高中数学重要知识点立体几何备课

一、平面及基本性质

公理1 Al,Bl,A,Bl 公理2 若P,P,则a且P

公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线）

二、空间两直线的位置关系

共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线

三、异面直线

（1）对定义的理解：不存在平面，使得a且b （2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理：P15

★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形. ②向量法 cos|cosa,b||ab||a||b| （注意异面直线所成角的范围(0,

2

]）

（4）证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；

②向量法 abab0

四、直线与平面的位置关系

1、直线与平面的位置关系

a,a//,aA

2、直线与平面平行的判定

b（1）判定定理: b//ab// (线线平行，则线面平行P17)

a（2）面面平行的性质：

//a// (面面平行，则线面平行) a3、直线与平面平行的性质

a//,aa//b (线面平行，则线线平行P18)

b★4、直线与平面垂直的判定

（1）直线与平面垂直的定义的逆用

l,la alm,ln（2）判定定理：m,nl （线线垂直，则线面垂直P23）

mnA（3）

a//ba （P25练习 第6题） b（4）面面垂直的性质定理：la （面面垂直，则线面垂直P51）

a,al（5）面面平行是性质：

//l l五、射影长定理

★6、三垂线定理及逆定理 线垂影线垂斜 1、空间两个平面的位置关系 相交和平行 2、两个平面平行的判定

（1）判定定理：

a//,b//// （线线平行，则面面平行）

a,b,abP（2）

l// 垂直于同一平面的两个平面平行 l（3）//,//// 平行于同一平面的两个平面平行 3、两个平面平行的性质

（1）性质1：//,aa//

（2）面面平行的性质定理：

//a//b （面面平行，则线线平行）

a,b（3）性质2：//,ll 4、两个平面垂直的判定与性质

（1）判定定理：a,a （线面垂直，则面面垂直）

（2）性质定理：面面垂直的性质定理：la （面面垂直，则线面垂直）

a,al六、 空间角

1、异面直线所成角（9.1） 2、斜线与平面所成的角 (0,2)

（1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足. （2）向量法：设平面的法向量为n，则直线AB与平面所成的角为，则

sin|cosAB,n|（3）两个重要结论

|ABn||AB|n|| (0,2)

最小角定理P48：coscos1cos2 ，P26,例4 P28第6题 3、二面角及其平面角 (0,)

（1）定义法，垂面法，★三垂线定理及逆定理 （2）射影面积法：cosS影S 关键是找准一个平面图形在二面角的另一个面上的射影面积

（3）向量法：设二面角的大小为，另个平面的法向量分别为n1,n2，θ=arccos

n1n2.

|n1||n2|七、 空间距离

1、求距离的一般方法和步骤

（1）找出或作出有关的距离； （2）证明它符合定义；

（3）在平面图形内计算（通常是解三角形） 2、求点到面的距离常用的两种方法 （1）等体积法——构造恰当的三棱锥；

（2）向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：d|ABn||n|

3、直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解

八、 棱柱、棱锥、球

1、棱柱 （1）棱柱的性质

①棱柱的每一个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的每一个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.

②棱柱的两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形 （2）平行六面体与长方体

①概念：底面是平行四边形的棱柱是平行六面体；侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体；底面为矩形的直平行六面体叫长方体，各侧棱长都相等的长方体叫正方体. ②性质：<1>平行六面体的对角线相交于一点且互相平分

<2>设长方体过同一顶点的三条棱长分别为a、b、c，一条对角线与过同一顶点的三条棱所成角分别为

、、,则★(i)体对角线的长为：la2b2c2

(ii)cos2cos2cos21

③公式

<1>S直棱柱侧cl，<2>V直棱柱S底面h 2、棱锥

（1）正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影是中心的棱锥 （2）棱锥的性质：

①平行于底面的截面与底面相似，面积之比等于相似比的平方

②正棱锥的侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（斜高）相等

★③正棱锥的高、斜高及其在底面上的射影组成一个Rt——可解决侧面与底面所成二面角；高、侧棱及其在底面上的射影组成一个Rt——可解决侧面与底面所成线面角. （3）公式 ①S正棱锥1‘1为斜高） ★②VSh——重视等体积法求点到面的距离 ch（h’32（4）三棱锥的常用性质

★①各侧棱相等时顶点在底面的射影为底面三角形的 外心

★②各侧棱与底面所成角相等时顶点在底面的射影底面三角形的 外心

③顶点到底面各边距离相等且射影落在底面内顶点在底面的射影时为底面三角形的 内心 ④各侧面与底面所成角相等时顶点在底面的射影为底面三角形的 内心 ⑤三条侧棱两两垂直时顶点在底面的射影为底面三角形的 垂心