潮阳区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

一、选择题

1． 若 A．

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

x，

B．5，2

C．

，且

，则λ与μ的值分别为（ ） D．﹣5，﹣2

2． 已知函数f(x)esinx，其中xR，e2.71828为自然对数的底数．当x[0,2函数yf(x)]时，

的图象不在直线ykx的下方，则实数k的取值范围（ ）

A．(,1) B．(,1] C．(,e) D．(,e]

【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用．

3． 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈那么，近似公式V≈A．

B．

C．

L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，

22L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）

D．

4． 若函数y=ax﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ） A．a＞1且b＜1 B．a＞1且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0

2D．0＜a＜1且b＜0

5． 设曲线f(x)x1在点(x,f(x))处的切线的斜率为g(x)，则函数yg(x)cosx的部分图象 可以为（ ）

A． B． C. D．

6． 已知复合命题p∧（￢q）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ） A．（￢p）∨q

B．p∨q C．p∧q D．（￢p）∧（￢q）

7． 如图所示，已知四边形ABCD的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长

为（ ）

A．22 B． C. D．42+2

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8． 图 1是由哪个平面图形旋转得到的（ ）

A． B． C． D．

9． 若m,n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A．若m,，则m B．若m,m//n，则//

C．若m,m//，则 D．若,，则

10．（A．﹣

02

）﹣（1﹣0.5﹣）÷

的值为（ ）

C．

B． D．

=（ ）

11．已知函数f（x）=2x，则f′（x）=（ ） A．2x

B．2xln2

C．2x+ln2

D．

12．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则

A．﹣1 B．2 C．﹣5 D．﹣3

二、填空题

13．在复平面内，复数14．已知双曲线

与

对应的点关于虚轴对称，且

，则

____．

的一条渐近线方程为y=x，则实数m等于 ．

15．某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 35000 2015年5月1日 12 48 35600 2015年5月15日 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升．

16．如图，在三棱锥PABC中，PAPBPC，PAPB，PAPC，△PBC为等边三角形，则PC 与平面ABC所成角的正弦值为______________.

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【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力． 17．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是 ．

18．（x﹣）6的展开式的常数项是 （应用数字作答）．

三、解答题

19．已知函数f（x）=log2（x﹣3）， （1）求f（51）﹣f（6）的值； （2）若f（x）≤0，求x的取值范围．

20．【南京市2018届高三数学上学期期初学情调研】已知函数f（x）＝2x3－3（a+1）x2＋6ax，a∈R． （Ⅰ）曲线y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；

（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）＋f（－x）≥12lnx恒成立，求a的取值范围； （Ⅲ）若a＞1，设函数f（x）在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M（a）、m（a）， 记h（a）＝M（a）－m（a），求h（a）的最小值．

21．已知函数f(x)

3x，x2,5． x1（1）判断f(x)的单调性并且证明；

（2）求f(x)在区间2,5上的最大值和最小值．

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22．一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分，现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆

32

上），设∠BOC=θ，直四棱柱木梁的体积为V（单位：m），侧面积为S（单位：m）．

（Ⅰ）分别求V与S关于θ的函数表达式； （Ⅱ）求侧面积S的最大值； （Ⅲ）求θ的值，使体积V最大．

23．（本题满分13分）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且与直线l1：x2y60相切，设点A为圆上 一动点，AMx轴于点M，且动点N满足ON（1）求曲线C的方程；

（2）若动直线l2：ykxm与曲线C有且仅有一个公共点，过F1(1,0)，F2(1,0)两点分别作F1Pl2，

131OA()OM，设动点N的轨迹为曲线C. 232F1Ql2，垂足分别为P，Q，且记d1为点F1到直线l2的距离，d2为点F2到直线l2的距离，d3为点P

到点Q的距离，试探索(d1d2)d3是否存在最值？若存在，请求出最值.

