计算方法第3章_数据近似

已知函数关系yf(x)的数据点：(xi,yi)i1,,m，求一个适当的函数p(x)，它是已知函数族gk(x),k1,,n——gk(x)称为基函数——的线性组合，即：寻求系数1,2,,n，使

p(x)1g1(x)2g2(x)ngn(x)与f(x)按某种标准相近似；通常按下述标准之一，使之取得极小：

E1p(xi)yii1n(3.1)，

E2Ei1,,m(p(x)y) maxp(x)y2iii1iim若取向量形式：P(p(x1),p(x2),,p(xm))T, Y(y1,y2,,ym)T,则上述三数分别为：

E1PY1,E2PY

2,EPY；

3.1 多项式插值

一般，若有n1个数据点(xi,yi),i0,1,,n，上述近似标准要求

p(xi)yi,i0,1,,n(3.2)

即：E1E2E0，则称近似函数p(x)为满足插值条件(3.2)的插值函数，而点(xi,yi),i0,1,,n称为插值节点。若满足插值条件(3.2)的函数p(x)的基函数取 gk(x)xk,k0,1,2，则p(x)是多项式

p(x)01xnxn称满足插值条件(3.2) 的多项式p(x)为插值多项式。

代数学基本定理：n次多项式有且仅有n个根（包括重根） 3.1.1 插值多项式

(3.3)

根据插值条件(3.2)，可形成有n1个未知量(0,1,,n)的n1个方程： p(xi)01xinxikyi时，该方程组的解存在且唯一。因此有

定理3.1：对数据点(xi,yi)i0,1,,m,xixj,ij，存在满足条件(3.3)的唯一的插值多项式；

1

i0,1,,n，

这个方程组的系数矩阵称为Verdermonde矩阵，由其性质可知，当xixj,ij

强调：插值多项式唯一 —— 形式可以不同 3.1.2 Lagrange(形式)插值多项式 由两点直线方程谈起，yxx0xx1y0y1； x0x1x1x00,若有不超过n次的多项式li(x)： li(xj)ij1,ij ，可形成如下表： ij x0 1 0 „ 0 „ 0 x1 0 1 „ 0 „ 0 0 „ „ „ „ „ „ „ „ 0 0 „ 1 0 xi 0 0 „ „ „ „ „ „ „ „ „ 0 0 xn 0 0 l0(x) l0(x)y0 l1(x) l1(x)y1 „ „ y0 0 „ 0 „ 0 y1 „ 0 „ 0 „ „ 0 0 li(x) li(x)yi „ „ yi 0 „ „ 1 ln(x) ln(x)yn yn yn l(x)yii y0 y1 yi li(x)称为Lagrange基本插值多项式，显然它有n个根：x0,,xi1,xi1,,xn；由于n次多项式有且仅有n个根，因此

li(x)i(xx0)(xx1)(xxi1)(xxi1)(xxn)

注意到 li(xi)1，可知：

li(x)(xx0)(xxi1)(xxi1)(xxn)；

(xix0)(xixi1)(xixi1)(xixn)n若记 (x)xxixx0xx1xxn

i0便有 li(x)xxxixini0;(3.4)

不难证明 L(x)li(x)yi为所求的插值多项式，它被称为Lagrange（形式）插值多项式。

缺点：增加插值节点后，Lagrange插值多项式发生大变化。 举例，

3.5

2

3.1.3 Newton(形式)插值多项式 定义：差商

y[x1]y[x0] ；

x1x0y[x0,x2]y[x0,x1]二阶差商：y[x0,x1,x2] ；

x2x1一阶差商：y[x0,x1]

y[x0,x1,,xn2,xn]y[x0,x1,,xn2,xn1]n阶差商：y[x0,x1,,xn] ；

xnxn1考虑逐次增加插值节点后，插值多项式的变化：记满足插值条件Lk(xi)yi

(i0,1,,k)的（不超过）k次插值多项式为Lk(x)，并记Lk(x)Lk1(x)Qk(x)，

即Qk(x)Lk(x)Lk1(x)(Q0(x)L0(x)y0)，注意：Qk(x)是k次多项式；由

Lk(xi)yi,i0,1,,k1,k, i0,1,,k1,

Lk1(xi)yi,故有 Qk(xi)0,i0,1,,k1；由于k次多项式Qk(x)有且仅有k个根，因此

Qk(x)k(xx0)(xx1)(xxk1)；

确定系数k：

L1(x)L0(x)Q1(x),1y1y0y[x0,x1],x1x0L0(x)y0L1(x1)L0(x1)Q1(x1)y01(x1x0)y1,L1(x)y0y[x0,x1](xx0),类似L2(x2)L1(x2)Q2(x2)y0y[x0,x1](x2x0)2(x2x0)(x2x1)y2,2y[x0,x2]y[x0,x1]y[x0,x1,x2],x2x1同

