维普资讯 http://www.cqvip.com 第３５卷第５期 ２００７年９月 河海大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｏｈａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） Ｖｏ１．３５ Ｎｏ．５ Ｓｅｐ．２００７ 无限均布压力作用下弹性地基的应力和位移 黄耀英 ，王润富２，吴中如 （１．河海大学水利水电工程学院，江苏南京２１００９８；２．河海大学土木工程学院，江苏南京２１００９８） 摘要：通过两个典型的半无限体实例，对水平表面作用无限均布压力下弹性地基的应力和位移解答 进行研究，结果表明：对边界条件不明确的无限边界仅采用解答的必要非充分条件——平衡条件来 等效处理，其应力解答不是唯一的，因为此时该边值问题不是一个适定的数学问题．对弹性地基梁 板中的半无限大地基、底部完全位移约束的有限深地基和底部光滑刚性支承的有限深地基在水平 表面作用无限均布压力时的应力和位移分量进行了比较，认为底部完全位移约束的有限深地基模 型较其他两种地基模型更合理、 关键词：弹性地基；无限均布压力；无限边界；平衡条件；半无限大地基；有限深地基 中图分类号：ＴＵ４７１．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００－１９８０（２００７）０５—０５１８—０６ 众所周知，弹性力学问题在数学上被称为边值问题．因为在求解弹性力学问题时，使应力分量、应变分 量、位移分量完全满足基本方程并不困难，但是，要使边界条件也得到完全满足往往很困难．为了能得到一些 工程问题的理论解析解，常对边界条件进行一些等效近似的处理．例如，在小边界处使用圣维南原理进行等 效处理；在半无限大问题中，采用平衡条件进行分析等．显然，按这种等效近似处理方法得到的解答的精确性 和唯一性值得怀疑．针对上述问题，本文首先给出了两个在水平表面作用无限均布压力的半无限体实例，说 明对边界条件不明确的无限边界仅采用解答的必要非充分条件——平衡条件来等效处理，由于此时该边值 问题不是一个适定的数学问题，因此得到的解答不是唯一的；然后对弹性地基梁和板中的半无限大地基、底 部完全位移约束的有限深地基和底部光滑刚性支承的有限深地基等３种地基模型在水平表面作用无限均布 压力时的应力和位移解答进行了比较分析． １模型的提出 １．１半无限大平面应变体模型 ｌ ｇ 』 ｌ ～ 设有半无限大平面应变体，体力不计，在水平表面Ｙ＝０处作用无限 均布压力ｑ，如图１所示． 对图１的弹性力学问题，为了求得其应力和位移分量，要满足的基本 ． ＝０ （ｉ， ：１，２） （１） 方程如下： ＼ ／ ｖ、 ｒ平衡微分方程 图１半无限大平面应变体 受无限均布压力作用 Ｆｉｇ．１ Ｓｅｍｉ－ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｐｌａｎｅ ｓｔｒａｉｎ ｂｏｄｙ ｕｎｄｅｒｉｎｆｉｎｉｔｅ ｕｎｉｆｏｌ￣ｌｌ ｐｒｅｓ￣ 几何方程 物理方程 ￡ ＝吉（ｕｉ， ＋ｕｊ， ） （ｉ，Ｊ．＝１，２） ￡ ＝ （盯 —Ｕｏ－ ） （ ， ＝１，２） （２） （３） 其要满足的边界条件为在水平表面 盯 Ｊ ：ｏ＝一ｑ Ｚ－ｘｙ Ｊ ：ｏ＝０ （４） 式中：盯 ——应力分量； ——应变分量；ｕ ——位移分量；Ｅ——弹性模量； ——泊松比； ——Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ 记号． 