维普资讯 http://www.cqvip.com ・４８・ 太原科技ＴＡ１ＹＵＡＮ ＳＣＩ—ＴＥＣＨ ２０Ｏ２年第４期８月２６日出版 ●教学论坛 分离变量法 山西兵器工业职工大学 赵登科 ） 摘 要 一个物理量，不论是力学量还是电学量，只要它与时间和坐标的关系满足妻＝。２ ３ｔ２，这一物理 量就按波的形式传播。介绍了应用分离变量法推导求解妻＝。 的方法。 关键词分离变量法 简谐波Ｇ６３３、６ 波动微分方程文献标识码特征值Ａ 傅立叶变换 文章编号１００６—４８７７（２００２）０４一ＯＯ４８—０２ 中图分类号１问题的引入 定解条件是：边界条件ｕ（ｏ，ｔ）＝０，“（ｆ，ｔ）＝０（ｔ≥０）。初 始条件：“（ ，０）＝ （ ）， ＝ （ ）（０≤ ≤ｚ）。 设有一平面简谐波沿 轴传播，媒质中各质点的振动沿 轴方向传播。取任意一条波线为 轴，在其上任取一点０ 为原点，则波线（ 轴）上坐标为 的任意一点Ｐ在任意时刻 ｔ的位移Ｙ是坐标 和时间ｔ的函数 先不考虑初始条件，求方程（４）满足边界条件与方程形式 为 “（ ，ｔ）＝Ｘ（ ）Ｔ（ｔ）………………（５） Ｙ（ ，ｔ）＝Ａｅｏｓ［ （ｔ—ｘ／ｕ）一 ］，…………（１） 式中：Ａ——质点的振幅； ——的解。将（５）代人（４）得 （ｔｊ ’（ ２ ０ Ｔ（ｔ）一Ｘ（ ）。 角频率； ——初相； 因为 和 是两个相互的量，所以只有两边都是常 数时等式才成立。令这一常数为一 ，则有 ０ （ｆ）一 （ ）一一 ’ ／ｔ——波线沿 轴传播的速度。 将方程（１）分别对 和ｔ求二阶偏导数： （ ２一 一 ＝一 ｃｏｓ［ （￡一詈）＋ ］， Ｏｘ － 由此得两个常微分方程 （ｔ）＋Ａ０ Ｔ（ｔ）＝０， （ ）＋Ａ （ ）＝０。……（６） ＝一Ａ／ｔ ｃｏｓ［ （ 一 ／）＋ ｔ－ 将“（ ， ）＝Ｘ（ ）Ｔ（ ）代人边界条件，得ｘ（ｏ）Ｔ（ ）＝０， 比较两个偏导数，可得 Ｏｘ２一“２ ａｔ２。 一 ……………． （ｚ）Ｔ（ｔ）＝０。因为Ｔ（￡）不恒等于０，于是得 ｘ（ｏ）＝Ｘ（Ｚ）＝０。…………………（７） 、 这样，为求（４）的边值问题的解，引进了一个辅助问题，即 求解常微分方程 （ ）＋；ｔＸ（ ）＝０，ｘ（ｏ）＝Ｘ（Ｚ）＝０。 ……………（８） 方程（２）称为沿 轴方向传播的平面波动微分方程，它 不仅适用于机械波，也适用于电磁波，是物理学中一个具有普 遍意义的方程。就是说，物理量Ｙ不论是力学量还是电学 量，只要它与时间ｆ和坐标 的关系满足方程（２），这一物理 要使 （ ）＋ （ ）＝０成立， 与Ｘ（ ）应为同一类型 函数。我们知道，指数函数ｅ 、正弦函数、余弦函数都有此性 质，但是指数函数ｅ叫亘为正，不满足边界条件Ｘ（０）：０，余弦 函数ｃＯＳ２ｘ在 ：０处值为１，也不满足ｘ（ｏ）＝０，所以只有正 弦函数满足边界条件。设方程（８）有Ｘ＝ｓｉｎ ｂｘ的解，将之代 人 （ ）＋ （ ）＝０，得（ —ｂ ）ｓｉｎ ｂｘ＝０。因为ｓｉｎ ≠０， 量就按波的形式传播，且导数磐的系数的倒数的平方根就 ｄＣ一 是波的传播速度。本文就方程（２）的求解，介绍分离变量法思 想。 ２分离变量法求解 将方程（２）变形得： 一所以 ＝ｂ 。