东兴市高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学

一、选择题

1． “

”是“A=30°”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ 2． “方程

+

D．既不充分也必要条件

=1表示椭圆”是“﹣3＜m＜5”的（ ）条件． B．充要

C．充分不必要

A．必要不充分 D．不充分不必要

3． 已知数列｛an｝满足an8和m，则Mm（ ） A．

2n7（nN）.若数列｛an｝的最大项和最小项分别为M n21127259435 B． C． D． 223232 =0，则满足

4． 已知定义在R上的可导函数y=f′x）（x）是偶函数，且满足xf（＜0，的x的范围为（ ）

A．（﹣∞，）∪（2，+∞） B．（，1）∪（1，2） C．（，1）∪（2，+∞） D．+∞） ∪（0，）（2，

5． 已知集合A1,2,3,k,B4,7,a4,a23a，且aN,xA,yB使B中元素y3x1和A中的元素

*x对应，则a,k的值分别为（ ）

A．2,3 B．3,4 C．3,5 D．2,5

6． 已知全集为R，集合Ax|x2或x3，B2,0,2,4，则(ðRA)B（ ）

A．2,0,2 B．2,2,4 C．2,0,3 D．0,2,4 7． 一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为（ ）

（A） 8

（ B ） 4

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（C） （D）

8 34 3；④在吸烟

8． 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程y=bx+a必过人吸烟，那么他有99%的可能患肺病；其中错误的个数是（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

B．[﹣1，2]

与患肺病这两个分类变量的计算中，从性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某

9． 不等式≤0的解集是（ ）

A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2） 1，2]

C．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞） D．（﹣

10．在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）

A．最多可以购买4份一等奖奖品 B．最多可以购买16份二等奖奖品 C．购买奖品至少要花费100元 D．共有20种不同的购买奖品方案

，且获得一等奖

y21长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率11．（2016广东适应）已知双曲线的顶点为椭圆x2的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）

22222222A．xy1 B．yx1 C．xy2 D．yx2

212．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2（x∈R），则不等式f（x）＜2x+1的解集为（ ） A．（1，+∞）

B．（﹣∞，﹣1）

C．（﹣1，1）

D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

二、填空题

13．fx）=已知（

fx﹣2）fx） ≥（，若不等式（对一切x∈R恒成立，则a的最大值为 ．

14．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，则（∁UA）∪B= ． 15．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号） ①“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件；

②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；

④动圆P过定点A（﹣2，0），且在定圆B：（x﹣2）2+y2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P的轨迹为一个椭圆．

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16．二面角α﹣l﹣β内一点P到平面α，β和棱l的距离之比为1：度．

：2，则这个二面角的平面角是

17．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点． ①若AC=BD，则四边形EFGH是 ； ②若AC⊥BD，则四边形EFGH是 ．

x21,x0x18．已知函数f(x)，g(x)21，则f(g(2)) ，f[g(x)]的值域为 ．

x1,x0【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.

三、解答题

19．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R （Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．

20．（本小题满分12分） 已知椭圆C的离心率为

2，A、B分别为左、右顶点， F2为其右焦点，P是椭圆C上异于A、B的 2动点，且PAPB的最小值为-2. （1）求椭圆C的标准方程；

（2）若过左焦点F1的直线交椭圆C于M、N两点，求F2MF2N的取值范围.

21．一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行四边形，侧（左）视图 是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形． （1）求该几何体的体积V；111] （2）求该几何体的表面积S．

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22．已知函数f（x）=

（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为0和3．

（1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）若函数f（x）的极大值为

23．（本小题满分12分）

已知点M为圆C:xy4上一个动点，点D是M在x轴上的投影，P为线段MD上一点，且与点Q关

22，求函数f（x）在区间[0，5]上的最小值．

于原点O对称，满足QPOMOD． （1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）过点P作E的切线l与圆相交于A,B两点，当QAB的面积最大时，求直线l的方程．

24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD=2，PD=2PD，Q为PD的中点．

，PA⊥

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（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；

（Ⅱ）若平面PAD⊥底面ABCD，求直线PD与平面AQC所成角的正弦值．

25．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，满足a3=8，a3﹣a2﹣2a1=0． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式

