中考数学复习专题解析圆附详细答案

专题：圆

一、选择题

1. （2001广东深圳3分）已知两圆的半径分别是3厘米和4厘米，它们的圆心距是5厘米，则这两圆的位置关系是【 】

(A) 外离 (B) 外切 (C) 内切 (D) 相交

2. （2001广东深圳3分）已知：如图，AB是⊙O的直径，直线EF切⊙O于点B，C、D是⊙O上的点，

弦切角∠CBE=40o， ADCD，则∠BCD的度数是【 】

(A) 110o (B) 115o (C) 120o (D) 135o

3.（深圳2003年5分）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD=5，AC=7，BE=3，下列命题错误的是【 】

A、△AED∽△BEC B、∠AEB=90º C、∠BDA=45º D、图中全等的三角形共有2对

4.（深圳2004年3分）已知⊙O1的半径是3，⊙O2的半径是4，O1O2=8，则这两圆的位置关系是【 】

A、相交 B、相切 C、内含 D、外离

5.（深圳2004年3分）如图，⊙O的两弦AB、CD相交于点M，AB=8cm，M是AB的中

点，CM：MD=1：4，则CD=【 】

A、12cm B、10cm C、8cm D、5cm

6.（深圳2004年3分）圆内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切圆于C，若∠BCD=120º，

则∠BCE=【 】

A、30º B、40º C、45º D、60º

7.（深圳2005年3分）如图，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的

延长线交于点C，若CE=2，则图中阴影局部的面积是【 】

A、

42213 B、 C、3 D、

33338.（深圳2009年3分）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD//BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm．图中阴影局部的面积为【 】

A.

3 cm2 B. 2223 cm 3C. 23 cm2 D. 43 cm2

9.（2012广东深圳3分）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内OB上一点，∠BM0=120o，则⊙C的半径长为【 】

A．6 B．5 C．3 D。32 二、填空题

1. （2001广东深圳3分）如图, ⊙O的直径AB=10cm，C是⊙O上一点，点D平分BC，DE=2cm，则弦AC= 。

第一题图 第二题图

2.（深圳2010年招生3分）下图中正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B 两点，分别以A、B 两点为圆心，画与x 轴相切的两个圆，若点A（2 , 1) ，则图中两个阴影局部面积的和是

3.（深圳2011年3分）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120º，弦AB=23cm，则OA= cm.

三、解答题

1.（深圳2003年18分）如图，已知A（5，－4），⊙A与x 轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相且于点D，

（1）求过D、B、C三点的抛物线的解析式； （2）连结BD，求tan∠BDC的值；

（3）点P是抛物线顶点，线段DE是直径，直线PC与直线DE相交于点F，∠PFD的

平分线FG交DC于G，求sin∠CGF的值。

2.（深圳2008年8分）如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．

（1）求证：BD是⊙O的切线．

（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积 为8，cos∠BFA＝

2，求△ACF的面积． 3

3.（深圳2009年10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B

7.两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.

（1）连结PA，若PA=PB，试推断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

4.（深圳2010年招生8分）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC，

( 1 ) ( 2 分）求证：MN 是半圆的切线，

( 2 ) ( 3 分）设D 是弧AC 的中点，连接BD交AC 于G , 过D 作DE⊥AB于E，交AC于F．

求证：FD＝FG..

( 3 ) ( 3 分）若△DFG的面积为4.5 ，且DG＝3，GC＝4， 试求△BCG的面积．

5.（深圳2011年8分）如图1，在⊙O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至D，使CA=CD，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE. （1）求证：AE是⊙O的直径；

（2）如图2，连接CE，⊙O的半径为5，AC长为4，求阴影局部面积之和.(保存与根号)

参考答案：

1. D。【考点】两圆的位置关系。

【分析】依据两圆的位置关系的断定：外切（两圆圆心间隔 等于两圆半径之和），内切（两圆圆心间隔 等于两圆半径之差），相离（两圆圆心间隔 大于两圆半径之和），相交（两圆圆心间隔 小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心间隔 小于两圆半径之差）。因此，

∵4－3＝1＜5，4＋3＞5，∴这两圆的位置关系是相交。故选D。

2. B。【考点】切线的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，圆内接四边形的性质。 【分析】如图，连接BD，

∵AB是⊙O的直径，直线EF切⊙O于点B， ∴EF⊥AB，即∠ABE＝900。

∵弦切角∠CBE＝40o，∴∠ABC＝50o。

∵ADCD，∴∠ABD＝∠DBC＝25o。

又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90o。∴∠BAD＝65o。

∵A、B、C、D四点共圆，∴∠BCD＝180o－65o＝115o。故选B。

3. D。【考点】圆周角定理，相像三角形的断定，等腰三角形的断定和性质，勾股定理逆定理，全等的三角形的断定。

【分析】A、依据圆周角定理的推论，可得到：∠ADE=∠BCE，∠DAE=∠CBE∴△AED∽BED，正确；

B、由四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD，有ABCD，从而依据等

弧所对圆周角相等的性质，得∠EBC=∠ECB，由等腰三角形等角对等边的性质，得BE=CE，∴BE=CE=3，AB=5，AE=AC－CE=4，依据勾股定理的逆定理，△ABE为直角三角形，即∠AEB=90°，正确；