24．（本小题满分12分）某校为了解高一新生对文理科的选择，对1 000名高一新生发放文理科选择调查表，统计知，有600名学生选择理科，400名学生选择文科．分别从选择理科和文科的学生随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表：

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分数段 [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 率分布直方图．

理科人数 正 正 文科人数 正 （1）从统计表分析，比较选择文理科学生的数学平均分及学生选择文理科的情况，并绘制理科数学成绩的频

（2）根据你绘制的频率分布直方图，估计意向选择理科的学生的数学成绩的中位数与平均分．

25．已知z是复数，若z+2i为实数（i为虚数单位），且z﹣4为纯虚数． （1）求复数z；

26．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球． （1）若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？

2

（2）若复数（z+mi）在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．

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（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为X，求X的分布列和数学期望．

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潮阳区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：由又∴故选：A．

，得

，，解得

．

，

．

【点评】本题考查了平行向量与共线向量，考查向量的性质，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化，该题是基础题．

2． 【答案】B

x

【解析】由题意设g(x)f(x)kxesinxkx，且g(x)0在x[0,]时恒成立，而

2xosx0，所以h(x)在[0,]上递g'(x)ex(sinxcosx)k．令h(x)ex(sinxcosx)，则h'(x)2ec2增，所以1h(x)e2．当k1时，g'(x)0，g(x)在[0,]上递增，g(x)g(0)0，符合题意；当ke22时，g'(x)0，g(x)在[0,]上递减，g(x)g(0)0，与题意不合；当1ke2时，g(x)为一个递增

2函数，而g'(0)1k0，g'()e2k0，由零点存在性定理，必存在一个零点x0，使得g'(x0)0，

2当x[0,x0)时，g'(x)0，从而g(x)在x[0,x0)上单调递减，从而g(x)g(0)0，与题意不合，综上

所述：k的取值范围为(,1]，故选B．

3． 【答案】B

【解析】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr， ∴∴π=

．

=

2

（2πr）h，

故选：B．

4． 【答案】B

x

【解析】解：∵函数y=a﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限， 0

∴根据图象的性质可得：a＞1，a﹣b﹣1＜0，

即a＞1，b＞0，

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故选：B

5． 【答案】A 【解析】

试题分析：gx2x,gxcosx2xcosx,gxgx,cosxcosx，ygxcosx为奇函数，排除B，D，令x0.1时y0，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法. 6． 【答案】B

【解析】解：命题p∧（￢q）是真命题，则p为真命题，￢q也为真命题， 可推出￢p为假命题，q为假命题， 故为真命题的是p∨q， 故选：B．

【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q全假时假，p∧q全真时真．

7． 【答案】C 【解析】

考

点：平面图形的直观图. 8． 【答案】A 【解析】

试题分析：由题意得，根据旋转体的概念，可知该几何体是由A选项的平面图形旋转一周得到的几何体故选A.

考点：旋转体的概念. 9． 【答案】C 【解析】

试题分析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A不正确；两个平面平行，两个平面内的直线不一定平行，所以B不正确；垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，可能相交，也可能平行，所以D不正确；根据面面垂直的判定定理知C正确．故选C． 考点：空间直线、平面间的位置关系． 10．【答案】D

【解析】解：原式=1﹣（1﹣=1﹣（1﹣

）÷

）÷

=1﹣（1﹣4）×

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=1﹣（﹣3）× =1+ =． 故选：D．

【点评】本题考查了根式与分数指数幂的运算问题，解题时应细心计算，是易错题．

11．【答案】B

xx

【解析】解：f（x）=2，则f'（x）=2ln2， 故选：B．

【点评】本题考查了导数运算法则，属于基础题．

12．【答案】C

即2，﹣1是f′（x）=0的两个根，

32

∵f（x）=ax+bx+cx+d， 2

∴f′（x）=3ax+2bx+c， 2

由f′（x）=3ax+2bx+c=0，

【解析】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值，

=﹣5，

得2+（﹣1）=﹣1×2=

=﹣2，

=1，

即c=﹣6a，2b=﹣3a，

22

即f′（x）=3ax+2bx+c=3ax﹣3ax﹣6a=3a（x﹣2）（x+1），

则故选：C

=

=

【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．

二、填空题

13．【答案】-2

【解析】【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知：所以

故答案为：-2

14．【答案】 4 ．

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【解析】解：∵双曲线

又已知一条渐近线方程为y=x，∴故答案为4．

的渐近线方程为 y= =2，m=4，

x，

【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得渐近线方程为 y= 的关键．

15．【答案】 8 升．

故答案是：8．

16．【答案】 【

x，是解题

【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8．

21 7解

析

】

17．【答案】 存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 ．

【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．

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故答案为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．