收稿日期：２００６—１２—０４ 基金项目：国家重点基础研究发展计划（９７３计划）资助项目（２００２ＣＢ４１２７０７） 作者简介：黄耀英（１９７７一），男，湖南郴州人，博士研究生，主要从事大坝安全监测和岩土力学研究 维普资讯 http://www.cqvip.com 第５期 黄耀英，等无限均布压力作用下弹性地基的应力和位移 ５１９ 弹性力学教科书［ｔ ］中一般将无限远边界认为是应力边界，并将应力边界条件转化为平衡条件（该平衡 条件是解答的必要非充分条件）： ． ∑ ：０ ｒ ４－∞ Ｉ Ｖｘｙｄｘ＝０ ∑ ：０ ｒ （５） Ｉ ｄｘ＋ｇ（２·∞）＝０ ∑Ｍ：０ Ｉ （盯， ＋ｒ；ｙｙ）ｄｘ＝０ 解答１应力解答： 吼 一 ｇ ｙ 一ｇ ｒ” ０ （６） 位移解答： 。 ＝一旦 ，，＋Ｂ （７） 式中Ｂ为任意常数． 将解答式（６）和式（７）代人基本方程及边界条件式（１）～（５），可知满足条件． 解答２应力解答： ＝一ｇ ＝一ｇ ｒ ＝０ （８） 位移解答： Ｍ：一旦 —＝— ＋Ｂｌ ：一旦 —二— ｙ＋Ｂ２ （９） 式中Ｂ。，Ｂ２为任意常数． 将解答式（８）和式（９）代人基本方程及边界条件式（１）～（５），可知满足条件． 解答３应力解答： ＝Ａ Ｏ＇ｙ＝一ｇ ｒ ＝０ （１０） 位移解答： 二 ）ｇ± （Ｅ ± ） Ｙ＋Ｂ２ （１１） 式中Ａ为任意常数． 将解答式（１０）和式（１１）代人基本方程及边界条件式（１）～（５），可知满足条件． １．２半无限大空间体模型 ｇ 设有半无限大空间体，体力不计，在水平表面ｚ＝０处作用无限均布 Ｉ ． 』 ｌ 一 压力ｑ，如图２所示． 对图２的弹性力学问题，为了求得其应力和位移分量，需要满足的基 本方程如下： ＼ 平衡微分方程 ＝０ （ｉ， ＝１，３） （１２） ｚ ｒ １ 几何方程 ｅ ＝吉（Ｕｉ， ＋ ， ） （ｉ，Ｊ＝１，３） （１３） 图２半无限大空间体受 无限均布压力作用 １ 物理方程 ｅ ＝ ［（１＋ ） 一 ］ （ｉ，Ｊ＝１，３） （１４） Ｆｉｇ．２ Ｓｅｍｉ·ｉｎｔｉｍ＇ｔｅ ｓｐａｔｉａｌ ｂｏｄｙ ｕｎ￣ｅｌ＂ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｕｎ￣ｏｌ＇ｌｎ ｐｒｅｓｓｕｒｅ 其要满足的边界条件为在水平表面 ｌ：０＝一ｇ ｒ ｌ ：０＝ｒ ｌ ：０＝０ （１５） 弹性力学教科书［ 中一般将无限远边界认为是应力边界，并将应力边界条件转化为平衡条件（该平衡 条件是解答的必要非充分条件）： ∑ ＝０ ∑Ｆｙ＝０ ∑ ＝０ ∑ ＝０ ∑ ＝０ ∑ ：０ （１６） 维普资讯 http://www.cqvip.com ５２０ 河海大学学报（自然科学版） 第３５卷 ｒ＝ｄｘｄｙ＝０ ａ￣ｄｘｄｙ＋ｑ（２·∞）（２·ｏｏ）＝０ （１７） （ 一ｚｒ￣．）ｄｘｄｙ＝０ （ 一ｆｆＺ＂ ）ｄｘｄｙ＝０ ＋∞ｒ Ｉ＋∞ （ｙｒ Ｘｒ￣ｙ）ｄｘｄｙ＝０ 解答１应力解答： 一 ｇ 一ｇ ＝ ＝ ０ （１８） 位移解答： ｕ＝。 ＝。 ＝一 ＋日 （１９） 将解答式（１８）和式（１９）代入基本方程与边界条件式（１２）～（１７），可知满足条件． 解答２一般情况，应力解答： Ａ ＝Ｂ ＝一ｑ Ｚ＇ｙｚ＝Ｚ＇ｚｘ＝ｒ．ｙ＝０（２０） 位移解答： ｕ＝去（Ａ一 （日一９）） ＋日ｌ ＝面１（日一 （Ａ—ｇ））ｙ＋Ｂ２ ＝去（一ｇ～ （Ａ＋日）） ＋Ｂ３ （２１） 式中Ａ，日为任意常数． 将解答式（２０）和式（２１）代入基本方程与边界条件式（１２）～（１７），可知满足条件． 由上面的分析可知，由于弹性力学中涉及的半无限大问题的无限远边界条件是不明确的，其可以为： （ａ）应力边界条件；（ｂ）位移边界条件；（ｃ）混合边界条件．若对这个不明确的边界条件仅仅使用平衡条件（解 答的必要非充分条件）来等效处理，则该问题不是一个适定的数学问题，从而会出现解答不唯一的情况． ２分析比较 ２．１平面应变与轴对称荷载下空间地基模型 Ｉ。 目前在实际工程中，常使用图３和图４所示的３ 种地基模型［ １］：半无限大地基模型、底部完全位移 约束的有限深地基模型和底部光滑刚性支承的有限 （ａ）半无限大 （ｂ）底部完全位移 （Ｃ）底部光滑刚性 地基模型 约束的有限深 支承的有限深 深地基模型． 