2022-2023学年人教版九年级上册数学期末复习试卷含答案解析

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2．以下事件中，必然发生的是（ ） A．通常情况下，水加热到100℃沸腾 B．昨天考试小明得满分

C．打开电视机，正在播放体育节目 D．掷一次骰子，向上一面是5点

3．将抛物线y＝x2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为（ ） A．y＝x2﹣1

B．y＝x2﹣3

C．y＝（x+1）2﹣2 D．y＝（x﹣1）2﹣2

4．下列各点中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点是（ ） A．（﹣1，﹣2）

B．（1，2）

C．（﹣2，1）

D．（﹣1，2）

5．已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的⊙P与x轴的位置关系是（ ） A．相交

B．相切

C．相离

D．都有可能

6．已知函数y1＝ax2﹣4ax+c（a＞0），当1≤x≤4时，则﹣1≤y1≤3；当1≤x≤4时，y2＝﹣ax2+4ax+c的取值范围是（ ） A．3≤y2≤7

B．3≤y2≤6

C．16≤y2≤19

D．7≤y2≤19

7．CO，BC，已知：如图AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接CA，若∠ACO＝28°，则∠ABC＝（ ）

A．56° B．72° C．28° D．62°

8．如图，FA、FB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上一点，过点C的切线分别交FA、FB于D、E两点，若∠F＝60°，△FDE的周长为12，则⊙O的半径长为（ ）

A． B．2 C．2 D．3

9．某公司2019年4月份已投入1000万元科研经费，计划6月份投入科研经费比4月份多500万元，设该公司5、6两月投入科研经费的月平均增长率为x，则可列方程为（ ） A．1000（1+x）2＝1500 C．500（1+x）2＝1000

B．1000（1+x）2＝500 D．1000（1+2x）＝1500

10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为x＝1．给出下列结论，其中正确的结论有（ ） ①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分） 11．函数y＝

中，自变量x的取值范围是 ．

12．如图，已知圆锥的母线长为2，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的全面积 ．

13．若m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则15m﹣+2010的值为 ． 14．边长为1的正六边形的面积是 ．

15．BC＝5cm，如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为 cm．

16．如图，半径OA⊥弦BC于点D，将⊙O沿BC对折交AD于点E，tan∠ABE＝，△ABE的面积为36，则OD的长为 ．

17．如图，四边形AOBC是正方形，曲线CP1P2P3…叫做“正方形的渐开线”，其中，

，，，

的圆心依次按点A，O，B，C循环，点A的坐标为（2，0），按此规律进行下去，则点P2020的坐标为 ．

三．解答题（共7小题，满分69分） 18．（6分）计算：（

﹣2016）0+（）﹣1+

﹣．

19．（10分）（1）用配方法解方程：

（2）用因式分解法解方程：﹣2x2+3x+2＝0．

20．（8分）如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）当AB＝4，∠C＝30°时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．

21．（9分）商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明，这种冰箱每降低50元，平均每天多售出4台． （1）请确定降价后每天销售利润y与单价x之间的函数关系式． （2）当每台售价定为多少元时，每天的利润最大，最大利润为多少元？

（3）若商场每天盈利4800元，同时又要消费者得到更多实惠，每台冰箱应定价为多少元？

22．（10分）某中学对全校九年级学生进行了一次数学模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为

样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息，解答下列问题：

（1）将条形统计图补充完整；

（2）在扇形统计图中，表示成绩类别为“优”的扇形所对应的圆心角是 度；

（3）学校九年级共有600人参加了这次数学考试，估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩类别可以达到“中”（不包括“中”）以上？

（4）学校准备从成绩进步最大的3名同学（1名男生、2名女生）中随机选取2名同学介绍学习经验，则选出的同学恰好是2名女生的概率是 ．

23．（12分）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、C在y轴上，且点B与点C关于x轴对称，点D在线段AB上，点E为该坐标平面内一点．

（1）已知BD＝CE．

①如图1，若点E在线段AC上，求证：CD＝BE；

②如图2，若点E在线段BC上，且∠DEA＝∠ABC，求证：∠ACO＝2∠OAE．

（2）如图3，已知BD＝AE，点E在线段CA的延长线上，F为CD中点，且∠OAB＝30°，求证：BF⊥EF．

24．（14分）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，抛物线L1：y＝ax2+bx+c的顶点为A（1，4），且与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线L1的表达式；

（2）将抛物线L1向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线4，求抛物线L2的表达式；

（3）是否在抛物线L1上存在点P，在抛物线L2上存在点Q，使得以O、C、P、Q为顶点的四边形是以OC为边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参解析

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．解：A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误． 故选：B．

2．解：A、通常情况下，水加热到100℃沸腾是必然发生的，正确； B、昨天考试小明得满分是随机事件，错误；

C、打开电视机，正在播放体育节目是随机事件，错误； D、掷一次骰子，向上一面是5点是随机事件，错误； 故选：A．

3．解：将抛物线y＝x2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为y＝x2﹣2+1，即y＝x2﹣1． 故选：A．

