知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初三，基础偏上
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们学习事件的概率及其表示，首先需要理解事件的类型及其概率计算方法，
能够准确判断必然事件
和不可能事件，能够计算随机事件的概率，其次重点掌握列表法以及树状图法表示事件出现的可能性结果，能够利用列表法与树状图法计算事件的相关概率，后掌握用频率估计概率的原理。本节课的重点内容是用列表法以及树状图法表示事件出现的可能性结果，需要各位同学熟练掌握。
最
知识梳理
讲解用时：15分钟
事件及其概率
（1）确定事件和随机事件
①在一定条件下必定出现的现象叫做
必然事件；
②在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件；③必然事件和不可能事件统称为
确定事件；
随机事件，也称
④在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做为不确定事件．
（2）事件的概率及其计算
①一般地，如果一个实验共有
n个等可能的结果，事件A包含其中
事件A包含的可能结果数所有的可能结果总数
=kn
的k个结果，那么事件A的概率：PA=
②P（必然事件）=1；③P（不可能事件）=0．
．
用列举法求概率
用列举法求概率主要掌握列表法和树状图法计算事件的概率：
①当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，的方式，列出所有可能的结果，再求出概率；
①列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出符合事件A或B的结果数目m，求出概率；
①列举法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，
列表法是一种，但当
n，再从中选出我们常用列表
一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图；
①树形图与列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，像树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果
①当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
n；
用频率估计概率
①大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动
的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；
①用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确；①当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
或各种可能结果发
课堂精讲精练
【例题1】
下列事件中，属于必然事件的是（A．三角形的外心到三边的距离相等B．某射击运动员射击一次，命中靶心C．任意画一个三角形，其内角和是D．抛一枚硬币，落地后正面朝上【答案】C
【解析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，
A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；
B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选：C．讲解用时：3分钟
解题思路：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．
不可能事件是指在一定条
可能发生
180°）。
件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，
也可能不发生的事件。必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断。教学建议：理解必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断。难度：3 适应场景：当堂例题
例题来源：龙岗区一模
年份：2018
【练习1】
下列事件是随机事件的是（A．每周有7天
B．袋中有三个红球，摸出一个球一定是红球
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
）。
D．任意购买一张车票，座位刚好靠窗口
【答案】D
【解析】此题主要考查了随机事件和必然事件，
A、每周有7天，是必然事件，故此选项错误；
B、袋中有三个红球，摸出一个球一定是红球，是必然事件，故此选项错误；C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直，是必然事件，故此选项错误；
D、任意购买一张车票，座位刚好靠窗口，是随机事件，符合题意，故选：讲解用时：3分钟
解题思路：根据定义，直接判断各命题得出答案。教学建议：正确判断各命题是解题关键。难度：3
适应场景：当堂练习
例题来源：抚顺县一模
年份：2018
D．
【例题2】
某地气象局预报称：“明天本市降水概率为30%”，这句话指的是（A．明天该市30%的时间下雨B．明天该市30%的地区下雨C．明天该市一定不下雨D．明天该市下雨的可能性是【答案】D
【解析】本题主要考查了概率的意义，“明天本市的降水概率为
30%”即明天本市下雨的可能性是
30%，而明天可能下雨
30%
）
也可能不下，故A、B、C都错误，只有D正确，故选D．讲解用时：3分钟
解题思路：降水概率就是降水的可能性，根据概率的意义即可作出判断。教学建议：正确理解概率是反映出现的可能性大小的量。难度：3
适应场景：当堂例题
例题来源：天台县模拟
年份：2018
【练习2】
某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为他遇到绿灯的概率为【答案】
【解析】此题考查了概率的意义，
①经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯，①在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是①在路口遇到红灯的概率为①遇到绿灯的概率为1﹣讲解用时：3分钟
解题思路：根据在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是到红灯的概率为
，遇到黄灯的概率为
1，再根据在路口遇
1，
，
。
该十字路口有红、黄、
，那么
，遇到黄灯的概率为
，遇到黄灯的概率为=
，即可求出他遇到绿灯的概率。
教学建议：依据事件概率之和是1进行分析。难度：3
适应场景：当堂练习
例题来源：鄞州区模拟
年份：2018
【例题3】
现将背面相同的4张扑克牌背面朝上，洗匀后，从中任意翻开一张是数字率为（A．【答案】A
【解析】本题主要考查了概率的求法，①共有4张扑克牌，
①Ｐ（数字为4）==，故选：A．讲解用时：3分钟
解题思路：根据共有4张扑克牌，再根据概率公式即可得出答案。