L2(x)y0y[x0,x1](xx0)y[x0,x1,x2](xx0)(xx1),样的方法可得：

Qk(x)y[x0,x1,,xk](xx0)(xx1)(xxk1) 由此形成的插值多项式称作Newton插值多项式，记作：

N(x)y0y[x0,x1](xx0)y[x0,x1,x2](xx0)(xx1)y[x0,x1,,xn](xx0)(xx1)(xxn1)差商-性质1、对称性：对0,1,,n的任意排列i0,i1,,in，有 y[x0,x1,,xn]y[xi0,xi1,,xin];(3.6)

3.7

证明：前方法的Newton插值多项式的导出过程是：从仅满足一个插值条件

3

(x0,y0)的插值多项式L0(x)y0开始，逐步增加插值条件(x1,y1),(x2,y2)，直到最后的(xn,yn)，形成的N(x)，它的n次项的系数就是y[x0,x1,,xn]；同样，若从仅满足一个插值条件(xi0,yi0)的插值多项式L0(x)yi0开始，逐步增加插值条件

(xi1,yi1),(xi2,yi2)，直到最后的(xin,yin)，形成的N(x)的最高次（n次）项的系数就必定是y[xi0,xi1,,xin]。由插值多项式的唯一性可知，这两个插值多项式是同一的，从而它们的n次项的系数也是同一的，由此便得结论。

差商-性质2、设y(x)有直到n阶导数，则

1y[x0,x1,,xn]y(n)(),[minxi,maxxi]iin!证明：设x0,x1,,xn1,xn为插值节点，则对应的Newton插值多项式

3.8

N(x)y0y[x0,x1](xx0)y[x0,x1,,xn](xx0)(xx1)(xxn1)，

令R(x)y(x)N(x)，显然，它有n1个零点：x0,x1,,xn1,xn；由Roll定理可知R(x)有n个零点，同理可知R(x)有n-1个零点，依此不难推出R(n)(x)在

[minx1,maxxi]中至少有一个零点，记为，即：R(n)()y(n)()N(n)()0，

ii而N(n)()n!y[x0,x1,,xn]，由此得结论。

例：多项式p(x)k0kxknp[x0,x1,,xn]n，且与点的选择无关；

例：设p(x)x3qx2rxs,ifp[0,1,t]1,thenp[1,2,t]?

3.1.4 带导数的插值多项式

若y(x)在点x可导，利用差商和导数的定义，有

y(xx)y(x)y(x)limlimy[x,x]y[x,x]，

x0x0x类似，可得到

y(k)(x)k!y[x,x,,x]；

上述结论也可以从差商性质2推出；例如，当n1时x1x0可获得上述第一个结论，当 nk时 xix0(i1,2,,k) 可得到后一个结论。

说明：由此可知，Newton插值多项式是Taylor展开式的推广 例：求满足下述插值条件的插值多项式，

x1012y(x)2112 y(x)1解：建立差商表：

4

xy[x]y[,]1121y[,,]011y[,,,]1y[,,,,]120101211222345

12由此可写出插值多项式

N(x)2(x1)15(x1)x2(x1)x2(x1) ； 212注：利用Newton插值多项式，重节点差商公式，以及差商性质2，容易看到：Taylor展开式实质上是当x0x1xn时的Newton插值多项式。

3.1.5 插值公式的余项

若将以x0,x1,,xn1,xn为插值节点插值多项式

Nn(x)y0y[x0,x1](xx0)y[x0,x1,,xn](xx0)(xx1)(xxn1)，

再增加一个插值节点t，得插值多项式

Nn1(x)Nn(x)y[x0,x1,,xn,t](xx0)(xx1)(xxn1)(xxn)，由

插值性质，有

y(t)Nn1(t)Nn(t)y[x0,x1,,xn,t](tx0)(tx1)(txn1)(txn)， 据此，并由所取 t的任意性，可将t改作x，便得插值公式的余项公式：

R(x)y(x)Nn(x)y[x0,x1,,xn,x](xx0)(xx1)(xxn1)(xxn)(3.9)利用差商性质2，及符号(x)，又可以有余项的另一种表达形式

y(n1)() R(x)(x)(n1)!Runge现象：

Mn1y(n1)()E(p)Maxy(x)p(x)Max(x)Max(x)xx(n1)!(n1)!x



(3.10)

whereMn1Maxy(n1)(x)x[a,b]问题：nE(p)0?

