向量组的线性关系

一、考试内容与考试要求

考试内容

向量的概念；向量的线性组合与线性表示；向量组线性相关与线性无关． 考试要求

（1）理解n维向量的概念；

（2）理解向量的线性组合与线性表示的概念； （3）理解向量组线性相关与线性无关的概念；

（4）掌握向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法； 注 适合于第十讲和第十一讲．

二、知识要点

引入 学习向量组的线性相关和线性无关，直接的目的是为探讨当方程组Axo（Axb）有无穷解时，它的所有解能否用有限个解表示出来？且这些有限个解之间的关系是什么？

线性表示（线性组合）：探讨消除线性方程组中的多余方程（即无效方程）； 矩阵秩：探讨矩阵所对应的线性方程组中的有效方程个数； 线性相关：方程组Axo有无穷解时，能否用有限个解表示出来； 线性无关：这有限个解之间的关系，引出基础解系和最大线性无关向量组． 复习 （1）非齐次方程组Axb有解的条件：R(A)R(A,b)m 其中A=（1,2,的个数．

（2）齐次方程组Axo，要特别注意m是未知量个数，也是向量组1,2,,m）

,m中向量

唯一零解无穷解（有非零解），o是向量．

1．线性组合（线性表示）

定义1 线性组合（线性表示） 给定向量,1,2,,m，如果存在数k1,k2,kmm

,km，使关系式成立

k11k22

1

则称是向量组1,2,注意1

,m的线性组合，或称可以由向量组1,2,,m线性表示：

（1）线性组合（或线性表示）对k1,k2,,km没有要求，可以全为零；

（2）零向量可由任一同维的向量组线性表示； （3）判断是否可由向量组1,2,具体表示就是Ax有一个特解．

（4）表示式可以不惟一，但若1,2,,m线性表示转化为求Ax是否有解，一个

,m线性无关时，表示式惟一；

,en线性表示；

（5）任一n维向量可由同维的单位坐标向量组e1,e2,（6）向量组1,2,,m中每个向量都可由自身向量组线性表示：

j01定义2 向量组的等价 向量组（I）：1,2,0j11j0j10m

：1,2,,s中每个向量都可由向量组（II）,t线性表示，而

向量组（II）中每个向量都可由向量组（I）线性表示，则称两个向量组的等价，记为（I）（II）．

向量组的等价具有

① 反身性：每个向量组都和自身等价，即（I）② 对称性：若（I）③ 传递性：若（I）注意 2 记A1,2,（II），则（II）（II），（II）

（I）；

（III）． （I）；

（III），则（I）

,s，B1,2,t，则

（1）向量组（II）可以由向量组（I）线性表示的充分必要条件是R(A)R(A,B) 这是单个向量可由向量组1,2,,s线性表示的推广．

（2）向量组（I）与向量组（II）等价的充分必要条件是R(A)R(B)R(A,B) （3）若向量组（I）：1，：1，2，，r(r2)可由向量组（II）2，，s线性表示，则当rs时，向量组（I）必线性相关；

