2022年四川南充中考数学真题及答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分． 1．（4分）下列计算结果为5的是（ ） A．﹣（+5）
B．+（﹣5）
C．﹣（﹣5）
D．﹣|﹣5|
【分析】根据相反数判断A，B，C选项；根据绝对值判断D选项． 【解答】解：A选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意； C选项，原式＝5，故该选项符合题意； D选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了相反数，绝对值，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
2．（4分）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可． 【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′， ∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°． ∵点B′恰好落在CA的延长线上，
∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°． 故选：B．
【点评】本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，利用旋转不变性解答是解题的关键．
3．（4分）下列计算结果正确的是（ ） A．5a﹣3a＝2
B．6a÷2a＝3a
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C．a÷a＝a
632
D．（2ab）＝8ab
23369
【分析】根据合并同类项判断A选项；根据单项式除以单项式判断B选项；根据同底数幂的除法判断D选项；根据积的乘方判断D选项． 【解答】解：A选项，原式＝2a，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝3，故该选项不符合题意； C选项，原式＝a3，故该选项不符合题意； D选项，原式＝8a6b9，故该选项不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，单项式除以单项式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握（ab）＝ab是解题的关键．
4．（4分）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为（ ） A．4x+2（94﹣x）＝35 C．2x+4（94﹣x）＝35
B．4x+2（35﹣x）＝94 D．2x+4（35﹣x）＝94
nnn【分析】由上有三十五头且鸡有x只，可得出兔有（35﹣x）只，利用足的数量＝2×鸡的只数+4×兔的只数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：∵上有三十五头，且鸡有x只， ∴兔有（35﹣x）只．
依题意得：2x+4（35﹣x）＝94． 故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（4分）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论错误的是（ ）
A．AE＝AF
B．∠EAF＝∠CBF
C．∠F＝∠EAF
D．∠C＝∠E
【分析】根据正多边形定义可知，每一个内角相等，每一条边相等，再根据内角和公式求出每一个内角，根据以AB为边向内作正△ABF，得出∠FAB＝∠ABF＝∠F＝60°，AF＝
AB＝FB，从而选择正确选项．
【解答】解：在正五边形ABCDE中内角和：180°×3＝540°， ∴∠C＝∠D＝∠E＝∠EAB＝∠ABC＝540°÷5＝108°，
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∴D不符合题意；
∵以AB为边向内作正△ABF，
∴∠FAB＝∠ABF＝∠F＝60°，AF＝AB＝FB， ∵AE＝AB，
∴AE＝AF，∠EAF＝∠FBC＝48°， ∴A、B不符合题意； ∴∠F≠∠EAF， ∴C符合题意； 故选：C．
【点评】此题主要考查正多边形的计算问题、等边三角形的性质，掌握正多边形定义及内角和公式、等边三角形的性质的综合应用是解题关键．
6．（4分）为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间（时间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图），其中有两个数据被遮盖．关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A．平均数
B．中位数
C．众数
D．方差
【分析】根据条形统计图中的数据，可以判断出平均数、众数、方差无法计算，可以计算出中位数，本题得以解决． 【解答】解：由统计图可知，
平均数无法计算，众数无法确定，方差无法计算，而中位数是（9+9）÷2＝9， 故选：B．
【点评】本题考查条形统计图、平均数、中位数、众数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（ ）
A．BF＝1
B．DC＝3
C．AE＝5
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D．AC＝9
【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A． 【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB， ∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°， ∵DE∥AB， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴AE＝DE， ∵DE＝5，DF＝3，
∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确； ∴CE＝
＝4，
∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确； ∵DE∥AB，∠DFB＝90°， ∴∠EDF＝∠DFB＝90°， ∴∠CDF+∠FDB＝90°， ∵∠CDF+∠DEC＝90°， ∴∠DEC＝∠FDB， ∵∠C＝∠DFB，CD＝FD， ∴△ECD≌△DFB（AAS）， ∴CE＝BF＝4，故选项A错误； 故选：A．
【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（4分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠
AOD为（ ）
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A．70°
B．65°
C．50°
D．45°
＝
，最后由
【分析】先根据三角形的内角和定理可得∠B＝25°，由垂径定理得：圆周角定理可得结论． 【解答】解：∵OF⊥BC， ∴∠BFO＝90°， ∵∠BOF＝65°，
∴∠B＝90°﹣65°＝25°， ∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径， ∴
＝
，
∴∠AOD＝2∠B＝50°． 故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
9．（4分）已知a＞b＞0，且a+b＝3ab，则（+）÷（
2
2
2
﹣）的值是（ ）
A． B．﹣ C．
2
D．﹣
2
【分析】利用分式的加减法法则，乘除法法则把分式进行化简，由a+b＝3ab，得出（a+b）
2
＝5ab，（a﹣b）＝ab，由a＞b＞0，得出a+b＝
2
，a﹣b＝，代入计算，即可
得出答案．
【解答】解：（+）÷（
2
﹣）
＝÷
＝•
＝﹣
2
2
，
∵a+b＝3ab，
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∴（a+b）＝5ab，（a﹣b）＝ab， ∵a＞b＞0， ∴a+b＝∴﹣
＝﹣
，a﹣b＝
＝﹣
，
＝﹣
，
22
故选：B．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的加减法法则，分式的乘除法法则，把分式正确化简是解决问题的关键．
10．（4分）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝mx﹣2mx+n（m≠0）上，当x1+x2
＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A．0＜m≤2
B．﹣2≤m＜0
C．m＞2
D．m＜﹣2
2
2
【分析】根据题意和题目中的抛物线，可以求得抛物线的对称轴，然后分类讨论即可得到m的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝mx﹣2mx+n（m≠0）， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣
＝m，
2
2
∵当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2， ∴当m＞0时， 0＜2m≤4， 解得0＜m≤2； 当m＜0时， 2m＞4， 此时m无解；
由上可得，m的取值范围为0＜m≤2， 故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．
11．（4分）比较大小：2 ＜ 3．（选填＞，＝，＜）
【分析】先分别计算2和3的值，再进行比较大小，即可得出答案． 【解答】解：∵2＝，3＝1， ∴2＜3， 故答案为：＜．
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﹣20
﹣20
﹣20
﹣20
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，掌握负整数指数幂的意义，零指数幂的意义是解决问题的关键．
12．（4分）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是
．
【分析】用物理变化的张数除以总张数即可．
【解答】解：从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有2种结果，
所以从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率为＝， 故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13．（4分）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得AC，BC两边中点的距离DE为10m（如图），则A，B两点的距离是 20
m．
【分析】利用三角形中位线定理解决问题即可． 【解答】解：∵CD＝AD，CE＝EB， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB＝2DE， ∵DE＝10m， ∴AB＝20m， 故答案为：20．
【点评】本题考查三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
第7页（共25页）
14．（4分）若为整数，x为正整数，则x的值是 4或7或8 ．
【分析】利用二次根式的性质求得x的取值范围，利用算术平方根的意义解答即可． 【解答】解：∵8﹣x≥0，x为正整数， ∴1≤x≤8且x为正整数， ∵∴当当当
为整数， ＝0或1或2， ＝0时，x＝8， ＝1时，x＝7， ＝2时，x＝4，
综上，x的值是4或7或8， 故答案为：4或7或8．
【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，二次根式的性质，利用二次根式的性质求得x的取值范围是解题的关键．
15．（4分）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 8 m时，水柱落点距O点4m．
【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y＝ax+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；喷头高4m时，可设y＝ax+bx+3；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y＝ax+bx+h，将（4，0）代入可求出h．
【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高2.5m时，可设y＝ax+bx+2.5， 将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0①； 喷头高4m时，可设y＝ax+bx+3；
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2
2
2
2
2
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②， 联立可求出a＝﹣，b＝，