答1：若y(n1)(x)有界，Max(x)有界， 则可。

x例：y(x)cosx，显然 Mn11，取区间[0,2]，插值点等距分布：n等分 区间，步长 h2n，节点 xii2n,i0,1,2,

5

x[xj1,xj]:(xxj1)(xxj)h4xxi2hij2,j1xxi(21)hx2

ij3,j2逐步向外扩充，比较：使Max(x) 最小：x是区间[0,2]中点，等分区间

h2n2k1等分，则 (x)(2h)2(3h)2(4h)2(kh)2

4h2(2h)(3h)(4h)(nh) 而当x[x0,x1]或x[xn1,xn]，则 (x)4n!n1hn1所以，Max(x)h， 从而 E(p)0(n)

x44(n1)若插值点非等距分布，例如

xi1(2i1) ab(ba)cos22n1可证明：max(x)2(ban)，因此当 ba4 时，max(x)(n) 4M另一方面，即使 (x) 有界，当 n1 无界时，仍可能E(p)无界。

(n1)!2(k)k(k2)例：y(x)x,y(x)(1)(k1)!x，

y(n1)()n1(n3)(1)(n2)x (n1)!显然，当x1,nE(p)．

经典的例子：Runge函数y(x)节点xi12i；（参考后图） n注意：通常插值公式用到n6.

1,区间：1x1，区间等分n份，

125x2附表：n20的Runge函数插值多项式值

x L20(x) 0.84 2.6744 0.97 0.86 4.0691 0.973 0.88 0.90 0.92 0.95 0.96 -50.84 0.978 -58.2381 3.9451 0.0471 0.974 -10.3345 -39.9524 0.975 0.976 x L20(x) -58.47 解决方案：

-59.5704 -59.7279 -59.7819 -59.72 1) 分段多项式插值——减小n，低阶导数y(n)可估计、有界；同时保持小区间。 2) 其他插值方法，例如用其他基函数插值等；

3) 最小二乘近似——逼近点多，近似函数低阶（放弃插值）； 4) 其他逼近方法。

6

Runge

函数及插值的图形

3.2

分段插值

7

分段三次多项式插值——样条插值

区间[a,b] 上的节点：ax0x1xn1xnb

x0xx1s1(x)s(x)x1xx22要求：分段三次多项式S(x) ，

xn1xx1nsn(x)在节点处插值：S(xi)y(xi)i0,1,,n，

i1,2,,n1

si(xi)si1(xi)在内节点处连续：si(xi)si1(xi)s(x)s(x)i1iiixixxxi1Mi1Mihihi思路：由 S(x)连续 预设S(xi)Mi, si(x)为一次多项式：故

si(x)xi1xxii1,2,,n

积分2次si(x)积分常数（2个） 由插值条件 确定 积分常数  得

si(x)（含预设的Mi） 利用S(x)连续：si(xi)si1(xi)  确定Mi的

n1个方程 + 2边界条件 确定Mi加入si(x)的表达式，形成S(x)

xixxxi1Mi1Mi 1、 区间 [xi1,xi] 中，设 si(x)hihi2、求si(x)表达式：对 si(x) 积分2次：

(xix)3(xxi1)3si(x)Mi1Mi(x)

6hi6hixixxxi1c2 其中：(x)c1 hihi由插值条件si(xi1)yi1,si(xi)yi得

(xix)3(xxi1)3hi2(xix)si(x)Mi1Mi(yi1Mi1)6hi6hi6hi(xxi1)(yiMi)6hi3、求导，要求导数连续：

hi2

x[xi1,xi]i1,2,n(xix)2(xxi1)2yiyi1MiMi1sMihii(x)Mi12hi2hihi6

8

(xi1x)2(xxi)2yi1yiMi1MisMi1hi1 i1(x)Mi2hi12hi1hi16有 si(xi)hihMi1iMiy[xi1,xi] 63hi1hi1MiMi1y[xi,xi1] 36根据导数连续： si(xi)si1(xi) ，则

si1(xi)hihhi1hMi1iMii1Mi1y[xi,xi1]y[xi1,xi] 636y[xi,xi1]y[xi1,xi]由 y[xi1,xi,xi1]

hihi1hihi1,i1i并记 i

hihi1hihi1可得共n1个方程：

iMi12MiiMi16y[xi1,xi,xi1]方程，尚缺2个方程；需 边界条件： a) b)

i1,2,,n1.