地草模型 地基模型 在文献［３，５—７］的基础上，笔者对图３和图４中 图３平面应变地基模型示意图 ３种常用的地基模型分别采用傅立叶变换【 Ｊ和汉克 Ｆｉｇ．３ Ｓｋｅｔｃｈ ｏｆ ｐｌａｎｅ ｓｔｒａｉｎ ｅｌａｓｔｉｃ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ 尔变换【 。］进行了分析． ２．１．１平面应变地基模型 Ｉ ９ ａ．对于半无限大平面体地基模型，水平表面作 用法向集中力时，采用傅立叶变换法求得的位移和 （ａ） 无限人 （ｂ）底部完全位移 （Ｃ）底部光滑刚性 应力分量与符拉芒解答是一致的Ｌ３．３＿ 地基模型 约束的有限深 支承的有限深 地基模型 地 模型 ｂ．当地基厚度 一∞时，无论底部是完全位移 约束的有限深地基模型还是底部为光滑刚性支承的 图４轴对称荷载下空间地基模型示意图 有限深地基模型，在集中力作用下，其得到的水平表 Ｆｉｇ．４ Ｓｋｅｔｃｈ ｏｆ ｓｐａｔｉａｌ ｅｌａｓｔｉｃ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｕｎｄｅｒ ａｘｉａｌｌｙ ｓｙｎｕｎｅｔｒｉｃ ｌｏａｄｉｎｇ 面位移分量与符拉芒解答的位移分量在水平表面的 结果是一致的． 维普资讯 http://www.cqvip.com 第５期 黄耀英，等无限均布压力作用下弹性地基的应力和位移 ５２１ １２．３种地基模型在水平表面作用无限均布压力时，其对应的应力分量和位移分量是不一致的． ｄ．水平表面作用有限宽均布压力时，当地基厚度日一０时，（ａ）对底部为完全位移约束的有限深地基模 型，其对应的文克尔地基模型的基床系数为 ｌ＜号） Ｅ ／ｌ ｌ ｃ、 式中ｃ为均布压力宽度 ．（ｂ）对底部为光滑刚性支承约束的有限深地基模型，其对应的文克尔地基模型的 基床系数为 沥【ｌ ｌ＜ ） ２．１．２轴对称荷载下空间地基模型 ａ．对半无限空间体地基模型，水平表面作用法向集中力时，采用汉克尔变换法求得的位移和应力分量 与半空间体的布希涅斯克解答是一致的＿５ｊ． ｂ．当地基厚度日一∞时，无论底部是完全位移约束的有限深地基模型还是底部为光滑刚性支承的有限 深地基模型，在法向集中力作用下，其得到的水平表面位移分量与布希涅斯克解答的位移分量在水平表面的 结果是一致的． ｃ．３种地基模型在水平表面作用无限均布压力时，其对应的应力分量和位移分量是不一致的． ｄ．水平表面作用轴对称有限宽均布压力时，当地基厚度日一０时，（ａ）对底部为完全位移约束的有限深 地基模型，其对应的文克尔地基模型的基床系数为 （ｒ＜。） 式中。为轴对称均布压力半径［ ．（ｂ）对底部为光滑刚性支承约束的有限深地基模型，其对应的文克尔地基 模型的基床系数为 Ｅ ／【 ＜、 。 ２．２无限均布压力下地基模型比较 分别采用傅立叶变换和汉克尔变换分析①得到半无限大地基模型、底部完全位移约束的有限深地基模 型和底部光滑刚性支承的有限深地基模型，在水平表面作用无限均布压力时，在弹性体内产生的应力和位移 分量，然后进行分析比较． ２．２．１平面应变地基模型比较 ａ．半无限大平面应变地基模型． 位移解答： 『 ：一 （ ∞， ∞） ＋ ．∞： 一 ＋∞：一 －＝＝一 ＋ｃ 【 ： ｆ２２１ （２３） 应力解答： ＝一ｑ ＝一ｑ ＂Ｃｘｙ＝０ ｂ．底部完全位移约束的有限深地基模型 位移解答： 应力解答： ＝。 一 ＝一 ｇ 一ｇ （），一／－／） ０ （２４） （２５） ｃ．底部光滑刚性支承的有限深地基模型． 位移解答： 兰 ：一Ｌ ｇ（），／－／） （２６） ①采用汉克尔变换对轴对称荷载下空间地基模型进行分析时，采用如下假设：ｌｉｍ ｌ（缸）一 （ｅ），其中，Ｊｌ（缸）为一阶Ｂｅｓｓｅｌ函数， （ｅ） 为Ｄｉｍｅ函数． 