（4）若向量组（I）：1，：1，2，，r(r2)可由向量组（II）2，，s线性表

2

示，且向量组（I）线性无关，则必有rs；

这是（3）的逆否命题．

向量组（I）：1，：1，2，，r(r2)可由向量组（II）2，，s线性表示，则必有rs；反之不成立

２．线性相关与线性无关

定义3 线性相关与线性无关 给定向量组（I）：1,2,,m，如果存在不全为零的数k1,k2,kmmo

,km，使

k11k22则称向量组（I）是线性相关的，否则称它线性无关．

例如：由于=2+3，即2+3-=o，向量组，，是

23100110021310012310010线性相关的．而向量组，与向量组0，1，0均是线性无关的．

01001注意3

(1）单位坐标向量组e1,e2,,en是线性无关的；

(2）含有零向量的向量组线性相关； (3）单个非零向量线性无关；

(4）两个向量线性相关对应坐标成比例． 证明如下：

(1）单位坐标向量组e1,e2,,en是线性无关的．

k10k20+kn=o，有=o

1kn10证 由k1+k20故k1=k2=

01+0=kn=0，故向量组e1,e2,,en是线性无关． ,m，o线性相关．

(2）含有零向量的向量组1,2,证 01020m1oo

(3）单个非零向量线性无关．

3

证 设o，若ko，必有k0，故线性无关． (4）两个向量线性相关对应坐标成比例． 证 设(a1,a2,,an)T，(b1,b2,,bn)T

必要性 由于向量,线性相关，则存在不全为零的数k1,k2，有

k1k2o

不妨设k10，则k2k，即ai2bi,i1,2,k1k1n，对应坐标成比例．

充分性 对应坐标成比例，aikbi,i1,2,全为零，,线性相关．

n，即k，ko，1,k不

3．线性相关、线性无关的性质

性质1 向量组部分相关，则整体相关；向量组整体无关，则部分无关． 性质2 记A=(1,2,向量组1,2,,m)，则

线性无关Axo有唯一零解 ,m线性相关Axo有非零解性质3 若向量组中的向量的维数小于向量的个数，则向量组线性相关． 或：向量组中向量的个数大于向量的维数，则向量组线性相关． 推论：n1个n维向量一定线性相关． 性质4 向量组1,2,线性相关至少有一个向量可由其余向量线性表示 ,m线性无关每一个向量都不能由其余向量线性表示则1,2,,m线性相关，

应注意向量组1,2,,m中至少有一个向量可由其余向量

线性表示，但不是每一个向量都可由其余向量线性表示．

性质5 设向量组（I）：1,2,：1,2,,m线性无关，而向量组（II）

,m,线性

相关，则向量能由向量组（I）线性表示，且表示式是惟一的．

性质6 向量组1,2,线性无关，则添维数仍线性无关 ,m线性相关，则减维数仍线性相关 学习这些性质应该采取对上述每一点都可先用简单的例题予与理解，然后再证明．下面以性质1、性质4和性质6为例具体说明．

4

例 判断向量组，，，的线性相关性？

10012343由于=2+3，即2+3-=，故，，是线性相关，

23100110020130102013102401024则由性质（1）知向量组，这由2+3-+0=，3整体相关．1，

0301330即可简单的证明．

向量组，，，是线性相关的也可由上述性质3看出，因为维数是2，向量个数是4，所以线性相关．

对性质4的理解：由于0+0+1=，故向量组，，线性相

1001234310010000100100关，=0+0，和都不能由其它两个向量线性表示．

001001100110110对性质6的理解：向量组，线性无关，添维数后0，1仍线性无关；1，

011112122线性相关，减维数后1，2仍线性相关。

24．性质的证明

性质1 证明：① 部分相关，在向量组在1,2,性相关，则存在一组不全为零的 数k1,k2,s,,m中，不妨设1,2,s线

,km，有

k11k22即 k11k22ksso kss0s10mo

k1,,ks,0,,0不全为零，故向量组整体相关．

② 反证法：设部分相关，在向量组1,2,关，由①知整体相关，与假设矛盾． 性质2 证明 由Axo得：

s,,m中，不妨设1,2,,s线性相

5

x11x22当x(x1,x2,当x(x1,x2,xmmo

,m线性无关． ,m线性相关．

,xm)T有惟一零解时，1,2,s,,xm)T有非零解时，1,2,s,可总结为：n维向量组1,2,R(A)=m,mn线性无关A0,mn ,mR(A)性质3 证明 若向量组1,2,,m中的向量的维数n小于向量的个数，记 ,m)

,m)=R(A)m，由性质2知1,2,,m组

A(1,2,由于R(A)minm,n，R(1,2,线性相关，得证．

性质4 证明 必要性：只需证明上半部分，下半部分用反证法可得．

向量组1,2,,m线性相关，故存在不全为零的数k1,k2,k11k22kmmo

kmm)．

,km，使

不妨设k10，则11(k22k1充分性 不妨设m11mm1，即

11mm1mo

1,2,,m1,1不全为零，向量组1,2,,m线性相关．

性质5 证明：记A=(1,2,,m)，B=(1,2,（I）,m,)，则R(A)R(B)（

组是（II）组的部分），因为（I）组线性无关，由性质2知R(A)m．

因为（II）组线性相关，有R(B)m1，故mR(B)m1，即R(B)m．

R(A)R(B)R(A,)m，Ax有惟一解，故向量能由向量组（I）惟一线性表

6

示．

性质6 证明略． 注意4

虽然涉及线性相关与线性无关的证明题多，但解题的方法往往局限在三种：一是用线性相关与线性无关的定义；二是用与齐次方程组Axo有惟一零解或非零解的关系；三是用秩的性质进行求解．