4、完成 si(x)i1,2,n, 需 M0,M1,,Mn共n1个，确定之应有n1个

自然样条（简支）：S(x0)S(xn)0，即 M0Mn0

(x0)y0,s,yn(刚支）给定y0：令s1n(xn)yn,由s(x)表达式： h1h1M0M1y[x0,x1]y036

6)6y[x0,x0,x1]2M0M1(y[x0,x1]y0h1hnhnMn1Mny[xn1,xn]yn63

6Mn12Mn(y[xn1,xn]yn)6y[xn1,xn,xn]hn形成2个新的分别关于M0,M1和Mn1,Mn的方程：

2M0M16y[x0,x0,x1]

Mn12Mn6y[xn1,xn,xn]

c) 无其他导数条件：

由x0,x1,x2,x3确定（三次）插值多项式C0(x)

9

由xn3,xn2,xn1,xn确定（三次）插值多项式Cn(x)

C0(x)的x3的系数：y[x0,x1,x2,x3]，

Cn(x)的x3的系数是y[xn3,xn2,xn1,xn]，

(x0)6y[x0,x1,x2,x3] 令：S(x0)C0(xn)6y[xn3,xn2,xn1,xn] S(xn)Cnxixxxi1Mi1Mixi1xxi hihi11(x0)(M0M1)s(x)(Mn1Mn) 可知：s1nnh1hn又由原始设定：

si(x)形成方程： 2M02M112h1y[x0,x1,x2,x3]

2Mn12Mn12hny[xn3,xn2,xn1,xn]

综上，形成如下形式的(n1)元方程组：

21021n1M0d0M1d1 2n1Mn1dn1n2Mndnd) 周期样条： y(x)是周期函数，此时 h0hn,y0yn,M0Mn 对方程：1M02M11M26y[x0,x1,x2]及 nMn12MnnMn16y[xn1,xn,xn1]对下标做适当调整：0n,1n1，形成：

22n其中：n122n1M2d2 2n1Mn1dn1n2Mndn1M1d1hn6,n1n,dn(y[x0,x1]y[xn1,xn])；

hnh1hnh1 10

注：第1）2）4）三种情况线性方程组均为严格对角占优矩阵，而3）产生了“不可约对角占优矩阵”（我们在此不再对此进一步讨论），它与严格对角占优矩阵有几乎相同的性质。 计算步骤：

1、 2、

计算：i,i,di

解方程组，取得Mi，形成S(x)

~[x,x]，计算S(x~)s(x~)； 3、对 xi1ii

定理3.5 设 y(x)C2[a,b]，则以 ax0x1xn1xnb 为节点的三次样条S(x)满足

M22y(x)S(x) ，

2其中 M2maxy(x),maxhimaxxixi1。

x[a,b]i1,2,,ni1,2,,n证明：记R(x)y(x)S(x),先在区间[xi1,xi]中考虑，

~[x,x]， 记(x)(xxi1)(xxi)，取 xi1i~0； 令 H(t)R(~x)(t)R(t)(~x) ，则 Hxi1HxiHx由Rolle定理，存在 [xi1,xi] 使H()0。

~)(t)R(t)(x~)2R(x~)(y(t)s(t))(x~)， 注意：HtR(xi~)1ysx~ 因此，由H()0 可知：R(xi2~1h2，所以 又：xi412~~~。 R(x)y(x)S(x)hiysi8xixxxi1si(x)Mi1Mixi1xxi 由于

hihiMi1,Mi[xi1,xi] 所以 simax进一步有 S(τ)maxMiMi0i0,1,nτ[a,b]

又由

i0Mi012Mi0i0Mi016y[xi01,xi0,xi01]