维普资讯 http://www.cqvip.com 河海大学学报（自然科学版） 第３５卷 应力解答： ＝０ ，：一ｑ ｒ ＝０ （２７） 将上述位移和应力解答分别代入式（１０）和式（１１），可知满足条件式（１）～（５），即满足基本方程、水平表 面的应力边界条件以及无限远边界由应力边界条件转换来的平衡条件． ２．２．２空间地基模型比较 ａ．半无限大空间体地基模型 位移解答： Ｉ『 ｕ，＝一 ： ＋ ｒ（ｒ一∞ 一∞） ．∞： 一 Ｈ∞：击㈠＋ ｚ ＋ｃ ８’ （２９） 应力解答： ： ：一 ｑ ：一ｑ ｒ ：０ 式中ｃ为任意常数 ｂ．底部完全位移约束的有限深地基模型． 位移解答： 应力解答： Ｕｒ ＝０ Ｏ＂ｒ＝ ＝一 ＝一 ｑ Ｏ＂ｚ＝一ｑ （ 一日） Ｚ＇ｚｒ＝０ （３０） （３１） ｃ．底部光滑刚性支承的有限深地基模型． 位移解答： 应力解答： Ｕｒ ＝ ＝ ｒ ＝一 ＝一 Ｏ＂ｚ＝一ｑ （ 一日） ｒ ＝０ （３２） （３３） 将上述位移和应力解答分别代入式（２０）和式（２１）可知满足条件式（１２）～（１７） ｄ．由文献［１］可知，半空间体在水平表面作用无限的均布压力时，其正确的应力解答为 Ｏ＂ｘ＝Ｏ＇ｙ＝一 ｑ ＝一ｑ ｆ研＝ ＝Ｚ＇ｚ．ｘ＝０ （３４） ｅ．由２．２ １的ｂ可知，在图３中，无限均布压力下的底部完全位移约束的有限深地基模型的应力解答为 式（２５）． 将式（２５）应力解答转换到空间坐标系下，并考虑平面应变问题是空间问题的特殊情况（对称性），有ｅ ＝ ０．由式（２５）及几何方程和物理方程容易得到 Ｏ＂ｘ ＝ ，＝一Ｔ— ） 一 ｑ 。＝一 。 一 ｑ ｒ ：０ （３５） 比较２ ２ ２的ｂ，ｄ和ｅ可知，三者的解答是一致相通的． ｆ．由２ ２ １的Ｃ可知，在图３中，无限均布压力下的底部光滑刚性支承约束的有限深地基模型的应力解 答为式（２７）． 将式（２７）应力解答转换到空间坐标系下，并考虑平面应变问题的对称性，由几何方程和物理方程容易得 到 ０ ｔ＝一／ｌｑ ＝一ｑ ｒ ＝０ （３６） 注意到，２．２．２中的ｃ和ｆ的应力解答的应力第一不变量＠是满足的，即 ＠＝ ＋ ｖ＋ 。＝ ，＋Ｏ＂０＋ 。＝一／ｌｑ—ｑ （３７） 通过上述的比较分析后可知，在水平表面作用无限均布压力时，底部完全位移约束的有限深地基模型的 应力分量解答与正确的应力解答是一致的，其他的则不是一致的 由此可见，半无限大地基模型和底部光滑 刚性支承的有限深地基模型是相对不合理的地基模型． ３ 结 语 ａ．对弹性力学中的半无限体问题的边界条件进行了研究，给出了两个典型的半无限体反例，说明了对 维普资讯 http://www.cqvip.com 第５期 黄耀英，等无限均布压力作用下弹性地基的应力和位移 ５２３ 边界条件不明确的无限远边界仅采用解答的必要非充分的平衡条件来等效处理，此时该边值问题不是一个 适定的数学问题，因此确定的解答不是唯一的． ｂ．分别采用傅立叶变换和汉克尔变换对荷载作用下的弹性地基梁和板中的半无限大地基模型、底部完 全位移约束的有限深地基模型和底部光滑刚性支承的有限深地基进行了分析：虽然当地基厚度 一∞时， 无论底部是完全位移约束的有限深地基模型还是光滑刚性支承的有限深地基模型，在集中力作用下，其得到 的水平表面位移分量分别与半平面体符拉芒解答和半空间体布希涅斯克解答的位移分量在水平表面的结果 是一致的，但是３种地基模型在水平表面作用无限均布压力时，其对应的应力分量和位移分量是不一致的． Ｃ．对在水平表面作用无限均布压力时的应力和位移分量进行了比较，认为底部完全位移约束的有限深 地基模型较半无限大地基模型和底部光滑刚性支承的有限深地基模型更合理些． 本文得到同济大学吴家龙教授、河海大学卓家寿教授和张子明教授等的指导，特表感谢！ 参考文献： ［１］徐芝纶．弹性力学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９０：２８４—２８６；３００－３０５． ［２］铁摩辛柯，古地尔．弹性理论［Ｍ］．徐芝纶，译．北京：高等教育出版社，１９９０：４２；４７５—４８１． ［３］吴家龙．