）。B．
C．
D．
4的概
教学建议：熟记并理解概率公式进行求解。难度：3
适应场景：当堂例题
例题来源：遵义模拟
年份：2018
【练习3】
从
，0，﹣
，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到的有理数的概率是
。
【答案】
【解析】本题考查了概率公式以及有理数，
①在①从
，0，﹣，0，﹣
，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是
．
讲解用时：3分钟
解题思路：根据有理数的定义可找出在从
，0，﹣
，3.14，6这5个数中只
有0、3.14和6为有理数，再根据概率公式即可求出抽到有理数的概率。教学建议：根据有理数的定义找出五个数中的有理数的个数是解题的关键。难度：3
适应场景：当堂练习
例题来源：南岗区模拟
年份：2018
【例题4】
一个不透明的袋子里装有质地、大小都相同的3个红球和1个绿球；随机从中摸出一球，不再放回，充分搅均后再随机摸出一球，则两次摸到一红一绿的概率是（A．
）
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，
列表得：（红，绿）（红，红）（红，红）
（红，红）（红，红）
（红，红）
（红，绿）
（红，绿）（红，红）
（绿，红）（绿，红）（绿，红）
①一共有12种情况，两次摸到一红一绿的①两次摸到一红一绿的概率是故选：C．讲解用时：5分钟
，
6种，
解题思路：列举出所有情况，看两次摸到一红一绿的情况数占总情况数的多少即可。
教学建议：通过列表或者树状图表示出各种可能性是关键。难度：3
适应场景：当堂例题
例题来源：宜城市模拟
年份：2018
【练习4】
在一个不透明的袋子中装有黄球
1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别，
）
随机从中摸出一个小球后不放回，则两次摸到的球都是白球的概率是（A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】此题考查了列表法与树状图法，
列表如下：
白
白白黄
﹣﹣﹣（白，白）（白，黄）
白（白，白）﹣﹣﹣（白，黄）
黄（黄，白）（黄，白）﹣﹣﹣
2种，
所有等可能的情况数为6种，其中两次都是白球的情况数有
=，
所以两次摸到的球都是白球的概率是故选：D．讲解用时：4分钟
解题思路：列表得出所有等可能的情况数，找出两次都是白球的情况数，即可求出所求的概率。
教学建议：通过列表或者树状图表示出各种可能性是关键。
难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：龙华区二模年份：2018
【例题5】
一个不透明的口袋中有
4个除标号外其余均相同的小球，分别标有数字1，2，3，
4，充分混合后随机摸出一个小球记下标号，放回后混合再随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标号之和等于A．
B．
C．
D．
5的概率是（
）。
【答案】C
【解析】此题考查了列表法或树状图法求概率，
画树状图得：
①共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和等于①两次摸出的小球的标号之和等于故选：C．讲解用时：5分钟
5的概率是：
=，
5的有4种情况，
解题思路：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和等于
5的情况，再利用概率公式即可求得答案。
教学建议：通过列表或者树状图表示出各种可能性是关键。难度：4
适应场景：当堂例题
例题来源：尉氏县一模
年份：2018
【练习5】
现有四张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字﹣1，﹣2，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（
）。
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】本题考查了列表法与树状图法，
画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能结果，其中和为正数的有所以和为正数的概率为故选：D．讲解用时：4分钟
=，
8种结果，
解题思路：画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解。教学建议：通过列表或者树状图表示出各种可能性是关键。难度：4
适应场景：当堂练习
例题来源：濮阳二模
年份：2018
【例题6】
在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有
40个，除颜色外其他
完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（A．6 【答案】B
【解析】此题考查了利用频率估计概率，①摸到红色球、黑色球的频率稳定在
15%和45%，
B．16
C．18
D．24
）。
①摸到白球的频率为1﹣15%﹣45%=40%，故口袋中白色球的个数可能是故选：B．讲解用时：8分钟
解题思路：先由频率之和为
1计算出白球的频率，再由数据总数
×频率=频数计
40×40%=16个，
算白球的个数，即可求出答案。
教学建议：理解大量反复试验下频率稳定值即概率。难度：3
适应场景：当堂例题
例题来源：陵城区二模
年份：2018
【练习6】
在一个不透明的袋子中有除颜色外其他均相同的
7个黑球、5个白球和若干个红
球，每次摇匀后随即摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于A．8
B．6
C．12
0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（
D．4
）
【答案】A
【解析】此题主要考查了利用频率估计概率，
由题意可得：摸到黑球和白球的频率之和为：①总的球数为：（7+5）÷0.6=20，①红球有：20-（7+5）=8（个），故选：A．讲解用时：3分钟
解题思路：根据摸到红球的频率，可以得到摸到黑球和白球的概率之和，以求得总的球数，从而可以得到红球的个数。
教学建议：利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，的频率得到相应的等量关系。难度：4
适应场景：当堂练习
例题来源：山西模拟
年份：2018 关键是根据红球
从而可
1﹣0.4=0.6，
【例题7】
小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有
4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个
“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）。（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是
；
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率。
【答案】（1）；（2）
