量法等。 下面本文根据微分中值定理在考研试题中的命题特点从试 题的结论人手直接给出几类常见的辅助函数。 例１ 设ｆ（ｘ）在［口，纠上连续，在（口，ｂ）上可导，且 厂＿（ｎ）＝ｂ，＿厂（６）＝ａ．求证：存在 ∈（ａ，ｂ），使得厂 （ ）＝ ，（ ） 例２设ｆ（ｘ）在［１，２］上连续，在（１，２）上可导，且 ，（１）： ，，（２）：２．求证：存在 ∈（１，２），使得，，（ ）： ． 例３设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ】上连续，在（４，ｂ）上可导，且 厂（口）＝，（６）＝０．求证：存在 ∈（口，６），使得厂 （ ）＝ 厂（ ）． 分析：上述三个案例的题设中都出现了微分中值定理的 “信息因子”（闭区间上连续，开区间上可导），且结论都 是含有导数的等式或方程，所以可以肯定的是用微分中值定 理来解决上述三个问题； 如果仔细观察容易发现上述三个案例的结论可以归结 为以下三种类型： 厂 （ ）十厂（ ）＝０ 力口法； 厂 （ ）一，（ ）＝０ 减法； 厂 （ ）一 ，（ ）＝０ 函数力Ⅱ导数； 针对上述三种情形和导数的基本性质可以考虑构造函 数Ｆ（ｘ）为以下三种形式： ’ Ｆ（ｘ）＝ ·ｆ（ｘ） 适合于加法； Ｆ（ｘ）＝ 适合于减法； Ｆ（ｘ）＝－厂（ ）．ｅｈ 适合于函数加导数 般说来，在解与微分中值定理有关的试题时，首先应 把结论转化为方程的形式，再判断是否属于上述三种形式， 然后直接构造出辅助函数。下面以１９９９年的研究生如下考 试为例对考研试题中微分中值定理应用过程中辅助函数的 构造方法做一个系统的总结： 例４设ｆ（ｘ）在［０，１】上连续，在（０，１）上可导，且 ｆ（Ｏ）＝０，，（１）＝０，厂（去）＝１．证明： （１）存在 ∈（去，１），使得，（ ）＝ ； （２）存在７７∈（ｏ，１），使得ｆ＇（ｒＩ）一 （，（ ）一，７）＝１． 分析：首先，题设中含有微分中值定理的“信息因子” 且结论是证明含有导数的等式所以可以考虑用微分中值定 理来解答； 其次，对于第（１）问的结论是证明不含有导数的等式， 可以考虑用零点定理来解决，并且一般情况下构造Ｆ（ｘ）就 是方程的左边减去右边，然后把 换成 即可； 最后，对于第（２）问的结论可以变形为（ｆ（ｒ１）一刁） 一 （，（卵）一叩）＝０，属于函数加导数的形式，因此可以构造 Ｆ（ｘ）＝（厂（ ）一ｘ）ｅ 来解决此问题。 证明（１）令Ｆ（ｘ）＝＿厂（ｘ）一 ，因为ｆ（ｘ）在［Ｏ，１】上连续， 在（０，１）上可导，所以Ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，在（Ｏ，１）上可导。 又因为 ）＝， ）一 １＝１一 ＞０，Ｆ（１）＝，（１）一１＜０，由零点 定理可知，存在 ∈（ ，１）使得，（ ）＝０，即厂（ 一 ：０． （２）令Ｆ（ ）＝（厂（ ）一ｘ）ｅ— ，易知Ｆ（ ）在在［０，１】上连 续，在（Ｏ，１）上可导。又因为 （Ｏ）＝０，Ｆ（ ）＝０，由罗尔定 理可知，存在 ∈（Ｏ， ）∈（Ｏ，１）使得Ｆ ）＝０，即有： Ｐ一 ［，，（ ）一１一 （，（７７）一ｒ１）】＝０，因此厂 （ｒ／）－Ａ，（ｆ（ｒ／）－Ｕ）＝１． ３．２．２微分中值定理应用中函数区间的构造 在利用微分中值定理解决问题时，构造合适的函数是至 关重要的，但是构造合适的区间也是缺一不可。因此构造合 理的区间也备受命题专家的青睐，从近十年的研究生入学考 试题可知，一般来说主要考利用介质性定理和积分中值定理 来构造区间。 下面以２００３年的研究生入学考试题为例来说明怎样利 用介值定理来构造适当的区问： 例５设ｆ（ｘ）在［０，３］上连续，在（０，３）上可导，又 厂（Ｏ）＋，（１）＋厂（２）＝３，ｆ（３）＝１，证明：存在一点 ∈（０，３）， 使得，，（ ）＝０． 