高三第一轮复习 抛物线的定义及几何性质

第100课时 抛物线的定义及几何性质

【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号） 主干知识归纳 1．抛物线的定义

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． (2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质 (1）图形与方程

图形 标准方程 （2）性质 顶点 对称轴 性质 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 px＝－ 2px＝ 2pF，0 2y＝0 pF－，0 2O(0,0) x＝0 pF0， 2pF0，－ 2y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 e＝1 py＝－ 2py＝ 2x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 向右 向左 向上 向下 (3)抛物线与过焦点的直线的有关性质： p2（1）x1x2；（2）y1y2p2； 4p2p（3）|AB|x1x2p2(x3)2； 2sin（4）以AB为直径的原与准线L相切； （5）AC/B900； （6）A/FB/900；

（7）A、O、B/三点共线；（8）B、O、A/三点共线； （9）112；（10）S|AF||BF|P方法规律总结

1. 抛物线的定义是抛物线问题的本质，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．

2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

3.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．

【指点迷津】

【类型一】抛物线的定义及其应用

【例1】：已知点A(3，4)，F是抛物线y2＝8x的焦点，M是抛物线上的动点，当|AM|＋|MF|最小时，M点坐标是( )

A．(0，0) B．(3，26) C．(2，4) D．(3，－26)

【解析】：由题知点A在抛物线内．设M到准线的距离为|MK|，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MK|，当|MA|＋|MK|最小时，M点坐标是(2，4)． 答案：C.

【例2】：已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝( )．

ABO p2等等。 2sin A．2∶5 B．1∶2 C．1∶5 D．1∶3

【解析】：如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.

由△MHN∽△FOA，则

|MH||OF|1

＝＝， |HN||OA|2

则|MH|∶|MN|＝1∶5，即|MF|∶|MN|＝1∶5. 答案：C.

【例3】：已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|＞4时，|PA|＋|PM|的最小值是________． 【解析】：将x＝4代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±4，|a|＞4，所以A在抛物线的外部，由题意知F(1,0)，则抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为|PN|，由定义知，|PA|＋|PM|

＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1.当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取最小值，此时

|PA|＋|PM|也最小，最小值为|AF|－1＝9＋a2－1. 答案：9＋a2－1.

【类型二】抛物线的标准方程

【例1】：如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上，那么抛物线的方程是( )

A．y2＝－16x

B．y2＝12x C．y2＝16x

D．y2＝－12x

【解析】：由题设知直线3x－4y－12＝0与x轴的交点(4，0)即为抛物线的焦点，故其方程为y2＝16x. 答案：C．

11【例2】：已知圆x2＋y2＋mx－＝0与抛物线y＝x2的准线相切，则m＝

44

( )． A．±22

B.3 C.2 D．±3

【解析】：抛物线的标准方程为x2＝4y，所以准线为y＝－1.圆的标准方程为

m22m2＋1m2＋1m

x＋＋y＝，所以圆心为－，0，半径为.所以圆心到直线的距

2422

离为1，即答案：D.

m2＋12

＝1，解得m＝±3.

【例3】：如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )．

A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝3x 【解析】：如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1， 由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，

∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1113为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，∴

222抛物线方程为y2＝3x. 答案：C.

【类型三】抛物线的几何性质

【例1】：已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，

l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )

A．18 B．24 C．36 D．48

【解析】：设抛物线方程为y＝2px，当x＝时，y2＝p2， 2|AB|12

∴|y|＝p.∴p＝＝＝6，又点P到AB的距离始终为6，

221

∴S△ABP＝×12×6＝36.故选C.

2答案：C.

【例2】：已知抛物线y＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，

45抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝2|AF|，则A点的横坐标为( )．

2

2

px2y2

A．22 B．3 C．23 D．4

pp

【解析】：抛物线的焦点为，0，准线为x＝－.双曲线的右焦点为(3,0)，所

22以＝3，即p＝6，即y2＝12x.过A做准线的垂线，垂足为M，则|AK|＝2|AF|

2

＝2|AM|，即|KM|＝|AM|，设A(x，y)，则y＝x＋3，代入y2＝12x，解得x＝3. 答案：B.

【例3】：过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.

3【解析】：法一 由＋＝.得|BF|＝.

|AF||BF|p2|AF|＝p＋|AF|cos θ，

法二 设∠BFO＝θ，则

|BF|＝p－|BF|cos θ，13＝，∴|BF|＝. 323答案：.

2

【同步训练】

【一级目标】基础巩固组 一、选择题

1．抛物线y＝4x的焦点到双曲线x－＝1的渐近线的距离是( )．

313

A. B. C．1 D.3 22

【解析】：抛物线y＝4x的焦点F(1,0)，双曲线x－＝1的渐近线方程是y＝

3±3x，即3x±y＝0，故所求距离为答案：B.

2．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p的值为( )．

|3±0|3

2

2

2

2

2

p112

由|AF|＝3，p＝2，得cos θ

y2

y2

＋

＝2

3

. 2

1

A．1 B．2 C. D．4

2

【解析】：圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准p

线的距离为3－－＝4，解得p＝2.

2答案：B.

3．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )． A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2 D．y＝【解析】：分两类a>0，a<0可得y＝答案：D.

4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )

1

A. B．1 C．2 D．4 2

【解析】：由题知抛物线的准线为x＝－，圆心为(3，0)、半径为4，由准线与

2圆相切得圆心到准线的距离d＝3＋＝4，解得p＝2.

2答案：C.

121x，y＝－x2. 1236

121

x或y＝－x2 1236

ppx2y2

5．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线

ab分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝( )． 3

A．1 B. C．2 D．3

2

【解析】：由已知得双曲线离心率e＝＝2，得c2＝4a2，∴b2＝c2－a2＝3a2，即

cabb＝3a.又双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±3x，抛物线的准线方程为x＝－

ap3p3p

，于是|AB|＝3p.由△AOB的面积，所以不妨令A－，p，B－，－

22222

p1p2

为3可得·3p·＝3，所以p＝4，解得p＝2或p＝－2(舍去)．

22答案：C. 二、填空题

6．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．

【解析】：由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点

P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y. 答案：x2＝12y.

7．已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x0＝________.

【解析】：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1. 根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3. 答案：3.

8．抛物线x＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两

33点，若△ABF为等边三角形，则p＝________. 【解析】：如图，在等边三角形ABF中，DF＝p，BD＝

3p， 3

2

x2y2

12p2p343p∴B点坐标为p，－.又点B在双曲线上，故－＝1.解得p＝6.

3323答案：6. 三、解答题

9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．

【解析】：法一：根据已知条件，抛物线方程可设为y2＝－2px(p＞0)，则焦点p

F－，0. 2



∵点M(－3，m)在抛物线上，且|MF|＝5，故



p＝4，解得

m＝26

m2＝6p，

p

－3＋2＋m2＝5，

2

p＝4，

或

m＝－26.

∴抛物线方程为y2＝－8x，m＝±26.

法二：设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则准线方程为x＝，由抛物线定义，M2点到焦点的距离等于M点到准线的距离，所以有－(－3)＝5，∴p＝4.∴所求

2又∵点M(－3，m)在抛物线上，故m2＝(－8)×(－3)，∴抛物线方程为y2＝－8x，

ppm＝±26.

答案：抛物线方程为y2＝－8x，m＝±26.

10.已知倾斜角为θ的直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A、B两点，求证：

2pp2

(1)|AB|＝； (2)S△AOB＝； (3)以AB为直径的圆与抛物线

sin2θ2sinθ的准线相切．

p

【解析】:(1)由抛物线的定义知|AF|等于点A到准线x＝－的距离，所以|AF|

2p＝x1＋. 2

p

同理，|BF|＝x2＋.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p①

2p1p

又设焦点弦的方程为y＝k(x－)(k≠0)，所以x＝y＋，

2k21

故x1＋x2＝(y1＋y2)＋p.

ky2－

2p2p2p

y－p2＝0，y1＋y2＝.所以x1＋x2＝2＋p② kkk

2p112p

2＋2p＝2p(1＋2)＝2p(1＋2)＝

kktanθsin2θ

将②代入①得：|AB|＝

11

(2)如图，S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝|OF|·|AF|·sin(π－θ)＋|OF|·|BF|·sinθ

22

111p2p＝|OF|·sinθ(|AF|＋|BF|)＝|OF|·|AB|·sinθ＝···sinθ＝2222sin2θp2

. 2sinθ

(3)设线段AB的中点为M，分别过A、M、B作准线的垂线，垂足为C、N、D，

111

则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.

222所以以AB为直径的圆与准线相切． 答案:略.

【二级目标】能力提升题组 一、选择题

x2y2

1．已知双曲线C1：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)

ab的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )．

A．x2＝

83163

y B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y 33

x2y2cc2a2＋b2b【解析】：∵2－2＝1的离心率为2，∴＝2，即2＝2＝4，∴＝3.

abaaaapxyb

0，x＝2py的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±3x.2a2b2a

2

2

2

p由题意，得答案：D.

