三小时解答模拟测试试题一2012年全国高中数学联赛

1.三个等圆⊙O1,⊙O2,⊙O3,两两外切且均内切于⊙O，从⊙O上任意一点向三个小圆引三条切线，求证：其中必有一条切线长等于另两条切线长的和.

2.设a,b,c∈(1,+∞)，证明：2(

logbaab+

logcbbc+

logacca)≥

9abc.

3．试求最小的正整数n,使得对于任何n个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.

4、如图，已知三角形ABC的内心为I，AC≠BC，内切圆与边AB,BC,CA分别相切于点D,E,F，SCIEF，连结CD与内切圆的另一个交点为M，过M的切线交AB的延长线于点G.求证： （1）CDI∽DSI；（2）GSCI

5、设a,b,c是正整数，关于x的一元二次方程axabc的最小值.

2bxc0的两实数根的绝对值均小于

13，求

6.甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过20次，即经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为p（0p1），乙获胜的概率为q1p．假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经次结束，求的期望E的变化范围．

全国高中数学联赛竞赛

考试范围

全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试

全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。 几何不等式。 几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。 圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数

周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3. 初等数论

同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。 4.组合问题

圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。 组合计数，组合几何 抽屉原理 容斥原理 极端原理 图论问题 集合的划分 覆盖

平面凸集、凸包及应用*

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。