概率论习题集1

一．填空题(每空2分，共32分)：

1．设P(A)0.4,P(AB)0.7,若A,B互不相容,则P(B) ; 若A,B独立,则

P(B) .

X122．若X~N(1,4),则3

．

Y~ .

P(A)0.8,P(AB)0.6已知,则

P(AB) ,P(B|A) .

4．从(0,1)中随机地取两个数a,b,则ab大于0的概率为 . 5．若

X~U[0,2],则Y2X1的概率密度函数为f(y) .

26．随机变量X~N(2,),若P(0X4)0.3,则P(X0) . 7．设X的分布列为P(X1)P(X1)0.5,则XF(x) . 的分布函数为

8．设随机变量XP(|X|x00,F(x)Asixn,0x21,x2有分布函数

, 则

6A ,) .

9．一颗均匀骰子被独立重复地掷出10次,若X表示3点出现的次数,则X~ . 10．设(X,Y)的联合分布列为

X 1 Y 1 2 1/6 1/3 2 1/9 a 2 3 1/18 1/9 则a ,Y的分布列为 ;若令Z(X2),则Z的分布列

为 .

11．若X~N(2,9),且P(Xc)P(Xc),则c .

二．选择题(每题3分，共12分)：

1．设A,B为两事件,且0P(A)1,则下列命题中成立的是 ( )

A. A,B独立P(B|A)P(B|A) B. A,B独立A,B互不相容

C. A,B独立AB D. A,B独立P(AB)0

2．设

0,xF(x),21,x00x1x1, 则 ( )

A . F(x)是一个连续型分布函数 B. F(x)是一个离散型分布函数

C. F(x)不是一个分布函数 D. P(X1)0.5

3．设随机变量X的概率密度函数为f(x),且f(x)f(x),F(x)是X的分布函数,则对任

意实数a,有 ( ) A.

F(a)1a0f(x)dx B.

2F(a)12a0f(x)dx

C. F(a)F(a) D. F(a)2F(a)1

4．设随机变量X~N(u,4),Y~N(u,5).p1P{Xu4},p2P{Yu5},则 ( )

A . 对任意实数u,p1p2 B. 对任意实数u,p1p2

C. 只对u的个别值才有p1p2 D. 对任意实数u,p1p2

三．某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,

40%,废品率分别为5%,4%和2%.产品混在一起,求总的废品率及抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率. (9分)

四．箱中装有5个黑球,3个白球,无放回地每次取一球,直至取到黑球为止.若X表示取球次

数,求X的分布列,并求P(1X3).( 9分) 五．设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

cxy2,f(x,y)0,

0x1,0y12其它

,

求: 1)常数c; 2)

P(X3P(0X11,Y2)24;

3

六．在一盒子里有12张彩票,其中有2张可中奖.今不放回地从中抽取两次,每次取一张,令

X,Y分别表示第一、第二次取到的中奖彩票的张数,求(X,Y)的联合分布列.

)4); 4)P(XY). (16分)

七．设X1,,X2,,Xn是来自下列两参数指数分布的样本：

fx;1,21,1e2x1,021x1x1

其中

，

20,，试求出1和2的最大似然估计. (16分)

概率论与数理统计 模拟试题一答案

一．填空题

1. 0.3 0.5 2. N(0,1) 3. 0.8 0.25

1,1y14. 0.5 5. 0, 6. 0.35 其它

x10,0.5,1x11,x1 7.  8. 1 0.5 9. B(10,16)

10. 2/9

Y 1 2

p 1/3 2/3 11. 2

Z 0 1

p 1/3 2/3 二．选择题 A C B A 三．解: 设A1={产品由甲厂生产}, A2={产品由乙厂生产}, A3={产品由丙厂生产},

B={产品是废品},由题意

P(A1)25%,P(A2)35%,P(A3)40%；

P(B|A1)5%, P(B|A2)4%, P(B|A3)2%. 2分 由全概率公式,

3P(B)

P(Ai1i)P(B|Ai)0.250.050.350.040.400.020.0345,

6分

从而由贝叶斯公式,

P(B)P(B)0.0345

四． 解: 由题意知X的可能取值为1,2,3,4,其分布列为

P(X1)C5CC118232P(A1|B)P(A1B)P(A1)P(B|A1)0.250.050.36. 9分

58C151,P(X2)556C3C1

P(X3)18C5C1173331556C,

151C8C6,P(X4)CC8C5156 . 7分

P(1X3)P((X2)(X3))P(X2)P(X3).

五．解: 1) 由

11556556514. 9分

f(x,y)dxdy1212有

12x|0dy210110cxydxdycy0c210ydy2c213y|031c6,

c6; 4分

111P(0X,Y2)24 2)

0122141f(x,y)dydx1y|1dx40121146xydydx132

6303256; 4 0 8分

26x3122x(1)dx3)

P(X34)P(X342,Y)34f(x,y)dydx1

341106xydydx1346x1x13y|0dy32xdx431716 ; 12分

3xP(XY)4)

xy1f(x,y)dxdy2006xydydx2106x13y|0dx

02xdx45. 16分

六．解: 每次只取一张彩票,要么取到中奖彩票,要么没取到中奖彩票,所以X,Y的可能取值均为0或1,那么(X,Y)的联合分布列为

P(X0,Y0)C10C12C2C111211C9111

P(X1,Y0)C11C10C1111522 533 ,,P(X0,Y1)C10C12C2111211C2111C11111533, 1.P(X1,Y1)

七.解：似然函数

CC1C66

6分

n

Lx1,x2,x,n;1,2fxi1i;,121n1n2ne2xi1i1I1,minix

(4分)

要使

Lx1,x2,,xn;1,2最大，必须minxi1且

xi1i1应最小.故1的最大似然估计值

为1minxi. （8分） 而2的最大似然估计值是使 L1n12e2n取最大值的点. 此处xi1i1. （12分）

1故2=n. 所以2的最大似然估计值为xminxi

ˆˆ最大似然估计量为1=minXi， 2=XminXi. （16分）