分析：同例１一样首先可以确定的是证明此题要用到罗 尔定理（微分中值定理），并且易知所需构造的函数就为 ｆ（ｘ）。但是关键问题是对于ｆ（ｘ）在那个区间运用罗尔定理， 由题设知我们关键是要构造一个区间使得厂（ ）在两个端点 处的函数值相等，因为ｆ（３）＝１所以我们只需再找一个点的 函数值等于１即可，这就不禁让人想到了介质性定理。 证由题设可知，设ｆ（ｘ）在［０，２】上连续，所以 ｍ≤ｆ（ｘ）≤Ｍ，ｍ，Ｍ分别是ｆ（ｘ）的最大值和最小值，于是 ｍ≤，（Ｏ）≤Ｍ，ｍ≤ｆ（１）≤Ｍ，ｍ≤，（２）≤Ｍ 则有 、 ３ｍ≤，（Ｏ）十，（１）＋，（２）≤３Ｍ ＝＝＞ ≤ ！ ２± ２± ！ ≤ ｊ 由介值定理可知，存在一点 ∈［Ｏ，２］，使得ｆ（ｕ）＝ ±４ ：１，又因为，（３）：１，所以，（ｘ）在［叩，３］上 满足罗尔定理，故存在一点 ∈（ｒ／，３） （０，３），使得， （ ）＝０． 下面我们用例６来阐述怎样用积分中值定理来构造合 适的区间： 例６设ｆ（ｘ）在［Ｏ，１】上连续，在（Ｏ，１）上可导，且满足 厂（０）＝３ ，（ ） ，求证：存在 ∈（ｏ，１）使得， ）＝０． ３ 分析：要点是构造区间［Ｏ，Ｃ】，其中 ￣ｆ（３ ｘ）ｄｘ＝｛，（Ｊ ｃ）普≤ｃ≤１． 证明 由积分中值定理可知厂（０）＝３ ，（ｘ） ＝ ３ ３（１一等）厂（ｃ），其中ｃ∈［等，ｌ】又因为，（ ）在【ｏ，１】上连续，在 （０，１）上可导，所以在【Ｏ，Ｃ】上应用罗尔定理可得，存在 ∈（０，ｃ）ｃ（Ｏ，１）使得， ）＝０． 注：对于利用积分中值定理来构造区间时候上例采用的 是闭区间，但是为了方便起见，建议积分中值定理均用开区 间，即ｆ（ｘ）在【口，ｂ］上连续，则至少存在一个ＣＥ（口，ｂ），使 得Ｓ：ｆ（ｘ）ｄｘ＝ （ｃ）．（ｂ－ａ）（此结论也是正确具体参见［１】）。 下面例７就可以很好的说明这一点： 例７设ｆ（ｘ）在【０，１］上连续，在（Ｏ，１）上可导，且满足 －厂（１）＝３Ｌ￣ｆ（ｘ）ｄｘ，求证：存在 ∈（０，１）使得厂 （ ）＝０． 分析：如果此题在利用积分中值定理构造函数区间是采 用闭区间的形式就肯能出现两个区间端点重合的情况，即出 现［１，１】这样的区间；如果我们积分中值定理采用开区间的形 式就能保证按上例方式选择出来的Ｃ使得构造出来的两个 区间［０，ｃ］和［ｃ，１】的端点不重叠。 微分中值定理给出的只是函数与一阶导数的关系，对于 高阶导数与函数直接的关系问题常需要多次使用微分中值 定理才能解决。下面用２００７年的研究生入学考试数学试题 来阐述这一点： 例８设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在 ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内具 有二阶导数且存在相等的最大值，且满足ｆ（ａ）＝ｇ（ａ）， ｆ（ｂ）＝ｇ（ｂ）．证明：存在 ∈（ａ，ｂ），使得厂 （ ）＝ｇ （ ）． 分析：按照前面的方法易知此题的考点是微分中值定理 并且可以类似的构造出合理的函数和合理的区间，但是我们 所要证明的结论是含有二阶导数，因此可以考虑用两次微分 中值定理。 证：令Ｆ（ｘ）＝厂（ ）一ｇ（ｘ），则Ｆ（ｘ）在【口，ｂ］上连续，在 （ ｂ）内具有二阶导数且Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ）＝０． （１）若ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在同一点ｃ∈（ｎ，ｂ）取最大值，则 ｆ（ｃ）＝ｇ（ｃ）即Ｖ（ｃ）＝０。由罗尔定理可知，存在备∈（ａ，ｃ）， ∈（ｃ，ｂ），使得Ｆ （备）＝Ｆ （ ）＝０．再次利用罗尔定理可知， 存在 ∈（备， ）ｃ（ａｍｂ）使得Ｆ （ ）＝０，即， （ ）＝ｇ （ ）． （２）若ｆ（ｘ），ｇ（ ）在（ｎ，ｂ）内的不同点Ｃ－＝Ｃｚ取最大 值，则ｆ（ｃ１）＝ｇ（ｃ２）＝Ｍ，于是Ｆ（ｃ１）：ｆ（Ｃ１）－ｇ（Ｃ１）＞０， Ｆ（ｃ２）＝ｆ（ｃ２）一ｇ（ｃ２）＜０，由零点定理可知，存在Ｃ３∈（ｅｌ，Ｃ２）， 使得Ｆ（ｃ３）＝０． 