4．解：∵点A（1，﹣2）与点（﹣1，2）关于原点对称， ∴点A（1，﹣2）关于原点对称的点是（﹣1，2）． 故选：D．

5．解：∵点P的坐标为（﹣2，3）， ∴点P到x轴的距离是3， ∵2＜3，

∴以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是相离， 故选：C．

6．解：∵y1＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a+c，

∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，c﹣4a）， ∵当1≤x≤4时，则﹣1≤y1≤3， ∴c﹣4a＝﹣1，

当x＝4时，y＝16a﹣16a+c＝3， ∴c＝3，

∴a＝1，

∵y2＝﹣ax2+4ax+c

∴y2＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7， ∴抛物线y2的对称轴为直线x＝2， ∵1≤x≤4，

∴在此范围内，当x＝2时，y2取最大值为7，当x＝4时，y2取最小值为﹣4+7＝3， ∴3≤y2≤7． 故选：A． 7．解：∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA＝28°， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝90°﹣28°＝62°， 故选：D．

8．解：连接OA，OF，

∵FA、FB分别与⊙O相切于A、B两点， ∴FB＝FA，∠BFO＝∴OF＝2OB，

∵DE与⊙O相切于C， ∴CE＝BE，CD＝AD， ∵△FDE的周长为12，

∴FE+ED+FD＝FE+CE+CD+FD＝FE+BE+AD+FD＝FB+FA＝12， ∴BF＝6，

∴OB2＝OF2﹣BF2， ∴OB2＝（2OB）2﹣62， 解得：OB＝2

，

，

∠BFA＝30°，∠OBF＝90°，

∴⊙O的半径长为2故选：C．

9．解：∵该公司5、6两个月科研经费的月均增长率为x，

∴1000（1+x）2＝1500． 故选：A．

10．解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵﹣

＝1，

∴b＝﹣2a＜0，

∵抛物线交y轴于负半轴， ∴c＜0，

∴abc＞0，故①正确， ∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故②正确， ∵x＝2时，y＜0， ∴4a+2b+c＜0，故③错误， ④∵x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0，

把b＝﹣2a代入得：3a+c＞0，故④正确； 故选：C．

二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分） 11．解：由题意得，2﹣x≥0， 解得，x≤2， 故答案为：x≤2．

12．解：∵AO⊥BC，∠BAO＝30°， ∴OB＝AB＝1，

∴圆锥的侧面积＝×2π×1×2＝2π，底面积为π， ∴全面积为3π． 故答案为：3π．

13．解：∵m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根， ∴5m2﹣3m﹣1＝0， ∴5m2﹣1＝3m，

两边同时除以m得：5m﹣＝3，

∴15m﹣+2010＝3（5m﹣）+2010＝9+2010＝2019，

故答案为2019．

14．解：∵此多边形为正六边形， ∴∠AOB＝∵OA＝OB，

∴△OAB是等边三角形， ∴OA＝AB＝1， ∴OG＝OA•cos30°＝1×

＝

， ＝．

，

＝60°；

∴S△OAB＝×AB×OG＝×1×∴S六边形＝6S△OAB＝6×故答案为：

．

＝

15．解：设G，H分别是⊙O的切点，由切线长定理得，BD＝BG，CE＝CG，MH＝MD，NH＝NE，

∴BD+CE＝BG+CG＝5（cm）， ∴AD+AE＝18﹣10＝8（cm），

∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+MD+AN+NE＝AD+AE＝8（cm）， 故答案为：8． 16．解：连接OB，BF，

∵将⊙O沿BC对折交AD于点E， ∴BE＝BF，DE＝DF， ∵AF是⊙O的直径， ∴∠ABF＝90°， ∴∠A+∠F＝90°， ∵半径OA⊥弦BC于点D， ∴∠F+∠FBD＝90°， ∴∠EBD＝∠FBD＝∠A， ∴∠ABE＝90°﹣2∠A， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠ABO， ∴∠ABO＝∠DBE， ∴∠ABE＝∠OBD， ∵tan∠ABE＝， ∴tan∠OBD＝，

设OD＝x，则BD＝4x，则OB＝＝

x，

∵DE＝DF＝OF﹣OD＝，

∴AE＝AD﹣DE＝x+x﹣（

x﹣x）＝2x， ∴S△ABE＝AE•BD＝＝36，

解得：x＝±3（负值舍去）， ∴OD＝3， 故答案为：3．

17．解：由题意可知：正方形的边长为2， ∵A（2，0），B（0，2），C（2，2），

P1（4，0），P2（0，﹣4），P3（﹣6，2），P4（2，10），P5（12，0），P6（0，﹣12）

…

P2020 （2，4042）

即：P2020的坐标是（2，4042）， 故答案为：（2，4042）． 三．解答题（共7小题，满分69分） 18．解：原式＝1+3+3

﹣

＝2

+4．

19．解：（1）∵x2﹣2x﹣＝0， ∴x2﹣2x＝，

则x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝，x2＝﹣； （2）∵﹣2x2+3x+2＝0， ∴2x2﹣3x﹣2＝0， ∴（x﹣2）（2x+1）＝0， 则x﹣2＝0或2x+1＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣．

