大学物理(北邮大)习题4答案

4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动；

(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)．

题4-1图

解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系统的运动微分方程能用

d220 2dt描述时，其所作的运动就是谐振动． (1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力．

(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中 ，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为mgsin，如题4-1图(b)所示．题

S→0，所以回复力为mg.式中负号，表示回复力的方向R始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向

中所述，S＜＜R，故上有

d2mR2mg

dt令2g，则有 Rd220 2dt4-2 劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．

题4-2图

解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有FF1F2，设串联弹簧的等效倔强系数为K串等效位移为x，则有

Fk串xF1k1x1

F2k2x2

又有 xx1x2

x所以串联弹簧的等效倔强系数为

FFF12 k串k1k2k串k1k2

k1k2即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为kk1k2/(k1k2)的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为

T22m(k1k2)m 2k串k1k2(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有FF1F2，即xx1x2，设并联弹簧的倔强系数为k并，则有

k并xk1x1k2x2

故 k并k1k2 同上理，其振动周期为

T2m

k1k24-3 如题4-3图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．

题4-3图

解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有

d2xmgsinT1m2 ①

dtT1RT2RI ②

d2x 2R T2k(x0x) ③

dt式中x0mgsin/k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有

Id2x(mR)2kxR

RdtkR2令  2mRI2则有

d2x2x0 2dt故知该系统是作简谐振动，其振动周期为

mR2ImI/R2T2(2) 2KkR24-4 质量为1010kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x谐振动，求：

(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；

(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)t25s与t11s两个时刻的位相差；

30.1cos(82)3(SI)的规律作

解：(1)设谐振动的标准方程为xAcos(t0)，则知：

A0.1m,8,T121s,02/3 41又 vmA0.8ms 2.51ms

am2A63.2ms2

(2) Fmmam0.63N

12mvm3.16102J 21EpEkE1.58102J

2E当EkEp时，有E2Ep， 即

12112kx(kA) 22222Am 220∴ x (3) (t2t1)8(51)32

4-5 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表

示．如果t0时质点的状态分别是：

(1)x0A；

(2)过平衡位置向正向运动； (3)过xA处向负向运动； 2A2处向正向运动．

(4)过x试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 x0Acos0

vAsin002xAcos(t)

T23xAcos(t)

T22xAcos(t)

T325xAcos(t)

T4将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有

12343323544-6 一质量为1010kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t0时位移为

24cm．求：

(1)t0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x12cm处所需的最短时间； (3)在x12cm处物体的总能量．

解：由题已知 A2410m,T4.0s ∴ 又，t0时，x0A,00 故振动方程为

220.5Trads1

x24102cos(0.5t)m

(1)将t0.5s代入得

x0.524102cos(0.5t)m0.17m

Fmam2x10103()20.174.2103N2方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (2)由题知，t0时，00，



A,且v0,故t 232∴ t/s

323tt时 x0 (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为

E121kAm2A222110103()2(0.24)2 227.1104J4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm．用这个弹簧和一个质量为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后 ，给予向上的初速度

v05.0cms1，求振动周期和振动表达式．

解：由题知

m1g1.01039.81 k0.2Nm2x14.91022-1而t0时，x01.010m,v05.010ms ( 设向上为正)

又 k0.225,即T1.26s m81032Ax0(v0)2225.01022(1.010)()

52102mv05.01025 tan01,即02x01.01054∴ x52102cos(5t)m

4

4-8 图为两个谐振动的xt曲线，试分别写出其谐振动方程．

题4-8图

解：由题4-8图(a)，∵t0时，x00,v00,0即 3,又,A10cm,T2s 22Trads1

3)m 2A5由题4-8图(b)∵t0时，x0,v00,0

23故 xa0.1cos(tt10时，x10,v10,122

又 11∴ 535 25 6565)m 34-9 一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子．现有一质量为m的物体从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．

故 xb0.1cos(t(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大?

(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程． 解：(1)空盘的振动周期为2MMm，落下重物后振动周期为2，即增大． kk(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，t0时，则x0量守恒，即

mg．碰撞时，以m,M为一系统动km2gh(mM)v0

则有 v0于是

m2gh

mMmg2m22gh2Ax()()()k(mM)20v02

mg2kh1k(mM)g（3）tan0v02kh (第三象限)，所以振动方程为 x0(Mm)gk2khcostarctan

mM(Mm)g3mg2khx1k(mM)g4-10 有一单摆，摆长l1.0m，摆球质量m1010kg，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量Ft1.0104kgms1，取打击时刻为计时起点(t0)，求振动

的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程．

解：由动量定理，有

Ftmv0

Ft1.01040.01∴ vm1.0103ms-1

1按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知t0时，x00,v00.01ms ＞0

∴ 03/2 又 g9.83.13rads1 l1.02x0(∴ A故其角振幅

v0)2v00.013.2103m 3.13小球的振动方程为

A3.2103rad l323.2103cos(3.13t)rad

4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一振动的位相差为

，已知第一振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动6的位相差．

题4-11图

解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知

2A2A12A22A1Acos30(0.173)2(0.2)220.1730.23/2 0.01∴ A20.1m 设角AA1O为，则

2A2A12A22A1A2cos

2A12A2A2(0.173)2(0.1)2(0.02)2cos即 2A1A220.1730.10即2，这说明，A1与A2间夹角为

，即二振动的位相差为. 224-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：

x5cos(3t)cmx5cos(3t)cm1133(1)  (2)

74x25cos(3tx25cos(3t)cm)cm337解： (1)∵ 212,

33∴合振幅 AA1A210cm

4, 33∴合振幅 A0

(2)∵ 4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为

x0.4cos(2t)m16 5x20.3cos(2t)m6试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。 解：∵ 5() 66∴ A合A1A20.1m

5Asin1A2sin2663 tan15A2cos1A2cos230.4cos0.3cos660.4sin0.3sin∴ 其振动方程为

6

x0.1cos(2t)m

6(作图法略)

*

4-14 如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知x方向的振动方程为x6cos2tcm，求y方向的振动方程．

题4-14图

解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为转，故知两分振动位相差为

3或；又，轨道是按顺时针方向旋

22.所以y方向的振动方程为 2y12cos(2t)cm

2