C、AE=DE，∴∠EAD=∠EDA=45°，正确；

D、从已知条件不难得到△ABE≌△DCE、△ABC≌△DCB、△ABD≌DCA共3

对，错误。故选D。

4. D。【考点】两圆的位置关系。

【分析】依据两圆的位置关系的断定：外切（两圆圆心间隔 等于两圆半径之和），内切（两圆圆心间隔 等于两圆半径之差），相离（两圆圆心间隔 大于两圆半径之和），相交（两圆圆

心间隔 小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心间隔 小于两圆半径之差）。∵⊙O1的半径是3，⊙O2的半径是4，O1O2=8，则3+4=7＜8，∴两圆外离。故选D。 5. B。【考点】相交弦定理。

【分析】依据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进展计算：

∵CM：DM=1：4，∴DM=4CM。

又AB=8，M是AB的中点，∴MA=MB=4。

由相交弦定理得：MA•MB=MC•MD，即4·4=MC•4MC，解得MC=2。 ∴CD=MC+MD=MC+4MC=10。故选B。

6. A。【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的性质，弦切角定理。 【分析】由弦切角定理可得：∠BCE=∠BAC；因此欲求∠BCE，必先求出 ∠BAC的度数．已知∠BCD=120°，由圆内接四边形的对角互补，可得出 ∠BAD=60°，而AC平分∠BAD，即可求出∠BAC的度数。

∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180°。∴∠BAD=180°－120°=60°。 ∵AC平分∠BAD，∴∠BAC= ∠BAD=30°。

∵EF切⊙O于C，∴∠BCE=∠BAC=30°。故选A。 7.

8. B。【考点】平行的性质，圆的对称性，角平分线的定义，圆周角定理，勾股定理。

【分析】要求阴影局部的面积，就要从图中看出阴影局部是由哪几局部得来的，然后依面积公式计算：

由AD//BC和圆的对称性，知ABDC。

∵AC平分∠BCD，∴ADABDC。∴AD=AB=DC。

又∵AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，∴∠ACD=∠DAC=30°。 ∴∠BAC=90°，∠B=60°。∴BC是圆的直径，且BC=2AB。 ∴依据四边形ABCD的周长为10cm可解得圆的半径是2cm。 由勾股定理可求得梯形的高为3cm。

112412所以阴影局部的面积=（半圆面积－梯形面积）=223332233（cm2）。故选B。

9.C。【考点】坐标与图形性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，含30度角的直角三角形的性质。

【分析】∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°。

∵AB是⊙O的直径，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°－∠BAO=90°－60°=30°，∵

点A的坐标为（0，3），∴OA=3。∴AB=2OA=6，∴⊙C的半径长=填空题

1【答案】6cm。

【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理。

【分析】∵点D平分BC，∴OD是BC的中垂线，即BC=CE，OD⊥BC。 ∵的直径AB=10cm，DE=2cm，∴OB=OD=5cm，OE=3cm。

∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC。∴OE是△ABC的中位线。∴AC=2OE=6cm。 2【答案】。

【考点】圆和双曲线的中心对称性，圆的切线的性质。

【分析】由题意，依据圆和双曲线的中心对称性，知图中两个阴影局部面积的和是圆的面积；由两个圆与x 轴相切和点A（2 , 1) ，知圆的半径为1，面积为，因此图中两个阴影局部面积的和是。 3【答案】2。

【考点】三角形内角和定理，垂径定理，特别角三角函数值。

AB =3。故选C。 2【分析】过O作OD⊥AB于D。∵∠AOB=120º，∴∠OAB=30º。

又∵∠ADO=90º，AD=AB3，

12∴OA=

ADcosOAD3322。

三．解答题

1【答案】解：（1）∵A（5，－4），⊙A与x 轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相且于点D，

∴由圆的性质和弦径定理可得D（0，－4），B（2，0），C（8，0）。 设过D、B、C三点的抛物线的解析式为yax2bxc。将D、B、C的坐

标代入，得

1c4a1254，解得，，∴抛物线的解析式为y=x x4。 4a2bc0542b64a8bc02c4

【考点】二次函数综合题，弦径定理，圆周角定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程

的关系，锐角三角函数定义，特别角的三角函数值，勾股定理。

【分析】（1）由A点坐标，即可得出圆的半径和OD的长，连接AB，过A作BC的垂线不难求出B、C的坐标．然后可用待定系数法求出抛物线的解析式。

（2）取弧BC的中点H，连接AH、AB，依据弦径定理和圆周角定理可得出∠BDC=

1∠BAC=∠BAH，由此可求出∠BDC的正切值。（也可通过求弦切角∠PCO的正21∠CFD，而∠PCO=∠PFD=∠BDC，那2切值来得出∠BDC的正切值）

（3）由于∠CGF=∠CDF+∠GFD=∠CDF+么∠CGF=∠CDF+

1∠BDC=∠HDF，在直角三角形AOH中，DA=AH，因此∠HDF=45°，2即∠CGF=45°，据此可求出其正弦值。 2【答案】解：（1）证明：连接BO，

∵AB=AO，BO=AO，∴AB＝AD＝AO。∴△ABO为等边三角形。 ∴∠BAO=∠ABO=60°。 ∵AB=AD，∴∠D=∠ABD。

又∠D+∠ABD=∠BAO=60°，∴∠ABD=30°。 ∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO。 又∵BO是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线。

（2）∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF，∴△ACF∽△BEF。

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°。

S4BF2BF2在Rt△BFA中，cos∠BFA＝，∴BEF 。

SACFAF39AF3

又∵SBEF＝8，∴SACF822918。4

【考点】等边三角形的断定和性质，三角形外角定理，等腰三角形的性质，切线的断定，圆周角定理，锐角三角函数的定义，相像三角形的断定和性质。

【分析】（1）由等边三角形的断定和性质、三角形外角定理和等腰三角形的性质推断△DOB是直角三角

形，则∠OBD=90°，BD是⊙O的切线。

5.同弧所对的圆周角相等，可证明△ACF∽△BEF，得出一相像比，再利用三角形的面积比等

于相像比的平方即可求解。

3【答案】解：（1）⊙P与x轴相切。理由如下：

∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），

∴OA=4，OB=8。

由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.。

在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径。 ∴⊙P与x轴相切。

（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD。 当圆心P在线段OB上时，作PE⊥CD于E。 ∵△PCD为正三角形，∴DE=

3313CD=，PD=3，∴PE=。

222∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB。

∴

33AOPE4315。 , 即 =2。∴PB2ABPBPB45315315315。∴P(0, 8。 8)。∴k222315315－8)。∴k =－－8， 22∴POBOPB8当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P(0，－∴当k=315315－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点22的三角形是正三角形。

【考点】切线的断定，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，相像三角形的断定和性质。

【分析】（1）通过一次函数可求出A、B两点的坐标及线段的长，再在Rt△AOP利用勾股定理可求得当PB=PA时k的值，再与圆的半径相比拟，即可得出⊙P与x轴的位置关系．

（2）依据正三角形的性质，分圆心P在线段OB上和圆心P在线段OB的延长线

上两种状况探讨即可。

4【答案】解：（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝900。 ∴∠BAC＋∠ABC＝900。

又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠BAC＋∠MAC＝900。∴MN⊥AB。 ∴MN 是半圆的切线。

（2）∵D 是弧AC 的中点，∴∠CBD＝∠DBA。 ∵∠ACB＝900，∴∠DGF＝∠CGB＝900－∠CBD 又∵DE⊥AB，∴∠GDF＝900－∠DBA。 ∴∠DGF＝∠GDF。∴FD＝FG.。 （3）过点F作FH⊥DG于点H，

则由FD＝FG，DG＝3，△DFG的面积为4.5，得HG=1.5，S△FHG＝∵∠GCB＝900，FH⊥DG，∴∠GCB＝∠GHF＝900。

4.59 。

24S又∵∠CGB＝∠HGF，∴△BCG＝△FHG。∴

S∴SBCGBCGFHG9HG1.5 CG4642296416。 49【考点】圆切线的断定，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，对顶角的性质，等腰三角形的断定和性质，相像三角形的性质。

【分析】（1）要证MN 是半圆的切线，只要证MN⊥AB即可。由圆周角定理和直角三角形两锐角的关系，经过等量代换，即可证得∠BAC＋∠MAC＝900，从而得证。

（2）由等弧所对圆周角相等的性质，直角三角形两锐角的关系和对顶角相等的性质，可证得∠DGF＝∠GDF，由等腰三角形等角对等边的断定，即可得FD＝FG.。

（3）过点F作FH⊥DG于点H，由等腰三角形三线合一的性质可得HG=1.5，S△FHG＝

4.59。由相像三角形的性质即可求得△BCG的面积。 245【答案】解：（1）证明：如图，连接AB、BC，

∵点C是劣弧AB上的中点，∴CACB。∴CA＝CB 。 又∵CD＝CA ， ∴CB＝CD＝CA 。 ∴在△ABD中，CB=

1AD。 ∴∠ABD＝90°。∴∠ABE＝90°。 2 ∴AE是⊙O的直径。

(2) 如图，由（1）可知，AE是⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°。 ∵⊙O的半径为5，AC＝4 ， ∴AE＝10，⊙O的面积为25π 。 在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：

CE=

AB2AC2221 ∴SACE∴S阴影11ACCE4221421 221125S⊙OSACE25421421 222【考点】直角三角形的断定，直径与圆周角的关系，勾股定理。

【分析】（1）要证AE是⊙O的直径，只要证AE所对的圆周角是直角即可。故作协助线连接AB、BC，由已知的点C为劣弧AB的中点和CA=CD即易证得。

(2) 求阴影局部面积之和，只要求⊙O的面积减去△ACE的面积即可。