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分离变量法

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维普资讯 http://www.cqvip.com ・48・ 太原科技TA1YUAN SCI—TECH 20O2年第4期8月26日出版 ●教学论坛 分离变量法 山西兵器工业职工大学 赵登科 ) 摘 要 一个物理量,不论是力学量还是电学量,只要它与时间和坐标的关系满足妻=。2 3t2,这一物理 量就按波的形式传播。介绍了应用分离变量法推导求解妻=。 的方法。 关键词分离变量法 简谐波G633、6 波动微分方程文献标识码特征值A 傅立叶变换 文章编号1006—4877(2002)04一OO48—02 中图分类号1问题的引入 定解条件是:边界条件u(o,t)=0,“(f,t)=0(t≥0)。初 始条件:“( ,0)= ( ), = ( )(0≤ ≤z)。 设有一平面简谐波沿 轴传播,媒质中各质点的振动沿 轴方向传播。取任意一条波线为 轴,在其上任取一点0 为原点,则波线( 轴)上坐标为 的任意一点P在任意时刻 t的位移Y是坐标 和时间t的函数 先不考虑初始条件,求方程(4)满足边界条件与方程形式 为 “( ,t)=X( )T(t)………………(5) Y( ,t)=Aeos[ (t—x/u)一 ],…………(1) 式中:A——质点的振幅; ——的解。将(5)代人(4)得 (tj ’( 2 0 T(t)一X( )。 角频率; ——初相; 因为 和 是两个相互的量,所以只有两边都是常 数时等式才成立。令这一常数为一 ,则有 0 (f)一 ( )一一 ’ /t——波线沿 轴传播的速度。 将方程(1)分别对 和t求二阶偏导数: ( 2一 一 =一 cos[ (£一詈)+ ], Ox - 由此得两个常微分方程 (t)+A0 T(t)=0, ( )+A ( )=0。……(6) =一A/t cos[ ( 一 /)+ t- 将“( , )=X( )T( )代人边界条件,得x(o)T( )=0, 比较两个偏导数,可得 Ox2一“2 at2。 一 ……………. (z)T(t)=0。因为T(£)不恒等于0,于是得 x(o)=X(Z)=0。…………………(7) 、 这样,为求(4)的边值问题的解,引进了一个辅助问题,即 求解常微分方程 ( )+;tX( )=0,x(o)=X(Z)=0。 ……………(8) 方程(2)称为沿 轴方向传播的平面波动微分方程,它 不仅适用于机械波,也适用于电磁波,是物理学中一个具有普 遍意义的方程。就是说,物理量Y不论是力学量还是电学 量,只要它与时间f和坐标 的关系满足方程(2),这一物理 要使 ( )+ ( )=0成立, 与X( )应为同一类型 函数。我们知道,指数函数e 、正弦函数、余弦函数都有此性 质,但是指数函数e叫亘为正,不满足边界条件X(0):0,余弦 函数cOS2x在 :0处值为1,也不满足x(o)=0,所以只有正 弦函数满足边界条件。设方程(8)有X=sin bx的解,将之代 人 ( )+ ( )=0,得( —b )sin bx=0。因为sin ≠0, 量就按波的形式传播,且导数磐的系数的倒数的平方根就 dC一 是波的传播速度。本文就方程(2)的求解,介绍分离变量法思 想。 2分离变量法求解 将方程(2)变形得: 一所以 =b 。又由边界条件 (z)=0,即sin bl=0,得b:罕 去 一“ 一 。oo ………… 。……………………一‘4)(4)  (n:1,2,3…・・)。所以, =6 =旦 (n=1,2,3…、.)。 n= 为方便起见,写成下面的一般形式: 一3t2一a 一 z 2 /r2(n=l,2……)称为边值问题(8)的特征值。 将 = n2 yf2(n=l,2……)代人方程 ( )+ ( )=0, 1) 赵登科,男,1968年2月生,1990年7月华东工学院 应用数学系毕业,讲师,030(09,太原市胜利街247号 收稿日期:2002.05.12,修回日期:2002.05.17 得 ( ) n2 /r2 ( )=0,对应的特征函数(其解)为 以=sinT肼 (n:l,2…・’)。………(9) 维普资讯 http://www.cqvip.com 赵登科:分离变量法 2002年第4期展开为傅里叶正弦级数lI。 8月26日出版 ・49・ 对应于 : ,方程 ( )+。 2,n ( )=0的通解是 f+D.sin £。……(10) (£)=CncOS ㈦sjn 其中Cn,D 为常数。 