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m， ∴此时的解析式为y＝﹣x+x+h， 将（4，0）代入可得﹣×4+×4+h＝0， 解得h＝8． 故答案为：8．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．
16．（4分）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接
22
A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论：①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB＝45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为
；④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积为
．其中正确的结论是 ①②③ ．（填写序号）
【分析】①正确．根据SAS证明三角形全等即可；
②正确．过点D作DT⊥CA1于点T，证明∠ADE+∠CDT＝45°，∠CDT＝∠BCA1即可； ③正确．连接PA，AC．因为A，A1关于DE对称，推出PA＝PA1，推出PA1+PC＝PA+PC≥AC＝
，可得结论；
④错误．过点A1作A1H⊥AB于点H，求出EB，A1H，可得结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BA＝BC，∠ABC＝90°， ∵∠A1BA2＝∠ABC＝90°， ∴∠ABA1＝∠CBA2， ∵BA1＝BA2，
∴△ABA1≌△CBA2（SAS），故①正确，
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过点D作DT⊥CA1于点T， ∵CD＝DA1， ∴∠CDT＝∠A1DT，
∵∠ADE＝∠A1DE，∠ADC＝90°， ∴∠ADE+∠CDT＝45°，
∵∠CDT+∠DCT＝90°，∠DCT+∠BCA1＝90°， ∴∠CDT＝∠BCA1，
∴∠ADE+∠BCA1＝45°，故②正确． 连接PA，AC． ∵A，A1关于DE对称， ∴PA＝PA1，
∴PA1+PC＝PA+PC≥AC＝∴PA1+PC的最小值为
， ，故③正确，
过点A1作A1H⊥AB于点H， ∵∠ADE＝30°， ∴AE＝A1E＝AD•tan30°＝∴EB＝AB﹣AE＝1﹣∵∠A1EB＝60°， ∴A1H＝A1E•sin60°＝∴
＝×（1﹣
×
＝，
，故④错误．
，
，
）×＝
故答案为：①②③．
【点评】本题考查正方形的性质，解直角三角形，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
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17．（8分）先化简，再求值：（x+2）（3x﹣2）﹣2x（x+2），其中x＝【分析】提取公因式x+2，再利用平方差公式计算，再代入计算． 【解答】解：原式＝（x+2）（3x﹣2﹣2x） ＝（x+2）（x﹣2） ＝x﹣4， 当x＝原式＝（
﹣1时， ﹣1）﹣4＝﹣2
2
2
﹣1．
．
【点评】本题考查整数的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分别与
AC交于点M，N．
求证：（1）△ADE≌△CDF． （2）ME＝NF．
【分析】（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定SAS，可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质，可以得到DE＝DF，DM＝DN，从而可以得到ME＝NF．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB， ∵BE＝BF， ∴AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）； （2）由（1）知△ADE≌△CDF， ∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF， ∵四边形ABCD是菱形，
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∴∠DAM＝∠DCN， ∴∠DMA＝∠DNC， ∴∠DMN＝∠DNM， ∴DM＝DN， ∴DE﹣DM＝DF﹣DN， ∴ME＝NF．
【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．挑战数学游戏．要求七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答下列问题： 项目 人数/人
A
5
B
15
C a
D b
（1）a＝ 20 ，b＝ 10 ．
（2）扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为 108 度．
（3）在月末的展示活动中，“C”项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率．
【分析】（1）由A项目人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以D项目人数所占比例求出b，再根据四个项目人数之和等于总人数得出a；
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（2）用360°乘以B项目人数所占比例即可；
（3）七（1）班3人分别用A、B、C表示，七（2）班2人分别D、E表示，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）被调查的总人数为5÷10%＝50（人）， ∴b＝50×20%＝10（人）， 则a＝50﹣（5+15+10）＝20， 故答案为：20、10；
（2）扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为360°×故答案为：108；
（3）七（1）班3人分别用A、B、C表示，七（2）班2人分别D、E表示， 根据题意画图如下：
＝108°，
共有25种等可能的情况数，其中这两人来自不同班级的有12种， 则这两人来自不同班级的概率是
．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x+3x+k﹣2＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程x+3x+k﹣2＝0有实数根，可知Δ≥0，即可求得k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系和（x1+1）（x2+1）＝﹣1，可以求得k的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x+3x+k﹣2＝0有实数根， ∴Δ＝3﹣4×1×（k﹣2）≥0， 解得k≤