弹性力学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１：９８—１０１；１３４—１３６． ［４］钱伟长，叶开沅．弹性力学［Ｍ］．北京：科学出版社，１９５６：２０４－２０７． ［５］郭大智，冯德成．层状弹性体系力学［Ｍ］．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，２００１：５１—５７ ［６］赵光恒，张子明．有限深地基上基础梁的计算［Ｊ］．华东水利学院学报，１９８４，１２（２）：３２—４５． ［７］张子明，赵光恒．用初始函数法计算成层地基在轴对称荷载作用下的位移和应力［Ｊ］．华东水利学院学报，１９８５，１３（４）：４０— ４８． ［８］刘蕴华，张乃良．数学物理方程及其运用［Ｍ］．南京：河海大学出版社，１９９４：１４６—１５１． ［９］王竹溪，郭敦厚．特殊函数概论［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２０００：３６９—３７０． ［１Ｏ ３（数学手册》编写组．数学手册［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９７９． Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｅｌａｓｔｉｃ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｕｎｄｅｒ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｕｎｉｆｏｒｍ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ＨＵＡＮＧ Ｙａｏ－ｙｉｎｇ ．ＷＡＮＧ Ｒｕｎ－ ，、ｖＵ Ｚｈｏｎｇ－ｒｕ （１．Ｃｏｌｅｌｇｅ ｏｆ Ｗａｔｅｒ Ｃｏｎｓｅｒｖａｎｃｙ ａｎｄ Ｈｙｄｒｏｐｏｗｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｏｈａｉ Ｕｎｈｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｉｆｎｇ ２１００９８，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＣｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｅｎｅｉｒｎｇ，Ｈｏｈａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１００９８，Ｃｈｉａｎ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃａｓｅ ｓｔｕｄｙ ｗａｓ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ｏｎ ｔｗｏ ｔｙｐｉｃａｌ ｓｅｍｉ—ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｂｏｄｉｅｓ ｔｏ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｔｈｅ ｓｔｒｅｓｓ ａｎｄ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｏｆ ｅｌａｓｔｉｃ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｕｎｄｅｒ ｉｎｉｆｎｉｔｅ ｕｎｉｆｏｒｍ ｐｒｅｓｓｕｒｅｓ ｏｎ ｈｏｒｉｚｏｎｔａｌ ｓｕｒｆａｃｅ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ，ｉｆ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｂｕｔ ｉｎｓｕｆｉｆｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｗａｓ ａｄｏｐｔｅｄ ｔｏ ｄｅａｌ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｉｆｎｎｉｔｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｓｔｒｅｓｓ Ｗａｓ ｎｏｎ—ｕｎｉｑｕｅ ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ｈｅｒｅ Ｗａｓ ａ ｍａｌ ｐｏｓｅｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｂａｓｅｄ ｏｎ ａ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｓｔｒｅｓｓ ａｎｄ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｍｉ—ｉｉｆｎｎｉｔｅ ｅｌｓａｔｉｃ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｅｌｓａｔｉｃ ｉｆｎｉｔｅ ｄｅｐｔｈ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒｉｇｉｄ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ ａｔ ｔｈｅ ｂｏｔｔｏｍ，ａｎｄ ｔｈｅ ｅｌａｓｔｉｃ ｆｉｎｉｔｅ ｄｅｐｔｈ￣ｕｎｄａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｓｍｏｏｔｈ ｒｉｇｉｄ ｓｕｐｐｏｒｔｉｎｇ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ ａｔ ｔｈｅ ｂｏｔｔｏｍ ｕｎｄｅｒ ｉｉｆｎｎｉｔｅ ｕｎｉｆｏｒｍ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｏｎ ｈｏｒｉｚｏｎｔａｌ ｓｕｒｆａｃｅ，ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｃｌｕｄｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｅｌａｓｔｉｃ ｉｆｎｉｔｅ ｄｅｅｐ￣ｕｎｄａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ ｒｉｇｉｄ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ ａｔ ｔｈｅ ｂｏｔｔｏｍ ｉｓ ｍｏｒｅ ｒａｔｉｏｎａｌ ｔｈａｎ ｏｔｈｅｒ ｔｗｏ ｍｏｄｅｌｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｅｌｓａｔｉｃ￣ｕｎｄａｔｉｏｎ；ｉｉｆｎｎｉｔｅ ｕｎｉｆｏｒｍ ｐｒｅｓｓｕｒｅ；ｉｉｆｎｎｉｔｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ；ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｍｕ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ；ｓｅｍｉ—ｉｉｆｎｎｉｔｅ ￣ｕｎｄａｔｉｏｎ；ｆｉｎｉｔｅ ｄｅｅｐ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ
