对数正态分布（log-normaldistribution）

对数正态分布对数正态分布机率密度函数

µ=0

累积分布函数

µ=0

参数

值域

概率密度函数

累积分布函数

期望值中位数eµ

众数

⽅差

偏态

峰态

熵值

动差⽣成函数(参见原始动差⽂本)特征函数is

asymptotically divergent but sufficientfor numerical purposes

在概率论与统计学中，对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果X 是正态分布的随机变量，则exp(X)为对数分布；同样，如果Y是对数正态分布，则 ln(Y) 为正态分布。如果⼀个变量可以看作是许多很⼩独⽴因⼦的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。⼀个典型的例⼦是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。对于x > 0，对数正态分布的概率分布函数为

其中µ与σ分别是变量对数的平均值与标准差。它的期望值是

⽅差为

给定期望值与标准差，也可以⽤这个关系求µ与σ

⽬录[隐藏]

1 与⼏何平均值和⼏何标准差的关系 2 矩 3 局部期望

4 参数的最⼤似然估计 5 相关分布

6 进⼀步的阅读资料7 参考⽂献8 参见

[编辑]与⼏何平均值和⼏何标准差的关系

对数正态分布、⼏何平均数与⼏何标准差是相互关联的。在这种情况下，⼏何平均值等于exp(µ)，⼏何平均差等于 exp(σ)。如果采样数据来⾃于对数正态分布，则⼏何平均值与⼏何标准差可以⽤于估计置信区间，就像⽤算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间⼀样。

其中⼏何平均数µgeo = exp(µ)，⼏何标准差σgeo = exp(σ)[编辑]矩原始矩为：

或者更为⼀般的矩

[编辑]局部期望

随机变量X在阈值k上的局部期望定义为

其中f(x) 是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表⽰为

其中Φ是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应⽤。[编辑]参数的最⼤似然估计

为了确定对数正态分布参数µ与σ的最⼤似然估计，我们可以采⽤与正态分布参数最⼤似然估计同样的⽅法。我们来看

其中⽤表⽰对数正态分布的概率密度函数，⽤—表⽰正态分布。因此，⽤与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最⼤似然函数：

由于第⼀项相对于µ与σ来说是常数，两个对数最⼤似然函数与在同样的µ与σ

处有最⼤值。因此，根据正态分布最⼤似然参数估计器的公式以及上⾯的⽅程，我们可以推导出对数正态分布参数的最⼤似然估计

[编辑]相关分布

如果Y = ln(X) 与，则Y～N(µ,σ2) 是正态分布。

如果是有同样µ参数、⽽σ可能不同的统

计独⽴对数正态分布变量，并且，则Y也是对数正态分布变量：

。

[编辑]进⼀步的阅读资料

Robert Brooks, Jon Corson 以及J. Donal Wales的\"The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow aLognormal Diffusion\[编辑]参考⽂献