11

可得 2Mi06y[xi01,xi0,xi01]i0Mi01i0Mi01

6y[xi01,xi0,xi01]Mi0所以 Mi06y[xi01,xi0,xi01]3y(), Sx3y()3M2

x的任意性，有 最后，由~xi01xi01

y(x)S(x)注意:此处用到

1M22 证完 2

i0Mi012Mi0i0Mi016y[xi01,xi0,xi01]隐含i0是内点标号! 若i00（i0n 情况是相同的）：对于

边界条件a）此情况不存在，

边界条件b）此时，2M0M16y[x0,x0,x1] 与前证明完全一样； 边界条件d）此时 x0,xn 扮演相同的角色，也都是内点，不存在问题； 关于边界条件c）问题较难讨论。

3.3 最小二乘法

3.3.1 （线性）最小二乘问题的法方程 已知数据点： (xi,yi),i1,2,,m，

求近似式：p(x)kgk(x)，使函数y(x)与p(x)按以下标准取得极小：

k1n22(p(xi)yi)； i1m1 E2PY2当nm时，该问题称为最小二乘问题，问题的解称为最小二乘解。

通过对以k(k1,2,,n)为参数，以E2为极小化目标函数的计算，可以证明该最小二乘问题的解就是方程组

GTGaGTy的解，此方程组称为最小二乘问题的法方程组，其中

g1(x1)g2(x1)g1(x2)g2(x2)Gg(x)g(x)2m1m

(3.11)

gn(x1)y11gn(x2)y2,a2,Y ；

yngn(xm)m12

对此也可以从另一个角度作一简单的解释。作向量差

g1(x1)g2(x1)gn(x1)y11g1(x2)g2(x2)gn(x2)y2PYGaY2 ；

g(x)g(x)g(x)ny2mnm1mm由方程组理论可知，当方程组的方程个数大于未知量个数时（通常称为超定方程组），方程组一般无解，因此当 nm时，方程组 PyGay0一般无解。但若将此方程组左乘GT，则方程组变成通常的n阶方程组(3.11)，从而可以求解，这个n阶方程组就是法方程组GTGaGTy。

严格证明: 注意到 E2PY2E221(p(xi)yi)2i1m2 关于k(k1,2,,n)的极小与

PY22(p(xi)yi)2 对应极小是完全一样的.因此最小二乘问题的解

i1m应满足方程:

2E2PYkk22m2(p(x)y)ii0k1,2,,n ki1n为解释方便,将p(x)记为 p(x)jgj(x),注意到 k1,2,,n, 有

j12mnmnE22g(x)yg(x)2g(x)g(x)yg(x)jjikiikiiki0 jjiki1i1j1j1交换求和顺序，便形成方程组：

mm jgk(xi)gj(xi)gk(xi)yij1i1i1比较法方程 GTGaGTy 的具体表达式：

g1(xi)g1(xi)g2(xi)g1(xi) g(x)g(x)ni1i(xi)2i2(xi)gn(xi)g2(xi)1i2nk1,2,,n

g(x)gg(x)g(xi)1g1(xi)yig2(xi)yi2in(xi)2 gn(xi)gn(xi)ngn(xi)yi1ing(x)gg(x)g可知：法方程 GTGaGTy的解  最小二乘问题的解。