18．【答案】 ﹣160

6

【解析】解：由于（x﹣）展开式的通项公式为 Tr+1=

•（﹣2）r•x6﹣2r，

=﹣160，

6

令6﹣2r=0，求得r=3，可得（x﹣）展开式的常数项为﹣8

故答案为：﹣160．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）∵函数f（x）=log2（x﹣3）， ∴f（51）﹣f（6）=log248﹣log23=log216=4； （2）若f（x）≤0，则0＜x﹣3≤1， 解得：x∈（3，4] 出错．

20．【答案】（1）a＝

【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，对数的运算性质，解答时要时时注意真数大于0，以免

118（2）（－∞，－1－]．（3） 2e27【解析】

f（x）＋f（－x）＝－6（a＋1）x2≥12lnx对任意x∈（0，+∞）恒成立， 所以－（a＋1）≥令g（x）＝

（2）

212lnx2lnx，x＞0，则g（x）＝．

x3x22lnx． x2第 11 页，共 17 页

令g（x）＝0，解得x＝e．

当x∈（0，e）时，g（x）＞0，所以g（x）在（0，e）上单调递增； 当x∈（e，＋∞）时，g（x）＜0，所以g（x）在（e，＋∞）上单调递减．

1， e11所以－（a＋1）≥，即a≤－1－，

ee1所以a的取值范围为（－∞，－1－]．

e所以g（x）max＝g（e）＝（3）因为f（x）＝2x3－3（a＋1）x2＋6ax，

所以f ′（x）＝6x2－6（a＋1）x＋6a＝6（x－1）（x－a），f（1）＝3a－1，f（2）＝4． 令f ′（x）＝0，则x＝1或a． f（1）＝3a－1，f（2）＝4．

②当

5＜a＜2时， 3

当x∈（1，a）时，f （x）＜0，所以f（x）在（1，a）上单调递减； 当x∈（a，2）时，f （x）＞0，所以f（x）在（a，2）上单调递增．

又因为f（1）＞f（2），所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（a）＝－a3＋3a2， 所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－（－a3＋3a2）＝a3－3a2＋3a－1． 因为h （a）＝3a2－6a＋3＝3（a－1）2≥0． 所以h（a）在（

5，2）上单调递增， 3第 12 页，共 17 页

所以当a∈（

558，2）时，h（a）＞h（）＝． 3327③当a≥2时，

当x∈（1，2）时，f （x）＜0，所以f（x）在（1，2）上单调递减， 所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（2）＝4， 所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－4＝3a－5， 所以h（a）在[2，＋∞）上的最小值为h（2）＝1． 综上，h（a）的最小值为

8． 27点睛：已知函数最值求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数最值取法，根据最值列等量关系，确定参数值或取值范围；（2）利用最值转化为不等式恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.

21．【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）最小值为，最大值为2.5. 【解析】

3(x1x2)0，所以f(x)在2,5(x11)(x21)5上是增函数；（2）由（1）知，最小值为f(2)2，最大值为f(5).