其中线性相（无）关与Axo的解之间的关系为：

n维向量组1,2,R(A)=m,mn线性无关:Ax=o有唯一零解A0,mn ,mR(A)补充性质

几个要用的结论，可作为补充性质： （1）设向量组1,2,K为sr矩阵，若1,2,,r能由向量组1,2,,s线性表示，简记为BAK，其中

,r线性无关的充要条件是

,s线性无关，则1,2,R(K)r，（即R(K)为向量组1,2,,r中的向量个数）.

或设AnsKsrBnr,若R(A)s,则R(K)R(B).

证明见例11.11和第七讲中秩的补充性质（1），也就是说可以从两个不同角度进行证

明．

（2）任一n维向量均可由一组n维的线性无关向量组1,2,,n线性表示.

证明见例10.14．也就是说任一n维向量不但可以由n维单位向量组线性表示，还可以由一组n维的线性无关向量组1,2,（3）n维单位向量组e1,e2,,n线性表示．

,m线性表示的充分必要条件是

,en能由向量组1,2,R(1,2,,m)n.

由（2）可直接得到结论．

A可逆（即（4）当A为n阶方阵时，矩阵方程AXEn有解充分必要条件是

R(A)n）．

7

由（3）可直接得到（4）．

（5）当A为nm矩阵，矩阵方程AXEn有解充分必要条件是R(A)n，即若． R(A)=A的行数（行满秩）

二、基础训练

101 例10.1 （数四，97，3分）判断向量组1=1，2=3，3=2的线性相关性．

121解 存在数k1,k2,k3，使得k12k22k33o．

101101由于 13122=031023=0 2即k12k22k33o有非零解，故1,2,3线性相关．

例10.2 当k = ______时, 向量 = (1, k, 5)能由向量1(1,3,2),2(2,1,1)线性表示.

解 可由1,2线性表示，即R(1,2)2=R(1,2,)，考察行列式

1k12310 521得k =－8. 当k =－8时, 三个向量的行列式为0, 于是,1,2线性相关. 显然1,2线性无关, 所以可用1,2线性表示.

k111例10.3 设有三维向量11, 2k,31, k，（1）

问k取何值时，112k2可由1,2,3线性表示, 且表达式惟一; （2） 可由1,2,3线性表示, 但表达式不惟一;（3） 不能由1,2,3线性表示.

8

k解 111k12k22k2k(k1) 112（1）k0且k1时, 1,2,3线性无关, 而四个三维向量一定线性相关（n+1个n维向量一定线性有关）, 所以可由1,2,3线性表示, 由性质5知表达式惟一；

（2）当k = 1 时

11111111211111100000110 ？ 0系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2. 所以可由1,2,3线性表示, 但表示不惟一;

（3）当k0时

0 1110111210001010101111201 001 1101011011101011000系数矩阵的秩等于2, 增广矩阵的秩为3, 所以不能由1,2,3线性表示.

例10.4 设向量组1,2,3线性相关，向量组2,3,4线性无关，证明：（1）1能由（2）4不能由1,2,3线性表示． 2,3线性表示；

证 （1） 方法1 向量组2,3,4线性无关，则2,3线性无关（性质1），而1,2,3线性相关，由性质5知1能由2,3线性表示．

方法2 由向量组1,2,3线性相关知，故存在不全为零的数k1,k2,k3，使

k11k22k33o

其中k10．因为若k10，则k2,k3不全为零，使k22k33o，于是有2,3线性相关，从而2,3,4线性相关（性质1），这与已知矛盾，故k10．于是有

1

k2k233=l22l33 k1k19

即1能由2,3线性表示．

（2）反证法：4能由1,2,3线性表示，而由（1）问知1能由2,3线性表示，故

4能由2,3线性表示，由性质4知，2,3,4线性相关，与题设向量组2,3,4线性无

关矛盾．

例10.5 设1(2,1,3,0),2(1,2,0,2),3(0,5,3,4),4(1,3,t,0), 则t = ______时, 1,2,3,4线性相关.

解 考察行列式

21010001555125355533t3

303t3t3t42402404240 20t603020t30600. 所以对任何t,

1,2,3,4线性相关.

例10.15 设1, 2, 3, , 均为4维向量, A = (1, 2, 3, ), B = (1, 2, 3, ), 且|A| = 2, |B| = 3, 则|A－3B| = ______. 解 利用行列式性质，有 |A3B|21,22,23,3=81,2,3,3 =8(1,2,3,31,2,3,)=8(|A|3|B|)56 例10.16 （数一，05，4分） 设3阶矩阵A1,2,3，A1，且 B123,12243,13293 求B．

解 方法1 利用行列式性质对列向量组化简得

B=123,12243,13293

=123,233,253=123,233,23 =2123,233,3=212,2,3=21,2,3=2

方法2 将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再进行计算．

B123,12243,13293

10

111 =1,2,3123 149111于是有 B=A12312=2

149

例10.6 判断1(1,2,3)T,2(3,2,1)T,3(1,3,1)T是否线性相关. 解 本题用三种方法来求解．

方法1 定义法。即如果存在不全为零的数k1,k2,k3，使k11k22k33o，则向量组1,2,3线性相关，否则线性无关．

设存在一组数k1,k2,k3，使得k11k22k33o，即

1310k2k30 k12233110k13k2k30故 2k12k23k30

3kkk0123因为此方程组只有零解，故1,2,3线性无关.

)3时，方法2 利用矩阵的秩来判断，设相应的矩阵A(1,2,3)，当R(A1,2,3线性无关，当R(A)3时，1,2,3线性相关．

对矩阵A(1,2,3)施行初等行变换变成行阶梯矩阵，得

131r2r21A(1,2,3)=223r3r31131131041082r32r2131041 004可见R(A)3=向量的个数，知向量组1,2,3线性无关.

方法3 利用行列式法来判断，因为相应的矩阵A为3阶方阵，则有当A0时，向量组线性相关，当A0时，向量组线性无关.

11

矩阵A(1,2,3)的行列式为

131A223041041160

r33r1311082004所以向量组1,2,3线性无关.

例10.7 已知向量组1,2,3线性无关，112，223，331，试证向量组1,2,3线性无关．

证 方法1 定义法。设存在数k1,k2,k3，使得

r22r1131r32r2131k1(12)k2(23)k3(31)o (k1k3)1(k1k2)2(k3k2)3o

因为1,2,3线性无关，所以系数全为零，有

k1k30k1k20 kk032其系数行列式

10111020 011所以上述方程只有零解，k1k2k30，因此向量组1,2,3线性无关．

方法2 利用齐次线性方程组的解进行判断．由已知有：

101 (1,2,3)=(1,2,3)110

011记BAK，要证明Bxo只有零解．

将BAK代入Bxo中，得

AKxo， 即A(Kx)o

由于1,2,3线性无关，A(Kx)o只有零解，得Kxo，又因为K20，知

Kxo只有零解xo，即Bxo只有零解，向量组1,2,3线性无关．

12

方法3 利用矩阵的秩来证明．令

，223，331 112101则 (1,2,3)=(1,2,3)110 011101由于110可逆，由秩的性质4知，所以1,2,3R(1,2,3)=R(1,2,3)=3，011线性无关．

方法4 利用向量组的等价性证明．

由于

112，223，331 （10.1）

即向量组1,2,3可以由向量组1,2,3线性表示． 将1,2,3的表达式相加，得

有

=2(123) 123123=(123) 1=(123)(23)

112(123)21(123)3 221(123)1321212类似地由（10.1）式得

即向量组1,2,3可以由向量组1,2,3线性表示，因此1,2,3与1,2,3等价，从而R(1,2,3)=R(1,2,3)=3，所以1,2,3即12，23，31线性无关．