，
；
2
2
2
2
即k的取值范围是k≤
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（2）∵方程x+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x1＝﹣3，x1x2＝k﹣2， ∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1， ∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1， ∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1， 解得k＝3， 即k的值是3．
【点评】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方有根时Δ≥0，以及根与系数的关系．
21．（10分）如图，直线AB与双曲线交于A（1，6），B（m，﹣2）两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC． （1）求直线AB与双曲线的解析式． （2）求△ABC的面积．
2
【分析】（1）根据点A的坐标可以求得双曲线的解析式，然后即可求得点B的坐标，再用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）先求出直线BO的解析式，然后求出点C的坐标，再用割补法即可求得△ABC的面积． 【解答】解：（1）设双曲线的解析式为y＝， ∵点A（1，6）在该双曲线上， ∴6＝， 解得k＝6， ∴y＝，
∵B（m，﹣2）在双曲线y＝上， ∴﹣2＝，
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解得m＝﹣3，
设直线AB的函数解析式为y＝ax+b，
，
解得
，
即直线AB的解析式为y＝2x+4；
（2）作BG∥x轴，FG∥y轴，FG和BG交于点G，作BE∥y轴，FA∥x轴，BE和FA交于点E，如右图所示， 直线BO的解析式为y＝ax， ∵点B（﹣3，﹣2）， ∴﹣2＝﹣3a， 解得a＝，
∴直线BO的解析式为y＝x，
，
解得或，
∴点C的坐标为（3，2），
∵点A（1，6），B（﹣3，﹣2），C（3，2）， ∴EB＝8，BG＝6，CG＝4，CF＝4，AF＝2，AE＝4， ∴S△ABC＝S矩形EBGF﹣S△AEB﹣S△BGC﹣S△AFC ＝8×6﹣
﹣
﹣
＝48﹣16﹣12﹣4 ＝16．
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【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．
【分析】（1）连接OC，证明OC⊥CD即可； （2）过点O作OH⊥BC于点H．由sin∠BAC＝
＝，可以假设BC＝4k，AB＝5k，则
AC＝OC＝CE＝3k，用k表示出OH，EH，可得结论．
【解答】（1）证明：连接OC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵∠BCD＝∠BAC， ∴∠OCB+∠DCB＝90°， ∴OC⊥CD， ∵OC为⊙O的半径，
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∴CD是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OH⊥BC于点H． ∵sin∠BAC＝
＝，
∴可以假设BC＝4k，AB＝5k，则AC＝OC＝CE＝3k， ∵OH⊥BC， ∴CH＝BH＝2k， ∵OA＝OB， ∴OH＝AC＝k，
∴EH＝CE﹣CH＝3k﹣2k＝k，
∴tan∠CEO＝＝＝．
【点评】本题考查切线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
23．（10分）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价）
种类
真丝衬衣 真丝围巾
进价（元/件） 售价（元/件）
a
300
80 100
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价
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销售，每件最多降价多少元？
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值；
（2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件，根据真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题； （3）设每件真丝围巾降价y元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，结合要保证销售利润不低于原来最大利润的90%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意得：50a+80×25＝15000， 解得：a＝260． 答：a的值为260．
（2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件， 依题意得：300﹣x≥2x， 解得：x≤100．
设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000． ∵20＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝100时，w取得最大值，最大值＝20×100+6000＝8000，此时300﹣x＝300﹣100＝200．
答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
（3）设每件真丝围巾降价y元，
依题意得：（300﹣260）×100+（100﹣80）××200+（100﹣y﹣80）××200≥8000×90%， 解得：y≤8．
答：每件真丝围巾最多降价8元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
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24．（10分）如图，在矩形ABCD中，点O是AB的中点，点M是射线DC上动点，点P在线段AM上（不与点A重合），OP＝AB． （1）判断△ABP的形状，并说明理由．
（2）当点M为边DC中点时，连接CP并延长交AD于点N．求证：PN＝AN． （3）点Q在边AD上，AB＝5，AD＝4，DQ＝，当∠CPQ＝90°时，求DM的长．
【分析】（1）由已知得：OP＝OA＝OB，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得结论；
（2）如图1，延长AM，BC交于点Q，先证明△ADM≌△QCM（ASA），得AD＝CQ＝BC，根据直角三角形斜边中线的性质可得PC＝BQ＝BC，由等边对等角和等量代换，及角的和差关系可得结论；
（3）分两种情况：作辅助线，构建相似三角形，设DM＝x，QG＝a，则CH＝a+，BH＝
AG＝4﹣﹣a＝﹣a，①如图2，点M在CD上时，②如图3，当M在DC的延长线上时，
根据同角的三角函数和三角形相似可解答． 【解答】（1）解：△ABP是直角三角形，理由如下： ∵点O是AB的中点， ∴AO＝OB＝AB， ∵OP＝AB， ∴OP＝OA＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠APO， ∵∠OAP+∠APO+∠OBP+∠BPO＝180°， ∴∠APO+∠BPO＝90°， ∴∠APB＝90°，
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∴△ABP是直角三角形；
（2）证明：如图1，延长AM，BC交于点Q，
∵M是CD的中点， ∴DM＝CM，
∵∠D＝∠MCQ＝90°，∠AMD＝∠QMC， ∴△ADM≌△QCM（ASA）， ∴AD＝CQ＝BC， ∵∠BPQ＝90°， ∴PC＝BQ＝BC， ∴∠CPB＝∠CBP， ∵∠OPB＝∠OBP， ∴∠OBC＝∠OPC＝90°， ∴∠OPN＝∠OPA+∠APN＝90°， ∵∠OAP+∠PAN＝90°，∠OAP＝∠OPA， ∴∠APN＝∠PAN， ∴PN＝AN；
（3）解：分两种情况：
①如图2，点M在CD上时，过点P作GH∥CD，交AD于G，交BC于H，
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设DM＝x，QG＝a，则CH＝a+，BH＝AG＝4﹣﹣a＝∵PG∥DM， ∴△AGP∽△ADM，
﹣a，
∴＝，即，
∴PG＝x﹣ax， ∵∠CPQ＝90°， ∴∠CPH+∠QPG＝90°， ∵∠CPH+∠PCH＝90°， ∴∠QPG＝∠PCH， ∴tan∠QPG＝tan∠PCH，即∴PH•PG＝QG•CH， 同理得：∠APG＝∠PBH， ∴tan∠APG＝tan∠PBH，即∴PG•PH＝AG•BH＝AG， ∴AG＝QG•CH，即（∴a＝
，
2
2
2
＝，
＝，
﹣a）＝a（+a），
2
∵PG•PH＝AG， ∴（x﹣
x）（5﹣x+•x）＝（﹣），
2
解得：x1＝12（舍），x2＝， ∴DM＝；
②如图3，当M在DC的延长线上时，同理得：DM＝12，
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综上，DM的长是或12．
【点评】本题主要考查了四边形综合题，涉及相似三角形的性质，动点问题，三角函数，三角形全等的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确的画出图形，分情况讨论，难度较大．
25．（12分）抛物线y＝x+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN并延长到点D，使ND＝NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求点M的坐标．
2
【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得b，c，进而得出抛物线的解析式；
（2）在BC的下方存在一个点P，在BC的上方时两个，其中过BC下方的点P的直线l与BC平行的直线与抛物线相切，根据直线l的解析式与抛物线解析式可以得出一个一元
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二次方程，该一元二次方程的根的判别式为0，从而求得b的值，进而得出在BC的上方的直线解析式，与抛物线联立成方程组，进一步求得结果；
（3）作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，设D点的横坐标为a，根据△BHN∽△BFD得出DF＝2NH，根据△OMG∽△ONH得出MG＝2NH，OG＝2OH＝
a+4，从而KF＝MG＝DF，根据tan∠DEB＝2tan∠DBE可表示出EF，根据△DEF∽△DMK可
得出a的值，进一步求得结果． 【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣；
（2）如图1，
作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离， ∵BC的解析式为y＝x﹣4， ∴设直线l的解析式为：y＝x+b， 由
＝x+b得，
x2﹣4x﹣3（b+4）＝0，
∵Δ＝0， ∴﹣3（b+4）＝4， ∴b＝﹣
2
，
，
∴x﹣4x+4＝0，y＝x﹣
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∴x＝2，y＝﹣∴P1（2，﹣∵E（0，﹣
， ），
），C（0，﹣4），
）），
∴F（0，﹣4×2﹣（﹣即（0，﹣），
∴直线m的解析式为：y＝x﹣，
∴，
∴，，
∴P2（2﹣2，﹣2﹣），P3（2+2）或（2﹣2
，2，﹣2
﹣）， ﹣）或（2+2
，2
﹣）；
综上所述：点P（2，﹣（3）如图2，
作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K， 设D点的横坐标为a， ∵BN＝DN，
∴BD＝2BN，N点的横坐标为：∴OH＝
，
，
∵MH∥DF，
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∴△BHN∽△BFD， ∴
∴DF＝2NH，
同理可得：△OMG∽△ONH， ∴
＝
， ，
∴MG＝2NH，OG＝2OH＝a+4， ∴KF＝MG＝DF， ∵tan∠DEB＝2tan∠DBE ∴
＝2•
， ，
∴EF＝
∵BF＝4﹣a， ∴EF＝∵EF∥MK， ∴△DEF∽△DMK， ∴
＝
，
，
∴∴a＝0，
，
∴OG＝a+4＝4， ∴G（﹣4，0）， 当x＝﹣4时，y＝∴M（﹣4，）．
【点评】本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，一次函数和二次函数图象的交点与方程组之间的关系，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是利用相似三角形寻找线段间的数量关系．
﹣
﹣4＝，
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