（Ⅱ）记bn=log2an，求数列{an•bn}的前n项和Sn．

26．已知数列{an}和{bn}满足a1•a2•a3…an=2（1）求an和bn； （2）设cn=

*

（n∈N），记数列{cn}的前n项和为Sn，求Sn．

*

（n∈N），若{an}为等比数列，且a1=2，b3=3+b2．

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东兴市高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】B 【解析】解：“A=30°”⇒“故选B

【点评】本题考查充要条件的判断和三角函数求值问题，属基本题．

2． 【答案】C

【解析】解：若方程

+

=1表示椭圆，则满足

，即

，

”，反之不成立．

即﹣3＜m＜5且m≠1，此时﹣3＜m＜5成立，即充分性成立， 当m=1时，满足﹣3＜m＜5，但此时方程性不成立． 故“方程故选：C．

+

+

=1即为x2+y2=4为圆，不是椭圆，不满足条件．即必要

=1表示椭圆”是“﹣3＜m＜5”的充分不必要条件．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查椭圆的标准方程，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，是基础题．

3． 【答案】D 【解析】

2n72n52n52n7，， a8aan1n1nnn1n1n22222n522n72n9，当1n4时，an1an,即a5a4a3a2a1；当n5时,an1an,n1n12225911即a5a6a7....因此数列an先增后减,n5,a5为最大项，n,an8，a1,最小

3221111259435项为，mM的值为．故选D.

223232试题分析：数列an8考点：数列的函数特性. 4． 【答案】D

【解析】解：当x＞0时，由xf′（x）＜0，得f′（x）＜0，即此时函数单调递减， ∵函数f（x）是偶函数， ∴不等式即|

|＞，即

等价为f（|＞或

|）＜＜﹣，

，

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解得0＜x＜或x＞2，

故x的取值范围是（0，）∪（2，+∞） 故选：D

【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．

5． 【答案】D 【解析】

44a331a3k1试题分析：分析题意可知：对应法则为y3x1，则应有（1）或（2），

22a3a3k1a3a331a2*由于aN，所以（1）式无解，解（2）式得：。故选D。

k5考点：映射。 6． 【答案】A 【解析】

考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集. 7． 【答案】A

【解析】

1根据三视图可知，该几何体是长方体中挖去一个正四棱锥，故该几何体的体积等于2232238

38． 【答案】C

【解析】解：对于①，方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，正确；

对于②，设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y应平均减少5个单位，②错误； 对于③，线性回归方程y=bx+a必过样本中心点系时，

我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病，错误； 综上，其中错误的个数是2． 故选：C．

9． 【答案】D

，正确；

对于④，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关

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【解析】解：依题意，不等式化为解得﹣1＜x≤2， 故选D

，

【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．

10．【答案】D

【解析】【知识点】线性规划

【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，

则根据题意有：，作可行域为：

A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。 其中，x最大为4，y最大为16．

最少要购买2份一等奖奖品，6份二等奖奖品，所以最少要花费100元。 所以A、B、C正确，D错误。 故答案为：D 11．【答案】D

【解析】∵椭圆的端点为(0,2)，离心率为

22，∴双曲线的离心率为2， 依题意双曲线的实半轴a2，∴c2，b2，故选D．

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2，16），（3，9），12．【答案】A

【解析】解：令F（x）=f（x）﹣2x﹣1， 则F′（x）=f′（x）﹣2，

又∵f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2， ∴F′（x）=f′（x）﹣2＜0恒成立，

∴F（x）=f（x）﹣2x﹣1是R上的减函数， 又∵F（1）=f（1）﹣2﹣1=0，

∴当x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即f（x）﹣2x﹣1＜0， 即不等式f（x）＜2x+1的解集为（1，+∞）； 故选A．