于是得方程(4)满足边界条件的可分离变量解为 ( ,£): ( ) (£)=( c。s ‘……………・……………………[Dn…… = )sjn … 到这里,定解问题(4)已经解出,它的解为(12),其中系数 。 (11) £+D sin ……………£)sin ……・和D 取决于弦的初始状态,具体的计算公式为(14)。 4总结 由齐次方程的解的叠加原理,把这些解加起来得 u(州)= ,…………………回顾整个求解过程,可总结出如下步骤。 Cncos H D sin )sin芋 。 ………………・…………………・・4.1将争:。 中y:u( ,£)分离变量, 即 Y=u( .t)=X( )T(t), (12) (12)为方程(4)的满足边界条件的通解。 3分析 得 (t)+Aa T(t):0,………………(1) ( )+A ( )=0。・……………・・(2) 3.1在解(11)中,n为正整数,每一个n对应于一种驻波,这 些驻波叫做两端固定弦的特征振动。 3.2在n:0,l/n,2( ),3( )……n( )时,相应的_/'/ ̄X: 凡 凡 凡t 4.2将边界条件u(O,t)=u(z,t):0分离变量得 x(o)= (Z)=0。…………………(3) 4.3解由(2)(3)组成的方程组,求得特征值 A : (n:1,2,3…・.)…………(4) 0. ,2rr…肝,从而振幅 ( )=sin :0,可见这些点正是 和特征解 ■=sjn! (n=1,2,3……)。…………(5) 节点,两相邻节点间隔l/n,为半个波长。由此可见,驻波的 波长A: n:方程(1o)表明,驻波的角频率为 = ,从而 4.4对每一个持征值 = (£):Cn cos 求满足(I)的解及通解 f+D sjn ㈠……‘(6) 频率为y=co/2 ̄r: 。 3.3当n:1时,驻波除两端 :0和 =Z外,没有其他节 点,它的波长为2Z,在所有特征振动中是最长的,相应的它的 频率 在所有特征振动中最低,这个驻波叫基波。 …‘4.5由(5)(6)两式得方程满足边界条件的可分离变量解为 u ( ):( c。s丁nTraf+D sin £)sin ‘…… ……‘…………・・・……………・…・……。…・ ……3.4当n>1时,各个驻波分别叫n次谐波,n次谐波的波长 (7) 4.6由齐次方程的叠加原理,求得所求问题解为 凡 是基波的{倍,凡 频率 则是基波频率的n倍。t  3.5基波与各种n次谐波的叠加就是方程(4)满足边界条 y=u( )=喜,( cos f+D sin/a£) …‘………………………………………・………・……。 (8) 件的解:u( , )=毒,( c。 +D sin )sin竽 。 其中Ca,D 为常数,可由具体的初始状态,即u( ,0): ( ),u( ,0): ( )(0≤ ≤Z)来确定,将初始条件代入 (12),得 4.7由初始条件u( ,0)= ( ),u ( ,0): ( )得常数 Cn、D ,具体计算公式为 =T2 …‘………………n …………= ・…・……‘…( in . ・……………・sI nT肝 = ( )(0≤ ≤z), (9) 参考文献 【 D sin竽 = ( )(0≤ ≤z)。 上面(13)式左端为傅里叶级数,将右边的 ( )和 ( ) [1] 南京工学院数学教研组.积分变换.北京:人民教育出版 社.1990.3~15. (责任编辑薛培荣) A Separation Variable Method Shanxi Weap0nry Industry University Zhao Dengke Abstract:A physical quantity,whether it is a dynamics quantiy ort electric quantiy,itf the relationship between time and coordinate is 搴:。: 山e c 吣 vels in hte fonn or w… using ̄paration variblae method. uces me sor蛐c ,on or鲁:。: Key-words: ̄paration variable method,simple harmonic wave,wave differentiation equation,eigenvalueFourier transformation 

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