论文导数

毕业论文

学院 数学与统计学院

专业 数学与应用数学 班级 2007级本科4班 学生 孙超林 指导教师 杨大勇

导数在函数中的应用

【摘要】导数在函数中的应用，可以求曲线的切线，判断或论证导数的单调性，函数的极值点、最值、凸性等等。函数是分析解决问题的有效工具。

【关键词】导数 函数的切线 单调性 极值点 最值 凸性

导数（导函数的简称）是近代数学的基础，是数学分析课程中最重要的基本概念之一；是联系初高等数学的纽带。导数是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。本文拟就导数在函数中的应用，谈一点个人的想法和体会。

有关导数在函数中应用的主要类型有：求函数的切线、判断函数的单调性。求函数的极值点和最值、判断函数的凸性以及函数的拐点和渐近线。

导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。

一、 用导数求函数的切线

【例一】求函数2y+3y=2x在点（1,1）处的切线方程。 （分析：根据导数的几何意） 解：3yy +2y x'222'y'x=2

即：y（2y+3y）=2

x所以y=

x'22y3y2

'所以在x=1处的导数为y=2/5

x

可知函数在点（1,1）处的切线斜率为2/5， 故切线的方程为：y-1=2/5（x-1） 即 2x-5y+3=0

【注：函数y=f(x)在点x。处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点p(x0,y=f(x))处的切线的斜率。即就是说，曲线y=f(x)在点p(x0,y=f(x))处的切线的斜率是f’(x0)；相应的切线方程为：

y-y= f’(x0) (x-x。)】

0

二、用导数判断函数的单调性

以导数知识为工具，研究函数单调性，导数提供了简单程序化的方法，具有普遍的可操作方法。

【例二】确定函数f(x)=

x(x-1)32 的单调性。

（分析：求出导数y’，令y’>0,或y’<0,解出x的取值范围即可） 解：函数f(x)的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）， 且f’(x)=

(x-3)x(x-1)32

令f’(x)=0.，解得实根x1=0、x2=3,列表如下： x （-∞，1） 0 (0,1) 1 (1,3) 3 (3,+ ∞) f’(x) + 0 + 0 - 0 + f(x) ↗ ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 可知，f(x)在区间（-∞，1）∪（3，+∞）是单调增加的，在（1,3）内是单调减少的。

【注：利用函数求导数的单调性的步骤是： （1）确定f(x)的定义域； （2）求导数f’(x)； （3）在函数f(x)的定义域内解不等式f’(x)>0和 f’(x)<0；d确定f(x)

的单调区间，若在函数式中含有字母系数，往往要分类讨论。】

三 、用导数求函数的极值及极值点

【例三】求函数f(x)=2x+3x-12x+10的极值 解：函数=2x+3x-12x+10的定义域是（-∞，+∞） 由于f’(x)=6x+6x-12=6(x+2)(x-1)

23232

令f’(x)= 6(x+2)(x-1)=0 解得驻点为x1=-2，x2=1

所以当x<-2时，f’(x)>0;当-2【注：用导数求函数的极值的方法：

（1）确定函数的定义域，求导数f’(x)； （2）求f’(x)=0的所有实数根（即驻点）；

（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导数f’(x)

的符号如何变化：如果f’(x)的符号是由正变负，则是f(x0)极大值；如果f’(x0)的符号是由负变正，则f(x0)是极小值。但是同时也要注意如果f(x0)=0的根x= x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是极值。】

四、用导数求函数的最值

【例四】求函数f(x)=x-2x5在区间[-2，3]上的最大值和最小值。 解：由于f(x)=4x4x

令f’(x)=0,得驻点x1=-1，x2=0，x3=1，

在驻点处函数值为：f(-1) =f(1)=4，f(0)=5 在端点处函数值为=13，f(3)=68

比较这几个函数值的大小，可得f(x)在[-2，3]上的最大值为： f(3)=68，最小值为：f(-1) =f(1)=4

【注求f(x)在[a,b]内的最值的方法 ： （1） 求出f’(x)在（a,b）内的零点和不存在的点，设其个s数为

有限个，得到可能极值点x1、x2… …xn;

（2） （3）

计算出函数值f(x1)、f(x2)… …f(xn)，以及f(a)， f(b) 比较（2）中所有函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者则为最小值（不必讨论x1、x2… …xn是否为极值点）】

五、用导数判定函数的凸性及拐点 【例五】确定曲线y=(x-1)3342x2的凸性及拐点。

解：函数的定义域为（-∞，+∞），

'\"5x22(5x1) 且y=； y129x33x3令y0；解得x=-1/5； 当x=0时，y不存在， 故列表讨论如下： x （-∞，-1/5） \"- yy 上凸 -1/5 0 (-1/5,0) 0 + 不存在 下凸 无拐点 （0,∞） + 下凸 \"\"61（-1/5，3）拐点 525 【注：确定连续曲线y= f(x)的凸性和拐点可以按以下步骤进行：

（1）求出f”(x)在定义区间内所有的零点和不存在的点； （2）确定f”(x)在上述各区间两侧的符号；

（3）判断在上述各点两侧附近进行y= f(x)的凸性。如果凸性相反，则

（x0，f(x0)）为曲线y=f(x)的拐点；如果凸性相同，则（x0，f(x0)）不是曲线的拐点。】

总之，导数作为一种工具。在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性、极值、最值、凸性以及切线问题。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于方便学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识，提升自己在数学这门学科上的感悟，达到丰富自身能你的效果。

【参考资料】

1、《导数》 百度百科 2、《浅谈导数的应用》，作者：刘小兵 3、《导数在函数中的应用》，作者:曹萍芳。

www.chinaqking期刊门户-中国期刊网2009-10-21 4、经济管理数学基础《微积分》（上册） 李辉来 孙毅 张旭利主编 清华大学出版社 p1 定理4.4.3 5、经济管理数学基础《微积分》（上册） 李辉来 孙毅 张旭利主编 清华大学出版社 p169定理4.5.2 6、经济管理数学基础《微积分》（上册） 李辉来 孙毅 张旭利主编 清华大学出版社 p169定义4.5.