【点评】本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式的方法应用，属于中档题．

二、填空题

13．【答案】 ﹣ ．

【解析】解：∵不等式f（x﹣2）≥f（x）对一切x∈R恒成立， ∴若x≤0，则x﹣2≤﹣2．

则不等式f（x﹣2）≥f（x）等价为，﹣2（x﹣2）≥﹣2x， 即4≥0，此时不等式恒成立， 若0＜x≤2，则x﹣2≤0，

2

则不等式f（x﹣2）≥f（x）等价为，﹣2（x﹣2）≥ax+x， 2

即ax≤4﹣3x，

则a≤设h（x）=

=﹣，

2

﹣=4（﹣）﹣9，

∵0＜x≤2，∴≥，

则h（x）≥﹣9，∴此时a≤﹣9， 若x＞2，则x﹣2＞0，

22

则f（x﹣2）≥f（x）等价为，a（x﹣2）+（x﹣2）≥ax+x，

即2a（1﹣x）≥2，

∵x＞2，∴﹣x＜﹣2，1﹣x＜﹣1， 则不等式等价，4a≤即2a≤﹣则g（x）=﹣

在x＞2时，为增函数，

=﹣

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∴g（x）＞g（2）=﹣1， 即2a≤﹣1，则a≤﹣， 故a的最大值为﹣， 故答案为：﹣

【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用分类讨论的数学思想，结合参数分离法进行求解即可．

14．【答案】 {2，3，4} ．

【解析】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}， ∴CUA={3，4}， 又B={2，3}，

∴（CUA）∪B={2，3，4}，

故答案为：{2，3，4}

15．【答案】 ①③④

【解析】解：①“p∧q为真”，则p，q同时为真命题，则“p∨q为真”，

当p真q假时，满足p∨q为真，但p∧q为假，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件正确，故①正确；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，

③设正三棱锥为P﹣ABC，顶点P在底面的射影为O，则O为△ABC的中心，∠PCO为侧棱与底面所成角 ∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=∵侧棱长为2，∴

在直角△POC中，tan∠PCO=∴侧棱与底面所成角的正切值为

，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，

④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣2，0）和定圆的圆心B（2，0）的距离之和恰好等于定圆半径， 即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|． ∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆， 故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确， 故答案为：①③④

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16．【答案】 75 度．

【解析】解：点P可能在二面角α﹣l﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P在二面角α﹣l﹣β的内部

时，如图，A、C、B、P四点共面，∠ACB为二面角的平面角，

由题设条件，点P到α，β和棱l的距离之比为1：

故答案为：75． 键．

17．【答案】 菱形 ； 矩形 ．

：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．

【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关

【解析】解：如图所示：①∵EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC ∴四边形EFGH是平行四边形 又∵AC=BD ∴EF=FG

∴四边形EFGH是菱形．

②由①知四边形EFGH是平行四边形 又∵AC⊥BD， ∴EF⊥FG

∴四边形EFGH是矩形． 故答案为：菱形，矩形

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【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，主要涉及了线段的中点，中位线定理，构成平面图形，研究平面图形的形状，是常考类型，属基础题．

18．【答案】2，[1,). 【

解

析】

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∴当

∴f（x）的单调递增区间是当∴当

即方程f（x）=α有三解．

；当

，单调递减区间是

的图象有3个不同交点，

，

（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，

x2y21；（2）F2MF2N[2,7). 20．【答案】（1）42【解析】

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试

c2c21题解析：（1）根据题意知，即2，

a2a2a2b21，则a22b2， ∴2a2设P(x,y)，

∵PAPB(ax,y)(ax,y)，

a2x212xayxa(xa2)，

222a22， ∵axa，∴当x0时，(PAPB)min222∴a4，则b2.

22222x2y21. ∴椭圆C的方程为4211

11]

42k24(k21)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1x2，x1x2， 2212k12k第 13 页，共 18 页

∵F2M(x12,y1)，F2N(x22,y2)，

∴F2MF2Nx1x22(x1x2)2k2(x12)(x22)

(1k2)x1x2(2k22)(x1x2)2k22

4(k21)42k222(1k)2(k1)2k2 2212k12k9. 712k212∵12k1，∴01.

12k29∴7[2,7). 212k综上知，F2MF2N[2,7).

2考点： 1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、平面向量的数量积公式、圆锥曲线中的最值问题.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.