2试题分析：（1）在2,5上任取两个数x1x2，则有f(x1)f(x2)试题解析：

在2,5上任取两个数x1x2，则有

f(x1)f(x2)所以f(x)在2,5上是增函数．

3x13x23(x1x2)0， x11x21(x11)(x21)所以当x2时，f(x)minf(2)2， 当x5时，f(x)maxf(5)考点：函数的单调性证明．

【方法点晴】本题主要考查利用定义法求证函数的单调性并求出单调区间，考查化归与转化的数学思想方法.先在定义域内任取两个数x1x2，然后作差f(x1)f(x2)，利用十字相乘法、提公因式法等方法化简式子成几个因式的乘积，判断最后的结果是大于零韩式小于零，如果小于零，则函数为增函数，如果大于零，则函数为减函数.1

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD） =10（2+4sin

+2cosθ）=20（cosθ+2sin

+1），θ∈（0，

），

），

5. 2梯形ABCD的面积SABCD=

﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，

）；

体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，

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（Ⅱ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin=20（cos设g（θ）=cos∴当sin 即θ=所以θ=

=，θ∈（0，

+1），θ∈（0，

），

+2sin

+2cosθ）

+1，g（θ）=﹣2sin2），

+2，

时，木梁的侧面积s最大． 时，木梁的侧面积s最大为40m．

2

2

（Ⅲ）V′（θ）=10（2cosθ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1）

令V′（θ）=0，得cosθ=，或cosθ=﹣1（舍）∵θ∈（0，当θ∈（0，当θ∈（∴当θ=

，

），∴θ=．

）时，＜cosθ＜1，V′（θ）＞0，V（θ）为增函数； ）时，0＜cosθ＜，V′（θ）＞0，V（θ）为减函数．

时，体积V最大．

23．【答案】

【解析】【命题意图】本题综合考查了圆的标准方程、向量的坐标运算，轨迹的求法，直线与椭圆位置关系；本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，还要注意对特殊情况的考虑，本题难度大.

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（2）由（1）中知曲线C是椭圆，将直线l2：ykxm代入 椭圆C的方程3x4y12中，得

22

(4k23)x28kmx4m2120

由直线l2与椭圆C有且仅有一个公共点知，

k2m24(4k23)(4m212)0，

整理得m4k3 …………7分

22且d1|mk|1k2，d2|mk|1k2

1当k0时，设直线l2的倾斜角为，则d3|tan||d1d2|，即d3|dd2dd24|m|||1|∴(d1d2)d3(d1d2)|1 2kk1k4|m|162 …………10分

1m31|m||m|4∵m4k3 ∴当k0时，|m|2222d1d2| k3

∴|m|1143，∴(d1d2)d343……11分 3|m|33第 15 页，共 17 页

2当k0时，四边形F1F2PQ为矩形，此时d1d23，d32

∴(d1d2)d323243 …………12分

综上1、2可知，(d1d2)d3存在最大值，最大值为43 ……13分 24．【答案】

【解析】解：（1）从统计表看出选择理科的学生的数学平均成绩高于选择文科的学生的数学平均成绩，反映了数学成绩对学生选择文理科有一定的影响，频率分布直方图如下．

（2）从频率分布直方图知，数学成绩有50%小于或等于80分，50%大于或等于80分，所以中位数为80分． 平均分为（55×0.005＋65×0.015＋75×0.030＋85×0.030＋95×0.020）×10＝79.5， 即估计选择理科的学生的平均分为79.5分． 25．【答案】

【解析】解：（1）设z=x+yi（x，y∈R）． 由z﹣4=（x﹣4）+yi为纯虚数，得x=4． ∴z=4﹣2i．

由z+2i=x+（y+2）i为实数，得y+2=0，即y=﹣2．

22

（2）∵（z+mi）=（﹣m+4m+12）+8（m﹣2）i，

根据条件，可知解得﹣2＜m＜2，

∴实数m的取值范围是（﹣2，2）．

【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义，属于基础题．

26．【答案】

【解析】解：（1）设事件A为“两手所取的球不同色”， 则P（A）=1﹣

．

（2）依题意，X的可能取值为0，1，2， 左手所取的两球颜色相同的概率为

=

，

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右手所取的两球颜色相同的概率为P（X=0）=（1﹣P（X=1）=P（X=2）=

=

．

1 =

．

）（1﹣）=

=

； =

=．

；

∴X的分布列为： X 0 P EX=0×

+1×

+2×

2 【点评】本题考查概率的求法和求离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．

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