又由边界条件 （ｚ）＝０，即ｓｉｎ ｂｌ＝０，得ｂ：罕 去 一“ 一 。ｏｏ ………… 。……………………一‘４）（４） （ｎ：１，２，３…・・）。所以， ＝６ ＝旦 （ｎ＝１，２，３…、．）。 ｎ＝ 为方便起见，写成下面的一般形式： 一３ｔ２一ａ 一 ｚ ２ ／ｒ２（ｎ＝ｌ，２……）称为边值问题（８）的特征值。 将 ＝ ｎ２ ｙｆ２（ｎ＝ｌ，２……）代人方程 （ ）＋ （ ）＝０， １） 赵登科，男，１９６８年２月生，１９９０年７月华东工学院 应用数学系毕业，讲师，０３０（０９，太原市胜利街２４７号 收稿日期：２００２．０５．１２，修回日期：２００２．０５．１７ 得 （ ） ｎ２ ／ｒ２ （ ）＝０，对应的特征函数（其解）为 以＝ｓｉｎＴ肼 （ｎ：ｌ，２…・’）。………（９） 维普资讯 http://www.cqvip.com 赵登科：分离变量法 ２００２年第４期展开为傅里叶正弦级数ｌＩ。 ８月２６日出版 ・４９・ 对应于 ： ，方程 （ ）＋。 ２，ｎ （ ）＝０的通解是 ｆ＋Ｄ．ｓｉｎ ￡。……（１０） （￡）＝ＣｎｃＯＳ ㈦ｓｊｎ 其中Ｃｎ，Ｄ 为常数。 于是得方程（４）满足边界条件的可分离变量解为 （ ，￡）： （ ） （￡）＝（ ｃ。ｓ ‘……………・……………………［Ｄｎ…… ＝ ）ｓｊｎ … 到这里，定解问题（４）已经解出，它的解为（１２），其中系数 。 （１１） ￡＋Ｄ ｓｉｎ ……………￡）ｓｉｎ ……・和Ｄ 取决于弦的初始状态，具体的计算公式为（１４）。 ４总结 由齐次方程的解的叠加原理，把这些解加起来得 ｕ（州）＝ ，…………………回顾整个求解过程，可总结出如下步骤。 Ｃｎｃｏｓ Ｈ Ｄ ｓｉｎ ）ｓｉｎ芋 。 ………………・…………………・・４．１将争：。 中ｙ：ｕ（ ，￡）分离变量， 即 Ｙ＝ｕ（ ．ｔ）＝Ｘ（ ）Ｔ（ｔ）， （１２） （１２）为方程（４）的满足边界条件的通解。 ３分析 得 （ｔ）＋Ａａ Ｔ（ｔ）：０，………………（１） （ ）＋Ａ （ ）＝０。・……………・・（２） ３．１在解（１１）中，ｎ为正整数，每一个ｎ对应于一种驻波，这 些驻波叫做两端固定弦的特征振动。 ３．２在ｎ：０，ｌ／ｎ，２（ ），３（ ）……ｎ（ ）时，相应的＿／＇／￣Ｘ： 凡 凡 凡ｔ ４．２将边界条件ｕ（Ｏ，ｔ）＝ｕ（ｚ，ｔ）：０分离变量得 ｘ（ｏ）＝ （Ｚ）＝０。…………………（３） ４．３解由（２）（３）组成的方程组，求得特征值 Ａ ： （ｎ：１，２，３…・．）…………（４） ０． ，２ｒｒ…肝，从而振幅 （ ）＝ｓｉｎ ：０，可见这些点正是 和特征解 ■＝ｓｊｎ！ （ｎ＝１，２，３……）。…………（５） 节点，两相邻节点间隔ｌ／ｎ，为半个波长。由此可见，驻波的 波长Ａ： ｎ：方程（１ｏ）表明，驻波的角频率为 ＝ ，从而 ４．４对每一个持征值 ＝ （￡）：Ｃｎ ｃｏｓ 求满足（Ｉ）的解及通解 ｆ＋Ｄ ｓｊｎ ㈠……‘（６） 频率为ｙ＝ｃｏ／２￣ｒ： 。 ３．３当ｎ：１时，驻波除两端 ：０和 ＝Ｚ外，没有其他节 点，它的波长为２Ｚ，在所有特征振动中是最长的，相应的它的 频率 在所有特征振动中最低，这个驻波叫基波。 …‘４．５由（５）（６）两式得方程满足边界条件的可分离变量解为 ｕ （ ）：（ ｃ。