13

3.3.2 正交化算法

通常法方程组是病态的（Cond(GTG)[Cond(G)]2），因此求解法方程组最好采用正交化方法，这是一个解线性方程组的稳定性非常好的方法。

定义：若矩阵Q满足条件QTQI，即矩阵Q的逆矩阵是它的转置矩阵，则称此矩阵为正交矩阵。

注意，从矩阵乘法规则容易看到，正交矩阵的列是互相正交的，而且它的列的2-范数长度为1。这也是它被称为正交矩阵的原因。

正交矩阵性质1：正交矩阵的乘积仍是正交矩阵。

设Q1,Q2是正交矩阵，则(Q1Q2)T(Q1Q2)Q2Q1Q1Q2I； 正交矩阵性质2： Qx2TTx2 （正交变换——在二、三维空间中旋转变换

——坐标轴夹角总是直角——不改变向量长度）；

Qx2(Qx)T(Qx)xTQTQxxTxx2

引理3.6：对任意非零向量vRn，总存在正交矩阵QL(Rn)，使Qve1，其中v2；

证明：首先，对任意向量u，若u21，容易验证矩阵QI2uuT为正交矩阵。

其次，令Qv(I2uuT)vv2uuTve1 即 u1(ve1)； T2uv注意，向量是由其方向和长度唯一确定的，此向量 u 的方向是ve1 ，而其

ve1长度则为：u21，因此取 u。

ve12验证：(I2uuT)vv(ve1)ve122v2ve1•T22ve1，而

TT(ve1)T(ve1)vTvvTe1e1v2e1e1 TvTe1e1v,2v2222注意到

因此，` ve1vTv,Te1e11

T2(vTve1v)2(ve1)Tv，

这就说明了： (I2uuT)vv(ve1)v，

即，对于给定的向量v，取适当的向量u，形成正交矩阵Q，使之满足引理。

算法：

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g11g21记矩阵Ggm1g12g22gm2g1ng11g2ng21G，针对矩阵的第一列，构造m阶正gmngmig111g210Q，从而有交矩阵Q1,使：1g0mi10 Q1G01g122g22g1m21g1n1g2n, 1gmn~然后针对矩阵Q1G的第二列的后m-1个元素构造m-1阶正交矩阵Q2，使之成为

~~~，再将Qm-1维空间的第一坐标方向向量：Q(g1,g1,,g1)Te扩充

22232m22121为m阶正交矩阵Q2~Q，以此左乘Q1G，就有

2101Q2Q1GQG~1Q0201g122001g132g232g332gm31g1n2g2n2, g3n2gmn照此办理，经过n步如此的正交化过程，就有

10QnQ2Q1GQG001g1220001g1nn1gn1nRn0; 00注意到正交矩阵的乘积仍是正交矩阵的乘积，由此，法方程组可变化为：

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RGGaGQQGa(QG)(QG)aR00a GTY(QG)TQYRT0TQYTTTTTT当G的秩为n，即G的n个列向量线性无关时，k(k1,2,,n)全不为0，对角矩阵R满秩，它必有逆矩阵。因此，由

RTRTTTT0TaRRaR0QYRh1， 0h1nmnT1其中QY，两边左乘,hR,hR(R)，得 2h12Rah1，

解此方程组，便可得所求的a；同时，根据正交矩阵的性质，可有

E2PY2GaY2Q(GaY)2Rh10ah2h222 。

由Lagrange插值多项式，待定函数方法构造余项：

余项：设f(x)有直到n1阶连续导数, 记 R(x)f(x)Ln(x)f(x)li(x) f(xi)Ln(xi)i0,1,,nR(xi)0i0,1,,nR(x)(x)(x)(x)(xx0)(xx1)(xxn)i0n 令 (t)f(t)Ln(t)(x)(tx0)(tx1)(txn) 则 (xi)0i0,1,,n及(x)0 由Rolle定理，在包含全体x,xi(i0,1,,n) 的区间中，(t)有n1个零点， (t)有n个零点,„(n1)(t)有(至少)一个零点,记作:(n1)()0,由于Ln(x)为不超过n次多项式,因此 (n1)()f(n1) f(n1)()()(x).(n1)!0(x)(n1)!f()(x)[minxi,maxxi](n1)!(n1) Rxf(x)Ln(x)

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例：求不超过2次插值多项式H(x)，使之满足条件：

,H(x2)y2 H(x0)y0,H(x1)y1解：利用待定系数法，令

H(x)y0y[x0,x2](xx0)A(xx0)(xx2)

， 则由导数插值条件，应： H(x1)y[x0,x2]A(2x1x0x2)y1立即解得：Ay[x0,x2]y1，因此所求

(2x1x0x2)y[x0,x2]y1(xx0)(xx2).

(2x1x0x2)x，以点(k,f(k),k0,1,2,,n为插值 x1H(x)y0y[x0,x2](xx0)

例：（习题3-7，第129页）f(x)节点的插值多项式记为pn(x)，求pn(n1)。

解：由余项公式：R(x)f(x)pn(x)f[0,1,2,,n,x]x(x1)(x2)(xn)，令xn1，便有

pn(n1)n1f[0,1,2,,n,n1](n1)! n2差商表：

012301232311*212*313*41(n1)n1n(n1)1(n1)n211*2*312*3*41(n2)(n1)n1(n1)nn11nn1(n2)4n1n1nnnn1n1n1n2

(1)21*2*3*4(1)2(n3)(n2)(n1)n(1)2(n2)(n1)nn1(1)2(n1)nn1(n2)(1)n(n2)!1(1)n因此： p(n1)1

n2 17