由罗尔定理可知，存在卣∈（ａ，ｃ３）， ∈（６＇３ ｂ），使得 Ｆ （备）＝Ｆ （ ）＝０．在（备， ）上再次应用罗尔定理可得，存 在 ∈（备， ）ｃ ，ｂ），使得Ｆ ）＝０，即＿厂 （ ）＝ｇ （ ）． ３．３微分中值定理在考试试题中的综合应用 下面以２０１２年的研究生入学考试题为例，针对微分中值 定理在考研试题中应用的一些难点，如：方法的选择、函数的 构造、区间的构造以及多次重复使用微分中值定理等做一个系 统的总结，为以后的考研学子提供一种方法上的参考： 例９设ｆ（ｘ）在【Ｏ，３］上连续，在（０，３）内二阶可导，且 ２ｆ（０）＝￣ｏｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（２）＋，（３）． （１）证明： 叩∈（Ｏ，２）使得ｆ（Ｏ）＝ｆ（ｒ１）； （２）证明： ∈（Ｏ，３）使得＿厂 （ ）＝０． 分析：１．方法的选择：因为题设中出现了“信息因子” 且结论是证明含有导数的等式，所以可以考虑用微分中值定 理来解决此题； ２．辅助函数的构造：因为题设中出现了积分符号，所以 可以考虑原函数法（参见文献【６】）直接得到辅助函数 Ｆ（ ）＝ ｆ（ｔ）ｄｔ； ３．辅助函数区间的构造：因为２ｆ（０）＝，（２）＋，（３）成立， 可以考虑用介质性定理来构造区间； ４．结论２是证明关于二阶导数的等式，因此可能要两次 使用微分中值定理。 解（１）由于＿厂（ ）在【ｏ，３】上连续，可知Ｆ（ ）＝Ｓｏｆ（ｔ）ｄｔ 在［０，３］上连续，在（０，３）上可导．则由拉格朗日中值定理可 得 ∈（ｏ，２）使得２Ｆ ）＝Ｆ（２）一Ｆ（ｏ），也即２ｆ（ｔ１）＝￣：ｆ（ｘ）ｃｂｃ， 代入原等式可得ｆ（Ｏ）＝ｆ（ｒ１）． （２）设ｍ，Ｍ分别为ｆ（ｘ）在【２，３］上的最大值和最小值， 易知 ≤ ≤ ，则由闭区间上连续函数的介质定 Ｚ 理可知３ ∈（２，３）使得ｆ（ｒｈ）：丛 代入２ｆ（０）： ，（ ） ＝，（２）＋／（３）可得／（ｏ）＝ｆ（ｒ／）＝ｆ（ｒｈ）．在区间［０， 】 上应用罗尔定理可得ｊ备∈（０， ）使得， （卣）＝０；再在区间 【ｒ／，ｒ／１］上应用罗尔定理可知，ｊ ∈（ ）使得厂 （ ）＝０； 最后再在区间噶， 】对厂 （ｘ）运用罗尔定理可知， ｊ ∈（右， ） （０，３）使得厂 （ ）＝０． ４总结 从上面的例子可以看出，与微分中值定理有关的考研试 题都有一定的难度，但是通过构造合适的辅助函数、构造合 适的区间，问题便可迎刃而解。除了上述讨论的微分中值定 理的考点外，当然还有其他的一些考法，我们不可能做到面 面俱到，本文主要从方法的选择、辅助函数的构造以及函数 区间的构造三个方面来浅析微分中值定理在考研试题中的 应用，希望能给考研学子提供一些方法上的参考。 【参考文献】 ［１］华东师范大学数学系．数学分析【Ｍ】．北京：高等教 育出版社，２００１． ［２］毛纲源．最新考研数学（三）常考题型解题方法 技巧归纳［Ｍ１．武汉：华中科技大学出版社，２００８． ［３］武忠祥，吴运江，魏战线．２０１２版数学考研历年真 题分类解析（数学三）『Ｍ１．成都：西南交通大学出版社，２０１１． ［４］陈文灯．考研数学核心题型【Ｍ】．北京：北京航天 航空大学出版社，２０１１． ［５］陈华．微分中值定理应用中辅助函数的构造方法卟 西昌学院学报，２００９（４）：３１—３３． ［６］唐帅，王志华．微分中值定理证明题中辅助函数 的构造方法卟邵阳学院学报，２００９（６）：２６—２９． ［７］党艳霞．浅谈微分中值定理及其应用卟廊坊师范 学院学报，２０１０（１０）：２８－３０． ［８］程海来．一道考研试题的探￣－＇］－ｌＪ１．高等数学研究， ２０１１（３）：５５—５７．