反比例函数与图形的变换讲义

一、选择题

如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD斜靠在y轴上，顶点A（1，0），反比例函数y=（x＞0）图象经过点C，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度后，使得点B恰好落在x轴的正半轴上，此时边BC交反比例图象于点E，则点E的纵坐标是（ ）

kxA．3 B．

313 C．

312

3D．2

kx如图，平行四边形ABCD的顶点B，D都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点D的坐标为（2，6），AB平行于x轴，点A的坐标为（0，3），将这个平行四边形向左平移2个单位、再向下平移3个单位后点C的坐标为（ ）

A.（1，3） B.（4，3） C.（1，4） D.（2，4）

二、填空题

1、如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（1,2）。将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在双曲线

1

ykx（x>0）上，则k的

值是 .

2、如图，过点C（1,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=－x+6于A、B两点，若反比例函数

ky=x（x＞0）的图像与△ABC

有公共点，则k的取值范围是 ．

如图，反比例函数y=（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD∥x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．若将矩形向下平移，使矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则k的值是 ．

kx

▱ABCD在平面直角坐标系中的位置如图，其中A（-4，O），B（2，0），C（3，m），反比例函数y=的图象经过点C．将▱ABCD沿x轴翻折得到□AD′C′B′，则点D′的坐标为 ．

9x

2

3、如图，△AOB的顶点O在原点，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，且AB=6，∠AOB=60°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A，将△AOB绕点O顺时针旋转120°，顶点B恰好落在

ky＝x的图象上，则

kxk的值为 ．

y2(x0)x经过四边形

3、如图，双曲线OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分

OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB＇C，B＇点落在OA上，则四边形OABC的面积是 .

4、如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA为x轴，OC为y轴建立平面直角坐标系，双曲线ky=x(x＞0)与AB、BC分别交于点D、E，沿直线DE将△DBE翻折得△DFE，且点F恰好落在直线OA上．若AB：BC=2：3，则矩形的面积是 ． 5、如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO=90°，OB=1，OA=2．将△AOB绕点O逆时针旋转到△A′B′O，点A的对应点A′落在x轴上，B的对应点恰好落在双曲线y=（x＜0）上，则k= ． kx 3

6、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上，已知AB=2，BC=1，将矩形OABC沿x轴翻折，点B刚好落在双曲线ymx(m≠0)上的D点，直线AD与双曲线在第二象限交于点E．求△DOE的面积 ． 如图，四边形ABCD为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且OA=2，OB=4，反比例函数ykx(k≠0)在第一菁优网象限的图象经过正方形的顶点D．将正方形ABCD沿x轴向左平移 个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上．

已知：△OAB在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-1，3），点B的坐标为（-2，1）．将△OAB沿x轴向右平移a个单位，若△OAB的一顶点恰好落在反比例函数＞0)的图象上，则a的值 ． 3y＝x(x 4

二、解答题

1、如图所示，等边三角形ABC放置在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），反比例函数的图象经过点C．

（1）求点C的坐标及反比例函数的解析式．

（2）将等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，求n的值．

3、如图，在平面直角坐标系中直线y=x﹣2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2）．

（1）求反比例函数的关系式；

（2）将直线y=x﹣2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式．

5

4、如图，等腰梯形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知A(2,0)、B(6,0)、D(0,3)，反比例函数的图象经过点C．

（1）求C点坐标和反比例函数的解析式；

（2）将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后，使点B恰好落在双曲线上，求m的值．

如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的

kx正半轴上，点A在反比例函数

y（x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．

（1）求k的值．

kx（2）若将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数菱形ABCD平移的距离．

y（x＞0）的图象上，求

（3）怎样平移可以使点B、D同时落在第一象限的曲线上？

6

y

kx

如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象和矩形ABCD在第

一象限内，AD平行于x轴，点A、C的坐标分别为（2.6）、（6.4）．

（1）直接写出点B、D的坐标．

（2）若将矩形向下平移，由矩形和反比例函致的图象的位置关系，猜想矩形的哪两个顶点可能同时落在反比例函数的图象上？并求矩形的平移距离和反比例函数的关系式．

5、如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；

（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移OABC的形状并证明你的结论．

个单位长度得到点B，判断四边形

7

y

kx

6、如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数(x＞0)的图象经过点B．

(1)求k的值；

(2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、MA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数

y

kx

(x＞0)的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．

如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的

kx

正半轴上，点A在反比例函数

y

（x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．

（1）求k的值．

k

x（x＞0）的图象上，

（2）若将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y=求菱形ABCD平移的距离．

y

8

（3）怎样平移可以使点B、D同时落在第一象限的曲线上？

mx7、如图，已知A，B两点的坐标分别为A(0，23)，B(2，0)直线AB与反比例函数的图像交与点C和点D（-1，a）．

y(1)求直线AB和反比例函数的解析式；

(2)求∠ACO的度数；

(3)将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长．

如图，在平面直角坐标系内，已知OA=OB=2，∠AOB=30°．

（1）点A的坐标为（ ， ）；

（2）将△AOB绕点O顺时针旋转a度（0＜a＜90）．

9

①当a=30时，点B恰好落在反比例函数

ky=x（x＞0）的图象上，求

k的值；

②在旋转过程中，点A、B能否同时落在上述反比例函数的图象上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点C在第一象限，BC与x轴平行．已知BC=2，△ABC的面积为1．

（1）求点C的坐标．

（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，△ABC旋转到△A1B1C的位置，求经过点B1的反比例函数关系式．

如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象在第一象限，矩形OABC的顶点A在y轴负半轴，顶点C在x轴正半轴，且OA=43，AB=6．

kx 10

（1）直接写出A、B、C三点的坐标；

（2）将矩形OABC绕顶点O逆时针旋转60°，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求出此时这两个点的坐标及反比例函数的解析式．

反比例函数y=AB=3：4

y

kx

在第四象限的双曲线上有一点A，AB⊥x轴于B，OA=10，OB：

（1）求反比例函数的解析式；

（2）将OB沿OC对折，使它落在斜边OA上与OD重合，求C点坐标？

（3）在x轴上是否存在点P使△POC为等腰三角形？不存在，说明理由；若存在，直接写出P的坐标（3个即可）

8、我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你 可以利用这一结论解决

11

问题.

如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数

B、D，已知点A(m,0)、C(m,0).

y3x的图象分别交于第一、三象限的点

（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是 ;

（2）①当点B为(p,1)时，四边形ABCD是矩形，试求p、α、和m有值；

②观察猜想：对①中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？(不必说理)

（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由.

9、已知反比例函数

y

k

x

的图像经过点A（—3，1）

（1）试确定此反比例函数的解析式．

（2）点O是坐标原点，将线段OA绕点O顺时针旋转30°得到线段OB，判断点B

12

是否在反比例函数的图像上，并说明理由．

（3）已知点P（m，3m+6）也在此反比例函数的图像上（其中m ＜0），过p点

12作x轴的的垂线，交x轴于点M，若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2－23n+m的值．

如图，矩形ABOC的边OB，OC分别在坐标轴上，将矩形ABOC绕原点O顺时针旋转90°后，得到的矩形为DEOF．已知点A的坐标为（-2，m），反比例函数y＝的图象（第一象限）经过线段DF的中点M，且满足m+n=6．

nx（1）求m，n的值；

（2）求直线CM的函数解析式；

nx（3）设直线CM交DE于点N，请判断点N是否在反比例函数y＝的图象上（写出理由）．

10、如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B(2，0)，∠AOC＝60°，k

点A在第一象限，过点A的双曲线为y= ，在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂

x线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′.

13

（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是 .

（2）设P(t，0)当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是 .

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