101方法4也可这样求解：由于(1,2,3)=(1,2,3)110，简记为BAK，

011由于K20，ABK1，即向量组1,2,3与1,2,3可相互线性表示，因此

13

后面的解法与方法4雷同。但应注意这里能这样求解是因为K1,2,3与1,2,3等价。

可逆。

这道题用了常见的解题方法，读者应细心体会．这道题可进一步推广为下一题．

例10.8 设向量组1,2,,m的秩为r(r1)，证明向量组123m，

213m, ,m13m1 的秩为也为r．

解 可由上题的方法3和4证明．学生自己证明．

例10.9 设矩阵A(aij)mn,B(bij)ns,证明:ABO的充分必要条件是矩阵B的每一列向量都是齐次方程组Axo的解.

证 将B按列分块B(1,2,,s),并由分块矩阵的乘法有

ABA(1,2,,s)(A1,A2,,As)

必要性 由于ABO,即

AB(A1,A2,从而 A1o,A2o,故1,2,,As)O ,Aso

,s为齐次方程组Axo的解.

,s为齐次方程组Axo的解，所以有 A1o,A2o,,Aso

充分性 由于1,2,即 (A1,A2,,As)O

而AB(A1,A2,,As)，故ABO．

例10.10 设矩阵A为mn矩阵,B为n阶矩阵.已知R(A)n,试证:(1) 若ABO,则BO；(2) 若ABA,则BE.

证 (1) 将矩阵B按列分块B(1,2,,n) 因为 AB(A1,A2,则 A1o,A2o,,An)O ,Ano

即1,2,,n是齐次方程组Axo来说，由于R(A)n,所以Axo只有零解. 因而

12no

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所以 B(1,2,,n)O.

(2) 由ABA得

A(BE)O

利用(1)的结论知BEO,即BE.

例10.11（数一，03，4分）若向量组I：1，2，，r(t2)可由向量组II：

1，2，，s线性表示，则（ ）

(A) 当rs时，向量组II必线性相关 (B) 当rs时，向量组II必线性相关 (C) 当rs时，向量组I必线性相关 (D) 当rs时，向量组I必线性相关 解 (D)正确．由性质（见注意2中的（3））直接得到结论．也可用用排除法： 取1，1，2，则10102，但1，2线性无关，排除法(A)；

取1，2，1，则1,2可由1线性表示，但1线性无关，排除法(B)；

取1，1，2，则1可由1，2线性表示，但1线性无关，排除(C)；故选择(D)．

例10.12 设向量组1,2,3线性无关, 则下列向量组线性相关的是（定义法） (A) (C)

00100100101010100112,23,31 (B) 1,12,123 12,23,31 (D) 12,223,331

解 (C)是答案.。由k1(12)k2(23)k3(31)o得 (k1k3)1(k2k)12(k3k)23 o因为向量组1,2,3线性无关, 所以得关于k1,k2,k3的方程组

k1k30 k1k20

kk032k1,k2,k3的系数行列式为

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1010110. 11101所以k1,k2,k3有非零解, 所以12,23,31线性相关.

例10.13 设向量组1,2,3线性无关, 问常数a, b, c满足什么条件a1－2, b2－3, c3－1线性相关.

解 设有一组数k1,k2,k3有

k1(a12)k2(b23)k3(c31)o

得 (k1ak3)1(k2bk1)2(k3ck2)3o 因为1,2,3线性无关, 得方程组

ak1k30 k1bk20 kck032a当行列式10b1100时, k1,k2,k3有非零解. 所以 abc1时, a1－2, b2－3, c0c3－1线性相关.

例10.14 设向量组1,2,,n是一组n维向量，证明向量组1,2,,n线性无关

的充要条件是：任一n维向量均可由它线性表示.

证 必要性：任给n维向量，则n维向量组1,2,量个数大于向量的维数）.又因向量组1,2,,n,线性相关（因它所含向

,n线性无关，故向量可由向量组

1,2,,n惟一地线性表示.

充分性 记E(e1,e2,,en)，A(1,2,,n)．

设任一n维向量能由向量组1,2,能由向量组1,2,特别，n维单位坐标向量e1,e2,,en,n线性表示，

,n线性表示，从而本节注意2中的（3）知：

nR(E)R(A)n,

即R(A)n，从而向量组（I）线性无关.

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