21．【答案】（1）3；（2）623． 【解析】

（2）由三视图可知，

该平行六面体中A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1， ∴AA12，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，

S2(111312)623．1

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考点：几何体的三视图；几何体的表面积与体积．

【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图、解题的表面积与体积的计算，其中解答中涉及到几何体的表面积和体积公式的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状是解答的关键． 22．【答案】

【解析】解：f′（x）=

2

令g（x）=﹣ax+（2a﹣b）x+b﹣c

2

函数y=f′（x）的零点即g（x）=﹣ax+（2a﹣b）x+b﹣c的零点 2

即：﹣ax+（2a﹣b）x+b﹣c=0的两根为0，3

则解得：b=c=﹣a，

令f′（x）＞0得0＜x＜3

所以函数的f（x）的单调递增区间为（0，3）， （2）由（1）得：

函数在区间（0，3）单调递增，在（3，+∞）单调递减， ∴∴a=2， ∴

；

，

，

∴函数f（x）在区间[0，4]上的最小值为﹣2．

23．【答案】

【解析】（1）设P(x,y)，M(x0,y0)，则D(x0,0)． ∵点P与点Q关于原点O对称，∴QP2OP． ∵QPOMOD，∴2OPOMOD， ∴2(x,y)(x0,y0)(x0,0)，∴x0x，

y02y2222∵x0y04，∴x4y4，

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x2y21． ∴动点P的轨迹方程：4（2）当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意， ∴设直线l的方程为ykmm，

ykmm222 由2，得(4k1)x8kmx4m40． 2x4y4 ∵直线l与椭圆相切，

222222∴km4(4k1)(4m4)0，∴m4k1．

m原点O到直线l的距离d，则AB24d2，

1k212 ∴SQABAB2d2d4d 22d2(4d2)2(d22)244，

2当d2，即d2时，QAB的面积取得最大值4．

此时dm1k22，即m22k22，

m322m2k2 由2，解得2， 2m4k1k22222x3或yx3或yx3或yx3． ∴直线l的方程为y2222

24．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连接QN，BN． ∵Q，N是PD，PA的中点， ∴QN∥AD，且QN=AD． ∵PA=2，PD=2∴AD=4，

∴BC=AD．又BC∥AD， ∴QN∥BC，且QN=BC， ∴四边形BCQN为平行四边形，

∴BN∥CQ．又BN⊂平面PAB，且CQ⊄平面PAB， ∴CQ∥平面PAB．

（Ⅱ）解：取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO． 由（Ⅰ）知PA=AM=PM=2， ∴△APM为等边三角形，

，PA⊥PD，

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∴PO⊥AM．同理：BO⊥AM．

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD， ∴PO⊥平面ABCD．

以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则D（0，3，0），A（0，﹣1，0），P（0，0，∴

=（

，3，0），

=（0，3，﹣

），

），C（=（0，，

，2，0），Q（0，，）．

）．

设平面AQC的法向量为=（x，y，z）， ∴∴cos＜

，令y=﹣，＞=

得=（3，﹣=﹣

．

． ，5）．

∴直线PD与平面AQC所成角正弦值为

25．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q， 由an＞0可得q＞0，且a3﹣a2﹣2a1=0，

2

化简得q﹣q﹣2=0，

解得q=2或q=﹣1（舍），

2

∵a3=a1•q=4a1=8，∴a1=2，

∴数列{an}是以首项和公比均为2的等比数列，

n

∴an=2；

（Ⅱ）由（I）知bn=log2an=

n

∴anbn=n•2，

=n，

123n1n

∴Sn=1×2+2×2+3×2+…+（n﹣1）×2﹣+n×2，

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2Sn=1×22+2×23+…+（n﹣2）×2n﹣1+（n﹣1）×2n+n×2n+1，

123n1nn+1

两式相减，得﹣Sn=2+2+2+…+2﹣+2﹣n×2，

∴﹣Sn=﹣n×2

n+1

，

n+1

∴Sn=2+（n﹣1）2．

【点评】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．

26．【答案】

【解析】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵数列{an}和{bn}满足a1•a2•a3…an=2∴，，

， ∴b1=1，

=2q＞0，

=2q2，

又b3=3+b2．∴23=2q2

，解得q=2． ∴an=2n

．

∴=a1•a2•a3…an=2×22×…×2n=

，

∴． （2）cn=

==

﹣

=

，

∴数列{cn}的前n项和为Sn=

﹣+…+

=﹣2

=﹣2+

=

﹣

﹣1．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、了推理能力与计算能力，属于中档题．

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（n∈N*

），a1=2，

裂项求和”，考查“