【解析】此题考查了列表法或树状图法求概率，（1）①第一道单选题有3个选项，
①小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：
；
（2）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，画树状图得：
①共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有①小明顺利通关的概率为：讲解用时：10分钟
．
1种情况，
解题思路：（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的
3个选项，a，b，c表示剩
下的第二道单选题的3个选项，然后根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案。教学建议：画出树状图，再按概率公式求解即可。难度：4 适应场景：当堂例题
例题来源：南长区一模
年份：2018
【练习7】
甲、乙、丙3人站成一排合影留念，（1）甲站在中间的概率为
；
（2）请用画树状图、列表或其他方法求甲、乙两人恰好相邻的概率。12【答案】（1）；（2）
33
【解析】此题考查了列表法或树状图法求概率，（1）①甲站的位置有3种，位于中间的有1种，
①甲站在中间的概率为
13
；
（2）用树状图分析如下：
①一共有6种情况，甲、乙两人恰好相邻有①Ｐ（甲、乙两人恰好相邻）==讲解用时：10分钟
4种情况，
解题思路：（1）甲站的位置有3种，位于中间的有1种，所以甲站在中间的概率1为；（2）此题注意属于两步完成的事件，属于不放回实验，要注意不重不漏的3表示出所有情况。
教学建议：树状图法适合于两步或两步以上完成的事件，是不放回实验。难度：4
适应场景：当堂练习
例题来源：滨海县二模
年份：2018
注意题目是放回实验还
【例题8】
在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：
为了用估计袋中红球的数量，八
每组先将10个与红球大小形状完全
相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：摸球的次数s摸到白球的频数n摸到白球的频率
150630.420
300a0.410a=
6002470.412；b=
；
9003650.406
12004840.403
1500606b
（1）按表格数据格式，表中的
（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近（3）请推算：摸到红球的概率是
（精确到0.1）；
只。
（精确到0.1）；
（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有
【答案】（1）123、0.404；（2）0.4；（3）0.6；（4）15【解析】本题考查了利用频率估计概率，（1）a=300×0.41=123，b=606÷1500=0.404；（2）当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近（3）摸到红球的概率是1﹣0.4=0.6；（4）设红球有x个，根据题意得：讲解用时：10分钟
解题思路：（1）根据频率=频数÷样本总数分别求得a、b的值即可；（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在
0.4左右；（3）摸到红球的概率为
1﹣
=0.6，解得：x=15．
0.40；
0.4=0.6；（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可。教学建议：注意概率等于所求情况数与总情况数之比，之和为1。
难度：4 适应场景：当堂例题
例题来源：东台市期中
年份：2018春
组成整体的几部分的概率
【练习8】
某乒乓球的质量检验结果如下：抽取的乒乓球数n优等品的频数m优等品的频率（精确到0.001）
（1）根据表中信息可得：x=
，y=
，z=
；
50480.960
10095y
2001880.940
500x0.944
1000948z
150014260.951
200018980.949
（2）从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是多少？（精确到0.01）。
【答案】（1）472、0.950、0.948；（2）0.95【解析】本题考查了利用频率估计概率，
（1）x=500×0.944=472，y=，z=；
0.95．
（2）从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是讲解用时：10分钟
解题思路：（1）根据表中数据计算即可；（2）由表中数据可判断频率在
0.95左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任
0.95。
随实验次数的增多，值越来越
意抽取一只乒乓球是优等品的概率为
教学建议：注意用频率估计概率得到的是近似值，精确。难度：4
适应场景：当堂练习
例题来源：南京期中年份：2018春
课后作业
【作业1】
有五张分别印有等边三角形、正方形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为
。
【答案】
【解析】此题主要考查了概率公式以及中心对称图形和轴对称图形的概念，
等边三角形、正方形、正五边形、矩形、正六边形图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形是：正方形、矩形、正六边形共
3种，
故从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为：
．
讲解用时：5分钟
难度：3 适应场景：练习题例题来源：新宾县模拟年份：2018
【作业2】
在﹣1，1，2这三个数中任意抽取两个数经过第二象限的概率为（A．
B．
C．
）
D．
k，m，则一次函数y=kx+m的图象不
【答案】B
【解析】本题考查了利用列表法与树状图法求概率以及一次函数的性质，
画树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中一次函数y=kx+m的图象不经过第二象限的有k=1、m=﹣1和k=2、m=﹣1这两种情况，所以一次函数y=kx+m的图象不经过第二象限的概率为故选：B．讲解用时：5分钟
难度：4 适应场景：练习题
例题来源：覃塘区一模
年份：2018 =，
【作业3】
一个不透明的盒子里有
9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相
同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在球的个数为【答案】21个
【解析】本题考查了利用频率估计概率，设盒子中红球的个数为
m个．。
30%，那么估计盒子中红
根据题意得=30%，解得m=21，
21个．
所以这个不透明的盒子中红球的个数为讲解用时：7分钟
难度：4 适应场景：练习题
例题来源：河南一模年份：2018
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