20．（1）证明：连接OD，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，D是AC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴OD⊥DE， ∵点D在圆上， ∴DE为⊙O的切线；

（2）解：过点O作OF⊥AD，垂足为F，如图所示：

则AF＝DF，

∵OD∥BC，∠C＝∠ODF＝30°， ∴∠ADO＝30°， ∵OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA＝30°， ∴∠A＝∠C， ∴AB＝BC＝4，

∴OD＝2，∠AOD＝120°，OF＝1， ∴AF＝

OF＝

，AD＝2AF＝2

＝， ，

．

），

∴S△AOD＝AD•OF＝×1×2∴阴影部分面积＝

﹣

＝﹣

21．解：（1）根据题意，得y＝（x﹣2000）（8+4×即y＝﹣

x2+360x﹣400000；

x2+360x﹣400000

（2）∵y＝﹣

＜0

∴当x＝﹣＝2250时，y有最大值，

最大值为：

×22502+360×2250﹣400000＝5000（元）

∴每台冰箱的售价为2250元时，商场的利润最大，最大利润是5000元． （3）由题意，得﹣

x2+360x﹣400000＝4800．

整理，得x2﹣4500x+5060000＝0． 解这个方程，得x1＝2200，x2＝2300． 要使百姓得到实惠，取x＝2200元． ∴每台冰箱应定价为2200元．

22．解：（1）抽取的学生人数为：8÷16%＝50（人）， ∴50﹣10﹣22﹣8＝10（人）， 将条形统计图补充完整如图：

（2）在扇形统计图中，表示成绩类别为“优”的扇形所对应的圆心角是：360°×故答案为：72； （3）600×

＝384人（名），

＝72°，

即估算该校九年级共有384名学生的数学成绩类别可以达到“中”（不包括“中”）以上； （4）画树状图如图：

共有6个等可能的结果，选出的同学恰好是2名女生的结果有2个， ∴选出的同学恰好是2名女生的概率为＝， 故答案为：．

23．证明：（1）①∵点B和点C关于x轴对称， ∴AB＝AC， ∴∠CBD＝∠BCE， 在△CBD和△BCE中，∴△CBD≌△BCE（SAS）， ∴CD＝BE；

②∵∠DEA+∠DEB＝∠ACB+∠CAE，∠DEA＝∠ABC＝∠ACB，

，

∴∠DEB＝∠CAE， 在△BED和△CAE中，∴△BED≌△CAE（AAS）， ∴BE＝AC＝AB， ∴∠BEA＝∠BAE，

∵点B和点C关于x轴对称， ∴AB＝AC，OB＝OC， ∴∠BAO＝∠CAO，

∴∠BAE＝2∠CAO﹣∠EAC＝2∠OAE+∠EAC， ∵∠DEB＝∠CAE， ∴∠DEA＝2∠OAE， ∵∠DEA＝∠ABC＝∠ACO， ∴∠ACO＝2∠OAE；

（2）延长BF到点G，使BF＝FG，连接CG、EG、BE，如图3所示： ∵点B和点C关于x轴对称， ∴AB＝AC，OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OAC＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴CB＝AB，∠BCA＝60°， ∵F为DC中点， ∴DF＝CF，

在△BDF和△GCF中，∴△BDF≌△GCF（SAS）， ∴CG＝BD＝AE，∠CGF＝∠DBF， ∴BD∥CG，

∴∠GCA＝∠BAC＝60°，

∴∠BCG＝∠BCA+∠GCA＝60°+60°＝120°，

∵∠BAE＝180°﹣∠OAB﹣∠EAx＝180°﹣∠OAB﹣∠OAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴∠BCG＝∠BAE，

， ，

在△BCG和△BAE中，∴△BCG≌△BAE（SAS）， ∴∠CBG＝∠ABE，BG＝BE， ∵∠CBG+∠GBA＝60°，

，

∴∠ABE+∠GBA＝60°，即∠GBE＝60°， ∴△GBE是等边三角形， ∵F是BG的中点， ∴EF⊥BG， ∴BF⊥EF．

24．解：（1）由题意可设抛物线L1的表达式为y＝a（x﹣1）2+4， 将点C（0.3）代入得a+4＝3，解得a＝﹣1，

则抛物线L1的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3， 故抛物线L1的表达式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）把抛物线L1向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，即将点A向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，此时得到的点的坐标为（4，2）， 则抛物线L2的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+2＝﹣x2+8x﹣14， 故抛物线工的表达式为y＝﹣x2+8x﹣14；

（3）存在，如图，以点O、C、P、Q为顶点的平行四边形以OC为边，

∵PQ＝OC，且PQ∥OC， ∵OC＝3，且OC⊥x轴，

∴设点P（x．﹣x2+2x+3），则点Q（x，﹣x2+8x﹣14）， ∴PQ＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x2+8x﹣14）|＝|﹣6x+17|＝3， 当﹣6x+17＝3时，解得x＝， ∴﹣x2+2x+3＝

，此时点P1（，

，

，﹣）或（

）； ，﹣

）．

）；

当﹣6x+17＝﹣3时，解得x＝∴﹣x2+2x+3＝﹣

，此时点P1（

综上所述，点P的坐标为（，