2．(2014·洛阳统考)已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )．

A.3 B.5 C．2 D.5－1

【解析】：由题，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故

21＋

3

2＝2，∴p＝8.故C2：x＝16y，选D. 2

d＋|PF|的最小值为

|23|2(1)22＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.

答案：D. 二、填空题

3．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，

43

x2y2

P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.

【解析】:抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为直线AF的倾斜角为120°，所以tan 120°＝

yA－1－1

，所以yA＝23.因为PA⊥l，所以yP＝yA＝23，代入y2＝4x，得xA＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4. 答案：4. 三、解答题

4. 如图,抛物线C1:x24y,C2:x22pyp0,点Mx0,y0在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点

1O时,A,B重合于O)x012,切线MA.的斜率为-.

2(I)求p的值;

(II)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程.A,B重合于O时,中点为O.

【解析】：(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=线MA的斜率为-y=-11(x+1)+ . 24x,且切2图42-1-6 11,所以A点坐标为（-1，）.故切线MA的方程为24因为点y0=-M(1-2y0)在切线MA及抛物线C2上,于是11(2-2)+=-322, ① 2442)22py0=-(1=-322. ② 由①②得p=2. 2px12x22xx(2)设N(x,y),A（x1，）,B（x2，）,x1≠x2,由N为线段AB中点知x=12442 ③,

x12x22x12x1y= ④. 切线MA,MB的方程为y=(x-x1)+

84 2x22x2⑤, y=(x-x2)+⑥. 4 2由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0=2x1x2xx,y0=12. 24x12x22因为点M(x0,y0)在C2上,即x0=-4y0,所以x1x2=-⑦. 6 由③④⑦得 x2=足x2=4y. 34y,x≠0.当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满3因此AB中点N的轨迹方程为x2=4y. 34y. 3答案：(1) p=2. (2) N的轨迹方程为x2=

【高考链接】

1.（2010年全国Ⅱ卷理15文15）已知抛物线C:y22px(p＞0)的准线为l，过与C的一个交点为B．若AMMB，M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，则p ．

【解析】：过B作BE垂直于准线l于E，∵AMMB，∴M为中点，

1AB，又斜率为3，BAE300， 21∴BEAB，∴BMBE，

2∴BM∴M为抛物线的焦点，∴p2. 答案:2.

2.（2009年广东理科第19题）已知曲线C:yx2与直线l:xy20交于两点

A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xAxB．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段

AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与

点A和点B均不重合．

（１）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；

51试求a的最小值． 0与点D有公共点，

2515【解析】：（1）联立yx2与yx2得xA1,xB2，则AB中点Q(,)，

22（２）若曲线G:x22axy24ya2设线段PQ的中点M坐标为(x,y)，则

y15st15，即s2x,t2y，又点P在x2,y222225111曲线C上，∴2y(2x)2化简可得yx2x，

228又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，则

xxoD x111152，即x，∴中点M的轨迹方程为yx2x8244（1x5）.

4451（2）曲线G:x22axy24ya20，

25749即圆E：(xa)2(y2)2，其圆心坐标为E(a,2)，半径r

52551由图可知，当0a2时，曲线G:x22axy24ya20与点D有公

2512x共点；

当a0时，要使曲线G:x22axy24ya2圆心E到直线l:xy20的距离d的最小值为725510与点D有公共点，只需25|a22|2|a|27，得72a0，则a55.

11（1x5）. （2） a的最小844答案: （1） M的轨迹方程为yx2x值为725.

3.（2013年福建数学（理））如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为

A1,A2,....A9和B1,B2,....B9,连结OBi,过Ai做x轴的垂线与OBi交于点

Pi(iN*,1i9).

(1)求证:点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程; (2)过点C做直线与抛物线E交于不同的两点M,N,若OCM与OCN的面积比为4:1,求直线的方程.

【解析】：(Ⅰ)依题意,过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线方程为xi

Bi(10,i),直线OBi的方程为yix 10xi12yx,即x210y, 设Pi坐标为(x,y),由得:i10yx10Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线E方程为x210y

(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为ykx10

ykx10由2得x210kx1000 [来源:学*科*网] x10y此时100k2+4000,直线与抛物线E恒有两个不同的交点M,N

x1x210k设:M(x1,y1)N(x2,y2),则

xx10012SOCM4SOCNx14x2 又

3ykx10,解得k x1x20,x14x2 分别代入22x10y3直线的方程为yx+10,即3x2y200或3x+2y200 .

2答案: (Ⅰ) 抛物线E方程为x210y;

(Ⅱ) 直线的方程为3x2y200或3x+2y200 .