ｓ丁ｎＴｒａｆ＋Ｄ ｓｉｎ ￡）ｓｉｎ ‘…… ……‘…………・・・……………・…・……。…・ ……３．４当ｎ＞１时，各个驻波分别叫ｎ次谐波，ｎ次谐波的波长 （７） ４．６由齐次方程的叠加原理，求得所求问题解为 凡 是基波的｛倍，凡 频率 则是基波频率的ｎ倍。ｔ ３．５基波与各种ｎ次谐波的叠加就是方程（４）满足边界条 ｙ＝ｕ（ ）＝喜，（ ｃｏｓ ｆ＋Ｄ ｓｉｎ／ａ￡） …‘………………………………………・………・……。 （８） 件的解：ｕ（ ， ）＝毒，（ ｃ。 ＋Ｄ ｓｉｎ ）ｓｉｎ竽 。 其中Ｃａ，Ｄ 为常数，可由具体的初始状态，即ｕ（ ，０）： （ ），ｕ（ ，０）： （ ）（０≤ ≤Ｚ）来确定，将初始条件代入 （１２），得 ４．７由初始条件ｕ（ ，０）＝ （ ），ｕ （ ，０）： （ ）得常数 Ｃｎ、Ｄ ，具体计算公式为 ＝Ｔ２ …‘………………ｎ …………＝ ・…・……‘…（ ｉｎ ． ・……………・ｓＩ ｎＴ肝 ＝ （ ）（０≤ ≤ｚ）， （９） 参考文献 【 Ｄ ｓｉｎ竽 ＝ （ ）（０≤ ≤ｚ）。 上面（１３）式左端为傅里叶级数，将右边的 （ ）和 （ ） ［１］ 南京工学院数学教研组．积分变换．北京：人民教育出版 社．１９９０．３～１５． （责任编辑薛培荣） Ａ Ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ Ｖａｒｉａｂｌｅ Ｍｅｔｈｏｄ Ｓｈａｎｘｉ Ｗｅａｐ０ｎｒｙ Ｉｎｄｕｓｔｒｙ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｚｈａｏ Ｄｅｎｇｋｅ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｑｕａｎｔｉｔｙ，ｗｈｅｔｈｅｒ ｉｔ ｉｓ ａ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｑｕａｎｔｉｙ ｏｒｔ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｑｕａｎｔｉｙ，ｉｔｆ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｉｍｅ ａｎｄ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｉｓ 搴：。： 山ｅ ｃ 吣 ｖｅｌｓ ｉｎ ｈｔｅ ｆｏｎｎ ｏｒ ｗ… ｕｓｉｎｇ￣ｐａｒａｔｉｏｎ ｖａｒｉｂｌａｅ ｍｅｔｈｏｄ． ｕｃｅｓ ｍｅ ｓｏｒ蛐ｃ ，ｏｎ ｏｒ鲁：。： Ｋｅｙ－ｗｏｒｄｓ：￣ｐａｒａｔｉｏｎ ｖａｒｉａｂｌｅ ｍｅｔｈｏｄ，ｓｉｍｐｌｅ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｗａｖｅ，ｗａｖｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅＦｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ
