一族高阶常微分方程边值问题解的存在性

第２Ｏ卷第２期　２００７年３月　浙江万里学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｚｈｅｊｉａｎｇ　ａｎｌｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｏ１．２Ｏ　Ｎｏ．２　Ｍａｒｃｈ　２００７　一族高阶常微分方程边值问题解的存在性　岑仲迪　（浙江万里学院，宁波３１５１００）　摘要：文章利用格林函数导　一族高阶常微分方程边值问题解的存在性定理．特别是利用广义格林函数证明了高　阶齐次方程存在非平凡解的情况下对应的高阶非齐次边值问题存在一解的充耍条件．　关键词：格林函数；高阶常微分方程；两点边值问题　中图分类号：０　１７５．１４　收稿日期：２００６—１　１—１５　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１—２２５０（２００７）０２—０００１—０５　基金项目：浙江省教育厅科研计划资助项日（编号：２００６０１８２）．　作者简介：岑仲迪，浙江万里学院数学研究所副教授，理学博上．　１　引言　本文考虑ｎ阶线性常微分方程　Ｌ［ｕ】三ａ　（ｘ）ｕ‘　（　）＋…＋ａｌ（ｘ）ｕ。（　）＋ａ０（　）　（　）＝－ｆ（ｘ），ａ＜　＜ｂ，　（１）　其中　（　）（ｉ＝Ｏ，　，…，ｎ）是区间【ｎ，６】上的连续函数，并且在区间【ｎ，６】上　（　）≠Ｄ，而厂（　）在区间【ｎ，６】上是分片　连续函数．微分方程（１）的解ｕ（　）满足如下ｎ个边值条件：　（　）＝　ｌ１　（　）＋…＋　１　Ｕ‘”　（　）＋　１　（６）＋…＋　Ｕ‘　（６）＝０，　：　（２）　（　）＝　１　（　）＋…＋　Ｕ‘　（　）＋　ｌ　（６）＋…＋　Ｕ‘　（６）＝０．　假设这ｎ个行向量（　，…ａ　，ｐ　…　），…（　，…ａｔ　ｐ　…　）是线性无关的（即没有一个向量可由其　它向量线性表出；特别地，没有一个向量是零向量）．　与初值问题不同，一般边值问题可能无解，可能有解，而且可能存在多个解．边值问题（１），（２）解的存在　性号睢一性的研究是非常重要和必要的．格林函数在解边值问题中经常起着非常重要的作用．本文利用格林　函数来得到高阶常微分方程边值问题解的存在性定理．　２解的存在性定理　首先假设高阶常微分方程齐次边值问题　Ｌ【ｕ】＝０，ａ＜ｘ＜ｂ，Ｂ，（ｕ）＝…Ｂ　（“）＝０　　一（３）　只有一个平凡解，即零解坝０我们可以构造惟一的格林函数Ｇ（ｘ，　）来求得高阶常微分方程非齐次边值问题．　Ｌ【ｕ】＝一厂（　），ａ＜ｘ＜ｂ，Ｂ，（“）＝…Ｂ　（ｕ）＝０　（４）　有关这方面的研究工作已经做了许多，可参见文献ｉ１，２】，这里我们给出一个利用格林函数来表示解的存　在惟一性的定理，参见文献【１，Ｃｈａｐｔｅｒ　３１．　定理１．如果齐次边值问题（３）只存在一个平凡解，那么非齐次边值问题（４）有且仅有一个解　（　）＝Ｉ　Ｇ（ｘ，　）厂（　）　．　（５）　维普资讯 http://www.cqvip.com

２　浙江万里学院学报　２００７年３月　下面我们假设齐次边值问题（３）存在一个非平凡解，即存在非零解，　称　ｆ［　］＝０，　Ｂ　（Ｙ）＝０，　１　，？　（６）　为方程（３）的共轭方程，其中Ｌ　是算子Ｌ的共轭算子，满足　＿１）”　（　（＿１　筹　－ｌＶ）＋．．－＋（＿１）丢（ａｌｖ）＋（ａｏＶ）．　如果ｌＺ，　是　，６］中的任意函数，那么由格林公式可得　（　～　＝　（　）ｆ　，　（　）＝∑∑（一１）　Ｄ　（口　Ｖ）Ｄ　．　（７）　现在另外选择ｎ个日　ｕ）（ｎ＋ｌ　２ｎ）使得２ｎ个Ｂ。（ｕ）是线性无关的，那么存在２ｎ个惟一的线性无关　的日　（ｕ）（，　ｉ￣２ｎ）使得（７）能表示成　Ｉ（Ｖ（　）　［　（　）卜　（　）ｒ［Ｖ（　）】）　：ａｌ（　）　（ｖ）＋　）　（ｖ）＋…＋Ｂ：　（　）　（ｖ）．　（８　这方面的内容可参见文献【２】．　引理１．如果齐次边值问题（３）存在一个非平凡解，那么共轭齐次边值问题（６）也存在一个非平凡解．　证明：这个结论容易从文献［２，Ｃｈａｐｔｅｒ　３］中导出．　下面我们引人广义格林函数来导出一般边值问题（４）解的存在性定理．　定理２．非齐次边值问题（４）存在一解　（　）＝Ｉ　Ｇ（ｘ，４）ｆ（４）ｄ４　．．　（９）　当且仅当　Ｉ　（　）　（　）ｄ４＝０，　（１０）　这里唬是共轭方程（６）的一个正规化解，即　Ｉ　（　）　一．　（１　１）　边值问题　Ｌ［Ｇ（ｘ，　）】＝　（ｘ）ｏ（　），　∈［口，ｂ】＼　，Ｂ。（Ｇ）＝…＝Ｂ　（Ｇ）＝０　（１２）　的解Ｇ（　，　）称为广义格林函数．Ｇ‘　’（　，　）（１　ｋ　／７－－２）在点　＝　处连续，并且除点　＝４￣ｋＧ（　’（　，　）　也连续．在点　＝　处，Ｇ（ｎ－１）（　，　）有一跃度为一１／　（　）的跳跃．另外，Ｇ（ｘ，　）还满足条件　广Ｇ（　，４￣０２（　）　＝０，　（１３）　这里　）是齐次边值问题（３）的一个正归化解，即　ｅ（　（　））　ｄｘ一．　证明：先证必要性．方程　［　］＝－ｆ两边同乘以　，并在区间　，　］上作积分可得　Ｉ＇０　帕　Ｉ　（　）　［　】　＝一Ｉ　ｆ（ｘ）（ｋｏ（ｘ）ｄｘ．　（１４）　由格林公式（７），（８）和边值条件可得　广（　［　卜ＣＬ＇［Ｏｏ１）＆＝０．　维普资讯 http://www.cqvip.com

第２期　岑仲迪：一族高阶常微分方程边值问题解的存在性　３　由于ｒ［　］＝０，故有　Ｉ　［　］　＝０．　因此，由上式可得　（１５）　［ｆ（Ｘ）＃ｏ（Ｘ）ｄＸ＝０，　（１６）　这是方程（４）存在一解的必要条件．　下面证明方程（４）存在一解的充分条件．　令　（　）是方程　［　］＝　（　）　（　）满足（４）中边值条件的解．如果对上述方程两边同乘以　（　）并在区间　ａ，６】上积分，则有　ｅ　（　）　［　］　＝　（　）ｒ　）　．　但由（１４），（１０）可知上面等式的左边为零，故有　（　）Ｉ　（ｘ）ｄｘ＝０．　因此可得　（　）＝０，由引理１可知这与我们假设　（　）是齐次方程（６）的一个非平凡解矛盾．这表明　】：　（　）　（　）满足（４）中边值条件的方程不存在一个非平凡解．为避免这种情况，我们考虑方程　三［纠：　（　）　（　）的通解，也就是说，　（　）＝Ｃｌ（　）　（　）＋ｃ　（　）　（　）＋．．．＋ｃ　（　）　（　）＋　（　，　．　这里　（　）（１　ｉ≤，２）是方程　【　］＝０的一组线性无关解，而　（　，考）是方程　［　］＝　（　）　（　）的一个特解．　现在我们构造一个广义格林函数　Ｇ　，　＝｛要　三：　其中　Ｇ。（　，　）＝Ｃｌ（　）　（　）＋…＋　（　）　（　）＋　（　，　），　Ｇ２（　，　）＝ｃ　（　）　（　）＋…十ｃ：（　）　（　）＋　（　，　）．　令Ｇ　，　）满足（４）中的边值条件，并且在　＝　处是（ｎ一２）次连续可微的．由这（２凡一２）个条件可推出ｃ　（　＝１，　…，ｎ一，），Ｃｉ＊（　＝１，…，ｎ）可由ｃ，　线性表示．　下面我们证明：如果　（　）是正规化的，那么　Ｇ　磐一　．　由格林公式知　［Ｇ］一Ｇ　［　］＝－￣Ｊ（Ｇ，　），　∈［　，６］＼　．　又由Ｌ［Ｇ］＝　（　）　（　）（　∈［　，ｂ］＼　）和　［　］＝０可得　（　）　（　）＝－￣Ｊ（Ｇ，　），　∈［口，６］＼　对上式在区间　ｂ】上进行积分可得　ｆ　（　）　（　）出＝Ｊ（Ｇ，　）　＋　（Ｇ，　）Ｉ　＋．　维普资讯 http://www.cqvip.com

４　浙江万里学院学报　２００７年３月　帕　，　由于Ｉ　（　）　＝１，上面的等式可化为　（　）＝　（Ｇ，　）　＋　（Ｇ，　）Ｉ　：．　由Ｇ和　满足（４）中的边值条件可知　（Ｇ，　）ｌ　＝０．利用Ｇ　，　）（ｏ　ｋ　一２）的连续性：　Ｇ　一，　）＝Ｇ　＋，　）（ｏ　一　，可得　（　）＝一　（　）　（　）（Ｇ　”一　（　＋，４）－Ｇ　”一　（４－，　））．　Ｇ　善＋＝－　．　到目前为止，函数Ｇ（ｘ，　）只含有一个可任意选取的　（　）．想要挑出一个特殊的函数Ｇ（ｘ，　），还需要确　定　（　）．所以我们要求Ｇ（ｘ，　）满足　ｆＧ（　，　）　（　）ａｋ＝０．　（１７）　类似于前面的方法，我们可以构造Ｇ（　，　）的共轭格林函数Ｇ　（　，　），其满足　［Ｇ　（　，　）］＝　（　）　（　），Ｘ∈［口，ｂ］＼　（１８）　［Ｇ　（　，　）］＝…＝　［Ｇ　（　，　）］＝０．　这里Ｇ　，（　（　，　）（Ｏ　ｋ　一２）￣ＸＰｑ［ａ，６】上连续，并且除点　＝考Ｐｔ＇Ｇ　’　（　，　）也连续，　在点　：∈处Ｇ　，（　（　，　）有一跃度为一１／ａ　（　）的跳跃．另外，Ｇ　’　，　）还满足条件　广Ｇ　（　，　）　（　）ｅｘ＝ｏ．　（１９）　下面我￣ｆ］ｉｉＥｎＹＪＧ（ｘ，　）和Ｇ’（　，　）满足如下等式　Ｇ　（　，　）＝Ｇ（４，Ｘ）．　（２０）　为证明上式成立，分别对式（１２）和（１８）两边乘以Ｇ　（　，７７）和Ｇ（ｘ，　），并把两式相减，可得　Ｇ　（　，ｒ１）Ｌ［Ｇ（ｘ，　）］一Ｇ（ｘ，　）ｒ［Ｇ　（　，７７）］　＝Ｇ　（　，７７）　（　）　（　）一Ｇ（ｘ，　）　（　）　（　），　∈［口，ｈｉ＼｛　，７７）．　这里不失一般性地可假设　＜７７．利用Ｇ（ｘ，　），Ｇ　（　，７７）满足相应的边值条件和它们的各阶导数在点　＝　和　ｘ＝７７处的断续性，在三个区间ａ　ｘ　，　ｘ　ｒｌ，ｒｌ　ｘ　６，应用格林公式可得　ｒ｛Ｇ　（　，ｒ１）Ｌ［Ｇ（ｘ，　）］一Ｇ（　，　）ｒ［Ｇ　（　，７７）］｝　＝Ｇ　（　，１７）一Ｇ（７７，　）．　（２１）　又由等式（１７）和（１９）可得　广［Ｇ　（　，　）　（　）　（　）一Ｇ（　，　）　（　）　（，７）】　＝０．　（２２）　结合上面两式可得（２０）式成立．　最后我们证明　（　）＝Ｉ　Ｇ（ｘ，　）＿厂（　）　维普资讯 http://www.cqvip.com

第２期　岑仲迪：一族高阶常微分方程边值问题解的存在性　５　就是非齐次边值问题（４）的解．注意到Ｇ　（　，　）＝Ｇ（　）和Ｇ　，　（　，　）有一跃度为一１／ａ，，（　）的跳跃，故有　＝＝［　（　）］＝ｆ　Ｌ［Ｇ（　，　）］　（　）　＋　（　）　（　）［Ｇ（　—ｌ　（　，　一）一Ｇ（　一　（　，　＋）］　ｒ　［Ｇ（　，　）］　（　）　＋　（　）　（　）［Ｇ　（Ｘ－Ｆ，Ｘ．）～Ｇ　加　（　）］　０ｏ（　）ｒ　（　）　（　）　一　（　）＝一　（　）．　■　至此，完成定理的证明．　参考文献：　【１】Ｋ・Ｓ・Ｍｉｌｌｅｒ・Ｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａ１　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｒｅａ１　ｄｏｍａｉｎ［Ｍ］．Ｗ．Ｗ．Ｎｏｒｔｏｎ＆Ｃｏｍｐａｎｙ　１ｎｃＮｅｗ　Ｙｏｒｋ，１９６３．　．，［２】１．Ｓｔａｋｇｏｌｄ，Ｇｒｅｅｎ’ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｍ］．Ｊｏｈｎ　Ｗｉｌｅｙ＆Ｓｏｎｓ，Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ，１９７９．　．１　３　Ｉ　Ｗ・Ｓ・Ｌｏｕｄ，Ｓｏｍｅ　ｅｘａｍｐｌｅｓ　ｏｆ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｇｒｅｅｎ’ｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｇｅｎｅｒｌｉａｚｅｄ　Ｇｒｅｅｎ’ｓ　ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］ＳＬＡＭ　Ｒｅｖ．，１２，Ｎｏ．２１９７０．　，　『４Ｉ　Ｄ・ＧｒｅｅｎｓＰａｎ　ａｎｄ　Ｖ．Ｃａｓｕｌｌｉ，Ｎｕｍｅｒｉｃａ１　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｆｏｒ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓＩ　Ｍ】．Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉ“ｇＡｄｄｉｓｏｎ－Ｗｅｓｌｅｙ，　，５】Ｈ．Ｂ．Ｋｅｌｌｅｒ，Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　ｔｗｏ　ｐｏｉｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓＩ　Ｍ　１．Ｂｌａｉｓｄｅｌｌ，Ｌｏｎｄｏｎ，１９６８．　６　１　Ｒ．Ｋ．Ｎａｇｌｅ　ａｎｄ　Ｅ．Ｂ．Ｓａｆｆ，Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓ　ｏｆ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌａ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｍ　Ｊ．Ａｄｄｉｓｏｎ—Ｗｅｓｌｅｙ，Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ，１９９３．　Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｏｆ　ａ　Ｃｌａｓｓ　ｏｆ　Ｈｉｇｈ－ｏｒｄｅｒ　Ｏｒｄｉｎａｒｙ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ＣＥＮ　Ｚｈｏｎｇ－ｄｉ　（Ｚｈｅｉｉａｎｇ　Ｗａｎｌｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎｉｎｇｂ０　３１５１００）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｗｅ　ａｐｐｌｙ　Ｇｒｅｅｎ’ｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｔｏ　ｄｅｒｉｖｅ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｔｈｅｏｒ），ｏｆ　ａ　ｃ１ａＬｓｓ　ｏｆ　．ｈｉｇｈ一０ｒｄｅｒ　０ｒｄｉｎａｒ），ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａ１　ｅｑｕａｔｉｏｎｓＩｎ　ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ，Ｗｅ　ＵＳｅ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｇｒｅｅｎ’ｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｔｏ　Ｐｍｖｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ　ｎｏｎｈｏｍ。ｇｅｎｅｏｕｓ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｈａｓ　ａ　ｓｏｌｕｔｉ０ｎ　ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ　ｈｏｍ０ｇｅｎｅｏｕｓ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｈａＬｓ　ａ　ｎｏｎｔｒｉｖｉａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｇｒｅｅｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｈｉｇｈ——ｏｒｄｅｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｔｗｏ——ｐｏｉｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